Творческая практическая работа по теме "Окружность"

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………….2
2. Окружность ………………………………………………………………...3
3. Как найти центр окружности?..................................................................4-7
4. Устройства для нахождения центра………………………………………8
5. Решение одной задачи на нахождения радиуса вписанной и описанной окружности равнобедренного треугольника………………………….9-11
6. Практическая работа на, нахождения третьей стороны треугольника, зная длины двух других сторон и радиус вписанной окружности...12-13
7. Заключение………………………………………………………………14
8. Литература………………………………………………………………..15

                                               Введение

На уроках геометрии мы  изучаем тему «Окружность», и меня заинтересовало, как можно применять её для практических задач. Например, нередко столярам и плотникам в работе требуется геометрия. Один из самых ярких примеров - построение правильной окружности. Самый простой и популярный с древности и по сей день - построение окружности при помощи специального инструмента - циркуля (от лат. "circulus" - круг, окружность). Для такого построения  нужно отметить центр будущей окружности - например, пересечением 2х штрихпунктирных линий, и выставить шаг циркуля, равный радиусу будущей окружности. Далее установим ножку циркуля в отмеченный центр и, поворачивая ножку с грифелем вокруг него, проверим окружность. Еще одна задача, с которой в данном случае можно столкнуться - это определение центра окружности, не прибегая к специальным инструментам и сложным вычислениям.

Поэтому цель моего проекта:  научиться применять знания по теме «Окружность» для решения практических задач - определения центра круга, не прибегая к специальным инструментам и сложным вычислениям, а также различные способы решения одной задачи на нахождения радиуса вписанной и описанной окружности равнобедренного треугольника и нахождения третьей стороны треугольника, зная длины двух других сторон и радиус вписанной окружности.

Для достижения цели были поставлены задачи:

• Изучить литературу по теме «Окружность».

• Рассмотреть   практическое применение темы «Окружность» при  конструирование центроискателя и решения одной задачи на нахождения радиуса вписанной и описанной окружности равнобедренного треугольника.
• Выполнить практическую работу на, нахождения третьей стороны треугольника, зная длины двух других сторон и радиус вписанной окружности.

Окружность

Окружность  – замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Все радиусы окружности равны друг другу.

Диаметр – отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому длина диаметра в 2 раза больше радиуса. Т.е. d = 2r, где диаметр обозначается буквой d, радиус буквой r.

Все диаметры окружности равны друг другу.

Хорда – это отрезок, соединяющие две точки окружности.

  Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

  Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей.

  Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

 Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

 Как найти центр окружности? 

Самый простой способ нахождения центра окружности - согнуть лист бумаги, на котором она начерчена, следя на просвет, чтобы окружность оказалась сложена точно пополам. Полученная линия сгиба будет одним из диаметров заданной окружности. Затем лист можно согнуть в другом направлении, получив тем самым второй диаметр. Точка их пересечения и будет центром окружности.

Этот способ, конечно же, годится только для случаев, когда окружность изображена на листе бумаги, бумагу можно сгибать, и есть возможность следить за точностью сгиба на просвет.

Предположим, что заданная окружность начерчена на твердом материале, или же это круглая деталь, которую нет возможности согнуть.

В вашем распоряжении карандаш и обычная линейка с параллельными краями. Требуется найти центр окружности при условии, что ширина линейки меньше диаметра окружности.

Как найти центр окружности?

1 способ. Диаметр, по определению этого слова - самый длинный из всех отрезков, которые можно провести между двумя точками одной окружности. Середина любого диаметра окружности совпадает с ее центром. Наложив линейку на заданную окружность, зафиксируйте нулевую отметку в любой точке окружности. Таким образом, вы измерите некоторую секущую, то есть отрезок, соединяющий две точки этой окружности. Затем медленно поворачивайте линейку, следя за изменением ширины отрезка. Она будет возрастать, пока секущая не превратится в диаметр, после чего снова начнет уменьшаться. Отметив момент максимума, вы найдете диаметр.  Тем же способом найдите второй диаметр. В точке их пересечения находится центр окружности

2 способ. В этом случае для нахождения ее центра нам опять понадобится линейка.

   С помощью линейки ставим 4 точки на окружности. Далее находим точки А и В следующим образом:

:Прямая АВ будет проходить через центр окружности. Проделав все построения еще один раз,  мы сможет найти вторую прямую, проходящую через центр. Точка пересечения АВ и второй прямой и будет центром окружности.

3 способ. Для того чтобы найти центр окружности, надо сначала вписать ее в квадрат. То есть все стороны четырехугольника должны касаться круга. Для этого проведите с помощью линейки четыре ровные линии.

Теперь соедините по диагонали два противоположных угла. Следите за тем, чтобы линия разбивала угол квадрата на две равные части. Соедините прямыми все 4 угла квадрата. Точка пересечения данных прямых и будет центром окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность.

  Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.

Иследовательская задача1: К какой вершине треугольника лежит ближе всего центр вписанной в этот треугольник окружности?

Решение : Пусть в  треугольнике АВС     АСВ>САВ.Соединим центр О окружности , вписанной в треугольник, с его вершинами А и С и рассмотрим треугольник АСО.Его угол АСО= ,потому что центр лежит на  биссектрисе СО  угла  АСО.Точно также  САО =    .

Но так как   АСО> САО  ,а в треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона, то СО АО.

Отсюда ясно, что  центр вписанной окружности лежит  ближе всего к вершине того угла, который является наибольшим.

 4 способ нахождения центра: на окружность снаружи накладывается плоскостью на торец угольник и прижимается сторонами к краям окружности, так что стороны угольника становятся касательными к кругу. По линии биссектрисы проводится черта.Операция повторяется, повернув угольник на произвольный угол. Проводится вторая черта.

Можно и ещё повторить для верности.

Точка пересечения биссектрис и будет искомым центром круга.

5 способ. Для определения центра окружности проводят две произвольные хорды а и в. Взаимное пересечение перпендикуляров, восставленных в середине каждой хорды, определяет центр окружности (точку О). 

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных  перпендикуляров

6 способ. Если  треугольник - прямоугольный, то центр описанной окружности всегда совпадает с серединой гипотенузы. Следовательно, если вписать в окружность прямоугольный треугольник, то его гипотенуза будет диаметром этой окружности. В качестве трафарета для этого способа подойдет любой прямой угол - школьный или строительный угольник, или просто лист бумаги. Поместите вершину прямого угла в любую точку окружности и сделайте отметки там, где стороны угла пересекают границу круга. Это конечные точки диаметра. Тем же способом найдите второй диаметр, а значит и центр.

Сделав обобщение этих способов и можно сделать четыре устройства:

 1) центроискатель - прямой угол. Принцип работы: вписанной прямой  угол опирается на диаметр;

2) центроискатель-  угол с биссектрисой. Принцип работы: диаметр окружности лежит на биссектрисе угла, описанной около окружности

3) центроискатель – пара взаимно перпендикулярных прямых. Принцип работы: диаметр, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

4) центроискатель – пара взаимно перпендикулярных прямых. Принцип работы: хорда, перпендикулярная другой хорде и проходящая через её середину, есть диаметр.

Итак, центр окружности найден, нам требуется построить окружность.

Исследовательская задача 2. Построить окружность различной длины, сохраняя при этом неизменным раствор циркуля.

Решение. Я построила окружность различной длины, сохраняя при этом неизменным раствор циркуля 4 способами:

1. на плоскости
2. на шаре
3. на конусе, центр – в вершине конуса
4. центр окружности – на шашке

 Решение задачи на нахождения радиуса вписанной и описанной окружности равнобедренного треугольника.

Задача1 . Найдите радиус R описанной окружности  для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

 Сначала  выясним, где находится центр описанной окружности – от этого зависит рисунок к задаче. Здесь 10² меньше 13² + 13², значит, угол при вершине этого равнобедренного треугольника острый. Центр описанной окружности находится во внутренней области  равнобедренного треугольника.

Первый способ

Проведя серединный перпендикуляр  КО, получим точку  О – центр описанной окружности  (КО + ВС и ВК = КС = 6,5см). ОВ = ОС = R.   OD = BD – OB = 12 – R. Из ODC по теореме Пифагора  OD2  = ОС2 – DC2 = R2 – 52. R2  –  52   = (12 – R)2. Решив это уравнение, получим   R = 169/24  см.

Ответ: R = 169/24  см.

Второй способ

Из подобия треугольников  OBK  и  CBD  имеем ОВ/СВ = BK/BD, т.е. R/13 = 6,5/12 и  получаем. Ответ: R = 169/24 см

Третий способ

Продолжив BD до пересечения с описанной окружностью, получим прямоугольный треугольник ВСЕ, откуда ВС² = BD • BE, 132 = 12 • 2R, и

 R = 169/24см.

Четвёртый способ

По свойству хорд, пересекающихся внутри круга BD • DE = AD • DC; 12 • (2R –12) = 5 • 5.

Ответ: R = 169/24  см.

Пятый способ

По формуле  R = abc/(4S ),  где a,  b,  c – стороны треугольника, S – его площадь, которую мы вычислим без труда.

И ещё один метод решения задачи – метод координат, который является универсальным методом геометрии. Главное при решении задачи этим методом удачный выбор системы координат(основание треугольника лежит на оси абсцисс, а ось ординат проходит через высоту, проведённую к основанию .Вершины треугольника равноудалены от центра окружности).                         

ОА=ОВ

Задача2. Найдите радиус r вписанной окружности  для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см

Первый способ

Из BNO1  следует, что O1N = r = BO1 • sin, т.е. r = (12 – r) · 5/13   и 

 r = 10/3см. Ответ: r = 10/3см 

Второй способ

О1 – центр вписанной окружности, O1N = r.  DC = CN = 5 см  по свойству касательных, проведённых из одной точки к одной  окружности.  

BN =13 – 5 = 8 (см).  ВО1 = 12 – r. Из BNO1 по теореме Пифагора

r2 = (12 – r)2 – 82,  откуда  r = 10/3см.

Третий способ

r = 2S/(a + b + c), r = 2 • 60/(13 + 10 + 13), тогда  r = 10/3см.

Четвёртый способ

Из подобия   O1NB и  CDB следует, что   ВО1/BC = BN/BD, 

(12 – r)/13 = 8/12  и   r = 10/3см.

Пятый способ

По свойству  биссектрисы  CBD,  имеем CD/CB = DO1/BO1, 

5/13 = r/(12 – r), а тогда из этой пропорции получим r = 10/3см.

Шестой способ. По свойству  касательной и секущей, проведёнными из одной точки к одной окружности, мы решили эту задачу так:

 BN2 = BD • BM, т.е. 82 = 12 • (12 – 2r), откуда r = 10/3см.

Практическая работа на, нахождения третьей стороны треугольника, зная длины двух других сторон и радиус вписанной окружности.

Работа называется «О третьей стороне».

Была поставлена проблема: «Можно ли найти третью сторону треугольника, зная длины двух других сторон и радиус вписанной окружности? Сколько существует решений?» Обучающая программа «Живая геометрия» представляет собой программное средство для работы с геометрическими чертежами. Данная программа имеет простой интерфейс, что способствует освоению учащимися без особых затруднений. Исключительно легкое в освоении, оно позволяет создавать простые легко варьируемые и редактируемые чертежи позволяет осуществлять операции над ними, а также производить необходимые измерения, которые записываются на экране, моментально меняя свои значения при динамике рисунков, что очень облегчает исследование. После долгих поисков, проб и ошибок, я  пришла к выводу, что две данные стороны АС и ВС треугольника АВС будут представлены в виде радиусов двух окружностей с общим центром С. Тогда при движении третьей вершины В вдоль окружности будут меняться длина третьей стороны АВ и длина радиуса r вписанной окружности, а данные две стороны останутся постоянными. Результаты измерения длин сторон треугольника и длины радиуса вписанной окружности записаны на экране слева, и эти данные моментально меняются при изменении положения вершины В. Для одних и тех же значений сторон (a, b) и радиуса вписанной окружности (r) существует два разных значения третьей стороны.

Причем, существуют три основных вида треугольников, а остальные подобные им:

Заключение

 При решении многих задач планиметрии возникают различные конфигурации, в которых участвуют треугольник и окружность. Знание наиболее распространенных комбинаций и их свойств позволяет получать короткие и красивые решения сложных на первый взгляд задач. К таким конструкциям  в первую очередь относятся «треугольник и описанная окружность», «треугольник и вписанная окружность».

Выполнив данный проект, я научилась применять знания по теме «Окружность» для решения практических задач:

-определения центра окружности, не прибегая к специальным инструментам и сложным вычислениям;

-решения одной задачи на нахождения радиуса вписанной и описанной окружности равнобедренного треугольника;

-выполнила  практическую задачу на нахождения третьей стороны треугольника, зная длины двух других сторон и радиуса вписанной окружности.

Литература

1. 1.Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класс. М.”Просвещение”, 1997.

2. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 23.
3. Киселев А.П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1996, с. 94.
4. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. – М.: Просвещение, 1995, с. 45.
5. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 162.

.