Теорема Чевы

Слайд 1

Слайд 2

Цель : расширить представление о свойствах треугольника с помощью теоремы Чевы. Задачи: Исследовать возможности применения теоремы Чевы для доказательства свойств замечательных точек треугольника. Научиться применять теорему Чевы для решения задач разного уровня сложности. Тематически систематизировать задачи, решаемые с помощью теоремы Чевы. Гипотеза : если теорема Чевы помогает расширить класс решаемых геометрических задач, то она является одной из фундаментальных теорем геометрии. Методы исследования: анализ и сравнение имеющихся источников литературы, систематизация задач.

Слайд 3

Теорема Чевы B A C A 1 B 1 C 1 C BA 1 A 1 C C B 1 B 1 A C 1 A 1 B 1 А A 1 , В B 1 , С C 1 – чевианы ∆ АВС. Если все три чевианы пресекаются в одной точке Р, то они КОНКУРЕНТНЫ. P C BA 1 A 1 C C B 1 B 1 A C 1 A 1 B 1

Слайд 4

B A C Х У Z Z BX X C C Y Y A Z A B 1 P А С В В 1 С 1 А 1

Слайд 5

Теорема Чевы и замечательные точки треугольника AB 1 B 1 C СА 1 А 1 В ВС 1 С 1 А 1 A C B B 1 C 1 A 1 Центроид A B C O F D E CE/EB=AC/AB BD/DA=BC/AC AF/FC=AB/BC CE/EB BD/DA AF/FC=1

Слайд 6

Другое доказательство. Докажем, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник. Пусть прямые, содержащие высоты AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке O. Проведем через точку A прямую, параллельную отрезку BC, через точку B прямую, параллельную отрезку AC, а через точку C - прямую, параллельную отрезку AB. Все эти прямые попарно пересекаются. Пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам AC и BC - точка M, точка пересечения прямых, параллельных сторонам AB и BC - точка L, а прямых, параллельным AB и AC - точка K. Точки K,L,M не лежат на одной прямой, иначе бы прямая ML совпадала бы с прямой MK, а значит, прямая BC была бы параллельна прямой AC, или совпадала бы с ней, то есть точки A, B и C лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника. Итак, точки K, L, M составляют треугольник. MA параллельно BC, и MB параллельно AC по построению. А значит, четырёхугольник MACB - параллелограмм. Следовательно, MA = BC, MB = AC. Аналогично AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL. Значит, AP и BQ - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM. Они пересекаются в точке O, а значит, CO - тоже срединный перпендикуляр. CO перпендикулярно KL, KL параллельно AB, а значит CO перпендикулярно AB. Пусть R - точка пересечения AB и CQ. Тогда CR перпендикулярно AB, то есть CR - это высота треугольника ABC. Точка O принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника ABC. Значит , прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Слайд 7

A C C 1 A 1 B 1 ∆ АА 1 С~∆ВВ 1 С ∆ ВВ 1 А~∆СС 1 А ∆ АА 1 В~∆СС 1 В B

Слайд 8

Серединный перпендикуляр A C B A 1 C 1 B 1 A C B O M N K

Слайд 9

Точки Жергона и Нагеля B A C J О N

Слайд 10

Замечательные преобразования, связанные с теоремой Чевы A C 1 B 1 C A 1 B B A 1 A 2 C 2 C 1 B 2 B 1 Z Z m Изотомическое сопряжение Z L Z Изогональное сопряжение A C 2 A 2 B 2 C

Слайд 11

H H - антиортоцентр I пересечения антибиссектрис I – точка L L- точка Лемуана, пересечение симедиан G 1 N 1 L

Слайд 12

Точки С 1 и А 1 делят стороны АВ и ВС ∆ АВС в отношении 1:2. прямые СС 1 и АА 1 пересекаются в точке О. Найдите отношение, в котором прямая ВО делит сторону АС. По теореме Чевы, если прямые конкурентны, то А 1 А С В В 1 С 1 О по условию

Слайд 13

А С В В 1 С 1 А 1 Найти внутри треугольника такую точку О, чтобы произведение АВ 1 • ВС 1 •СА 1 имело наибольшую величину АВ 1 • В 1 С •СА 1 • А 1 В • ВС 1 • С 1 А ≤ (АВ 2 •ВА 2 •АС 2 ) 2 . Так как АВ 1 •СА 1 •ВС 1 =В 1 С•А 1 В•С 1 А, то (АВ 1 •СА 1 •ВС 1 ) 2 ≤ (АВ 2 •ВА 2 •АС 2 ) 2 АВ 1 •СА 1 •ВС 1 имеет наибольшую величину, равную О - точка пересечения медиан треугольника. О А 2 С 2 В 2

Слайд 14

Теорема Чевы Замечательные точки треугольника Изотомическое, изогональное сопряжения, изоциркулярное преобразование Задачи разного уровня сложности Замечательные точки 2-го порядка Точка Жергона И точка Нагеля Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин Если теорема Чевы помогает расширить класс решаемых геометрических задач, то она является одной из фундаментальных теорем геометрии.

Слайд 16

Точка Жергона B A C G O A 1 C 1 B 1