Учебный проект. Эти коварные квадратные уравнения

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Наримановского района

«Средняя общеобразовательная школа №10»

Учебный проект  

Эти коварные квадратные уравнения

                                                                           Авторы:     Горбатова Анастасия,                  

                                                                                   Ралкина Анна

                        учащиеся 8 класса                                                                           Руководитель: Каратушина  С.Н.,            

                   учитель математики  

г.Астрахань

2014

Тезисы

При изучении в школе квадратных уравнений, мы очень заинтересовалась этой темой. Нам стало интересно узнать, какие же еще бывают способы решения квадратных уравнений.
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, в том числе и квадратных, которые необходимо научиться решать.
В данной работе мы изложила все известные виды и решения квадратных уравнений из школьного курса алгебры. Также в этой работе  показали дополнительный материал, который не изучается в школьном курсе. Устное решение квадратных уравнений намного проще и быстрее, так как при решении уравнений не надо находить дискриминант и вычислять корни по формуле.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Вывод:  квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики, при решении реальных задач . Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то   они,  безусловно,  должно    заинтересовать     увлекающихся  математикой учеников.  Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на  те задачи, которые ставит перед нами математика.

   Эти коварные квадратные уравнения

Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро, рационально или устно решать квадратные уравнения?

 Задачи:

• Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений
• Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.
• Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.
• Рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений.
• Сделать выводы.
• Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.

 1. Историческая справка (слайд 2)

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (                ) умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. х2 ± х = а (слайд 3)

Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как  выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах=b или               Способ решения полных квадратных    уравнений  не сохранились. (слайд 4)
         Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду                      

                   , где a  > 0, дал индийский учёный Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида ,   (буквами а, b и с обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали) и отыскивает только положительные корни.  (слайд 5)
        Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду                                              , было  сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487-1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). (слайд 6-7)

После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595-1632),  а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так:
корнями уравнения (а+b)х –х2 = ab   являются числа  а и  b. (слайд 8)

 2. Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

1) Определение квадратного уравнения, его виды.

 Квадратным уравнением называется уравнение вида   ax2 + bx + c = 0,

  где  х - переменная, а,b и  с - некоторые числа, причем,  а ≠ 0.

2) Неполные  квадратные уравнения

1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах2 = 0.

Способы решения неполных квадратных уравнений

3. Нестандартные способы решения квадратных уравнений.

1. СПОСОБ:  Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х2 + 4х – 32 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 + 4х – 32 = х2 – 4х + 8х – 32 = х(х – 4) + 8(х – 4) = (х – 4)(х + 8).  Следовательно, уравнение можно переписать так:   (х – 4)(х + 8) = 0

    Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при  х = 4, а также при х = – 8. Это означает, что число 4 и – 8 являются корнями уравнения х2 + 4х – 32 = 0. (слайд 9)

2. СПОСОБ:   Метод выделения полного квадрата.  (слайд 10-11)

Решим уравнение х2 – 6х + 8 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 – 6х  в следующем виде:

х2 – 6х = х2 – 2• х • 3.

в полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 – 2• х • 3 + 32 = (х – 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 – 6х + 8 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 – 6х + 8 = х2 – 2• х • 3 + 32 – 32 + 8 = (х – 3)2 – 9 + 8= (х – 3)2 – 1.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х – 3)2 – 1 =0,  (х – 3)2 = 1.

Следовательно, х – 3 =1,   х1 = 4,  или  х – 3 = –1,   х2 = 2.

Это означает, что число 4 и 2 являются корнями уравнения х2 – 6х +8 = 0.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле. (слайд 12-13)

Умножим обе части уравнения

ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0   на 4а и последовательно и прибавив b2 имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) = b2 – 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 – 4ac,

2ax + b = ±,        

2ax = – b ±  ,

Выражение b2 – 4ac называют  дискриминантом и обозначают D.

 т.е. D = b2 – 4ac, и формула для нахождения корней выглядит так:

               .

Отметим особо: если   D>0,   то  уравнение имеет два корня   ,

                           если   D=0,  уравнение имеет один корень  , говорят также корень кратности два; 

                             если  D<0, уравнение не имеет вещественных (действительных) корней.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + q = 0.                        

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при  а =1 имеет вид

x1 x2 = q,            x1 + x2 = –p   (слайд 14)

5. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 

А. Пусть дано квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

а) Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),

то    х1 = 1,  х2  =    .

б) Если а – b + с = 0, или b = а + с, то  х1 = – 1,     х2  = –        

Б. Если второй коэффициент b = 2k  четное число, то формулу корней

   можно записать в виде       (слайд 15)

6. СПОСОБ:  Решение уравнений способом «переброски старшего коэффициента».    (слайд 16-17)

Рассмотрим 2 квадратных уравнения:

ах2  + bх + с = 0,   где   а ≠ 0,    и     у2  + bу +ас = 0

D = b2 – 4ac        и                       D = b2 –  4ac

               и              ,

т.е. всё  отличие только в коэффициенте  а  в знаменателе. Значит, найдя корни уравнения  у2  + bу +ас = 0 и поделив их на  а,  получим корни уравнения ах2  + bх + с = 0.  

Окончательно получаем х1 =        и  х1 =     .

Пример:  Решим уравнение     60х2 – 119х  – 2 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 60, как множитель,  к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 119у  – 120 = 0.

Согласно свойству коэффициентов получаем:

у1 =  –1                х1 =  –1/60         x1 = –

у2 = 120               x2 = 120/60         x2 = 2.        Ответ: – 2.

Способы 5 и 6 дают возможность решать многие уравнения устно. 

7.СПОСОБ : Закономерность коэффициентов.      (слайд 18-20)

1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент  b  равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х1= –а;  х2 = –.        ax2 + (а2 +1)∙ х+ а= 0
Пример.  Рассмотрим уравнение 6х2 +37х + 6 = 0.  
х1= – 6;     х2 = –     .
2) Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент  b  равен (а2 + 1),а коэффициент  с  численно равен коэффициенту а, то его корни  равны
х1= а;          х2=      .
ax2 – (а2 +1)∙ х+ а= 0 

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 – 226х +15 = 0.    х1= 15;     х2= 
3) Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны 
х= – а;  х= 
ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.  х1 = –17;    х2 =
4) Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны 
х= а; х= –
ax2 + (а2– 1)∙ х– а = 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х2 – 99 х – 10 = 0.    х1 = 10;   х2 = –

4. Выводы

В процессе работы над проектом мы познакомились  с нестандартными приемами решения квадратных уравнений. Разработали  банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов. 

Успешно выполненная работа, позволяет сделать следующие выводы:

• нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;
• решение квадратных уравнений  с помощью устных способов намного проще и быстрее. 
• позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Можно использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также,  для контроля при решении

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.