Проект "Фракталы"(описание)

Исследовательский проект «Фракталы» выполнила ученица 7а класса МКОУ «Красносельцевская СОШ» Танатарова Айна. Учитель математики: Мещерякова О.Ю.

Цель  проекта: понять, что фракталы – область удивительного математического искусства.

Задачи проекта: 1. Узнать, что такое фракталы. 2. Познакомиться с фракталами различных видов. 3. Рассказать вам, где применяются и распространяются фрактальные образы.

Моя проектная работа – долгосрочная. Т.е. фракталы делятся на алгебраические, геометрические и стохастические. Я расскажу сегодня о геометрических фракталах.

Первый раз, услышав о фракталах, задаешься вопросом, что это такое? По сути, фракталы открывают нам глаза и позволяют посмотреть на математику с другой стороны. Своей проектной работой я хотела рассказать о довольно новом понятии в математике «фрактал». Что это такое, какие существуют виды, где применяются и распространяются.

Писав доклад по геометрии на тему «Фрактал»,  я решила узнать больше информации об этом геометрическом объекте и знаете, не пожалела о том, что уделила фракталу время. Итак, поехали!

Фрактал- геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, т.е. составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Слово «фрактал» образовано от латинского «fractus» и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Термин фракталов имеет совсем небольшой возраст. Оно было предложено американским ученым Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных фигур, которыми он занимался.

«Фракталом» могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных свойств:

1. Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. Если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры (например, окружность, график какой-либо функции) в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению, на всех шкалах мы увидим одиново сложную картину.
2. Является самоподобным или приближенно самоподобным и имеет дробную метричность. Можно считать, что самоподобие – один из видов симметрии. Т.е. в этой рекурсивной модели каждая часть повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.

Например,  посмотрим на космический снимок береговой линии и увидим заливы и полуострова, с высоты птичьего полета – нам будут видны мысы, бухты; теперь представим, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше вдавливаются в воду, чем остальные. Т.е. береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на себя.

Существует множество различных фракталов, из которых я расскажу о трех.

Это множество Кантора, треугольник Серпинского, снежинка Коха.

Они несложные, но довольно интересные.

1. Кантрово множество – один из простейших фракталов, подмножество едпоиничного отрезка, описанное в 1883 году Георгом Кантром.

Построение этого фрактала идет следующим образом.

Берется единичный отрезок и делится на три равный части, каждая из которых также делится на три части и т.д. Затем из каждого оставшегося отрезка удаляется интервал, составляющий его среднюю треть. Этот процесс удаления интервалов продолжается неограниченно. В последствие множество точек отрезка, оставшиеся после удаления всех этих интервалов и называют множеством Кантора.

2. Треугольник Серпинского – фрактал, состоящий из равносторонних треугольников и предложенным польским ученым Вацлавом Серпинским в 1915 году.

Построение треугольника Серпинского идет следующим образом:

Чтобы его получить, нужно взять равносторонний треугольник с внутренностью, провести в нем средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников.

3. Снежинка Коха – фрактал, составленный из трех копии кривой Коха бесконечной длины.

Построение снежинки Коха:

Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная часть достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация – ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая, таким образом, можно получить кривую Коху, из которой в последствие получается снежинка Коха.

Фракталы в природе

Что общего у снежинки, молнии, броколли, листа папоротника, зонтика моркови, хвоста павлина и морского ежа?

 Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны.  От стебля папоротника отходят множество листьев, которые уменьшаются в размере.

Похожим образом устроена молния: от самого «ствола молнии» отходят множество маленьких стволов, от которых отходят еще несколько.

Например, кровеносная система также устроена и напоминает собой фрактал. От артерий отходят артериолы, от них мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и в ткани.

Применение фракталов

Теория фракталов развита и получила широкое распространение и применение не только в геометрии, но и в других отраслях.

Первым и очевидным применением фрактальных алгоритмов стало так называемое фрактальное сжатие изображений. Фрактальное сжатие изображений – алгоритм сжатия изображения с потерями, основанный на применении некоторых функций к изображениям. Фрактальное сжатие имеет два преимущества:

1. Картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами;
2. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличение размеров точек до таких размеров, при которых изображение искажается). При фрактальном сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

Фрактальное сжатие позволяет хранить сжимающее изображение вместо самого рисунка. Ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла.

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т.д. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений. Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные некоторые преобразования, можно получить стохастические фракталы ( о которых я буду рассказывать на следующий год), которые передают весьма правдоподобно некоторые реальные объекты – элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения.

Медицина

Как я уже говорила ранее, сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, бронхи, мышцы и т.д.

Поэтому ученые задумались, можно ли применять фрактальные алгоритмы для диагностики или лечения каких-либо заболеваний? Оказывается возможно. Например, теория фракталов может применяться для анализа электрокардиограмм. Также фракталы могут применяться в обработке медицинских рентгеновских изображений.

Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику!

Естественные науки

Мы остановимся на некоторых самых интересных аспектах. Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет, что побережья морей, океанов имеют фрактальную размерность, зная которую можно вычислить длины побережий. Также фрактальный анализ помогает в поиске и разработке месторождений.

Еще шире применяются  фракталы в физике. Например, для точного описания и предсказания свойств твердых, пористых, губчатых тел. Это помогает в создании новых материалов с необычными свойствами.

Телекоммуникации

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Фрактальные антенны – относительно готовый класс электрически малых антенн. Фрактальные антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком формате. Они используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств.

Кино

Не обходится без фракталов и в кино. Фракталы, по сути, нужны в кино для создания различных фантастических пейзажей. Действительно, зачем каждый раз создавать новое дерево или гору, тратя на это кучу времени, когда все это можно во много раз быстрее сделать с помощью компьютерных программ, работающих на фрактальных алгоритмах.

Галерея картин с применением фракталов

Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Заключение

Компьютер – это новое средство познания. Он позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. В истории фракталов это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и богатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки.

Роль фракталов в окружающем мире сегодня достаточно велика,  и я убедилась в этом, выполняя проектную работу, в ходе которой научилась строить некоторые виды фракталов, узнала, что существуют специальные программы для моделирования фракталов, убедилась в том, что область применения фракталов чрезвычайно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности сложной формы.

Вот как пишет сам Бенуа Мандельброт в своей книге «The Fractal Geometry of Nature» - «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака- не сферы, горы – не углы, линия побережья- не окружность, кора – не гладкая, молния – не прямая линия…» Фрактальная графика – это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Фрактальная графика- необходима везде, и развитие ее – это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.

Я очень надеюсь, что фракталы заинтересовали вас. Ведь, как оказалось, фракталы довольно интересны и они почти есть на каждом шагу.