Практическая значимость замечательных теорем

Опубликовано Фролова Елена Юрьевна вкл 06.04.2014 - 21:39

Автор:

Аверченко Екатерина

Работа посвящена теоремам Менелая и Чевы, которые по каким-то причинам не изучаются в основном курсе геометрии. Хотя эти замечательные теоремы не включены в программу, однако они остаются незаменимым подспорьем при решении целого класса геометрических задач, связанных с треугольником, и позволяют легко и изящно оформить решение, в то время когда традиционные способы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям. Новый подход к решению большого спектра непростых задач является событием большой редкости и поэтому служит веским доказательством актуальности работы.

Скачать:

Вложение	Размер
Работа. Практическая значимость замечательных теорем.	947 КБ
Презентация. Практическая значимость замечательных теорем.	2.01 МБ

Предварительный просмотр:

НАЦИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ»
Конкурс исследовательских работ «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»

Секция: Математика

Практическая значимость замечательных теорем

Аверченко Екатерина,

ученица 10 «А» класса МОУ СОШ №2 с углубленным изучением отдельных предметов г. о. Кинель

Научный руководитель:

Фролова Елена Юрьевна,

учитель математики МОУ СОШ №2 с углубленным изучением отдельных предметов г. о. Кинель

г. Обнинск, 2009/2010 учебный год

Содержание

Введение.………………………………………………………………………………...3
Основная часть.………………………………………………………………………...4

2.1. Замечательные точки треугольника……………………………………………….4
2.2. Теорема Менелая …………………………………………………………………..6
2.3. Теорема Чевы ………………………………………………………………………8
2.4. Применение теорем Чевы и Менелая при доказательстве основных свойств
в геометрии треугольника………………………………………………………….9

Практическая часть…………………………………………………………………..12

3.1. Решение задач с использованием теорем Чевы и Менелая……………………..12

3.2. Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач повышенной

сложности….…………………………………………………………………...…..14

Результаты исследования……………………………………………………………16
Заключение…………………………………………………………………………….16

Библиографический список................………………………………………………17

Приложение……………………………………………………………………………18

Введение

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Г. Галилей

Геометрия – удивительная наука. Ее история насчитывает не одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить любого человека волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества.

Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а её решение – скромной (а иногда и огромной) математической победой [5].

Постепенно понимаешь, как не похожи друг на друга пути, ведущие к решению интересных геометрических задач. Проблема заключается в том, чтобы среди них найти наиболее рациональный способ, позволяющий получить ответ на поставленный вопрос как можно проще и красивее. Бесконечность возможных направлений поиска многих людей приводит в трепет, но одновременно дает хорошую надежду открыть свою собственную дорогу в геометрическом лабиринте.

Наша работа посвящена теоремам Менелая и Чевы, которые по каким-то причинам не изучаются в основном курсе геометрии. Хотя эти замечательные теоремы не включены в программу, однако они остаются незаменимым подспорьем при решении целого класса геометрических задач, связанных с треугольником, и позволяют легко и изящно оформить решение, в то время когда традиционные способы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям. Новый подход к решению большого спектра непростых задач является событием большой редкости и поэтому служит веским доказательством актуальности данной работы.

Предмет исследования – методы решения планиметрических задач, связанных с треугольником.

Объект исследования – применение теорем Менелая и Чевы в процессе решения геометрических задач.

Гипотеза исследования – владение разнообразными методами решения геометрических задач повышает уровень математической культуры и позволяет выбирать наиболее рациональные способы.

В работе преследуется основная цель – показать эффективность применения теорем Менелая и Чевы при решении планиметрических задач на доказательство и вычисление отношений.

В соответствии с поставленной целью в работе определены основные задачи:

познакомиться с историей появления теорем Менелая и Чевы;
изучить теоремы Менелая и Чевы;
овладеть приемами применения теорем Менелая и Чевы при решении геометрических задач;
выявить возможности, предлагаемые данными теоремами при изучении планиметрии.

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Замечательные точки треугольника

В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. К ним относятся свойства замечательных точек треугольника: точки пересечения медиан (центра тяжести треугольника), точки пересечения биссектрис (центра вписанного круга), точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центра описанного круга) и точки пересечения высот (или их продолжений), называемой ортоцентром. Рассмотрим способы доказательства этих свойств, представленные в учебнике Л. С. Атанасяна.

Задача. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство.

Пусть дан произвольный треугольник ABC (рис. 1). Обозначим буквой O точку пересечения его медиан AA1 и BB1 и проведем среднюю линию A1B1 этого треугольника. Отрезок A1B1 параллелен стороне AB, поэтому и . Следовательно, треугольники AOB и A1OB1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: . Но AB = 2A1B1, поэтому AO = 2 A1O и BO = 2B1O. Таким образом, точка O пересечения медиан AA1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, что и требовалось доказать [2].

Следствие 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Обозначим буквой O точку пересечения биссектрис AA1 и BB1 ABC и проведем из этой точки перпендикуляры OK, OL и OM соответственно к прямым AB, BC и CA (рис. 2). По теореме о биссектрисе OK = OM и OK = OL. Поэтому OM = OL, т. е. точка O равноудалена от сторон угла ACB и, значит, лежит на биссектрисе CC1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы ABC пересекаются в точке O, что и требовалось доказать [2].

Следствие 2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров m и n к сторонам AB и BC ABC (рис. 3). По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку OB = OA и OB = OC. Поэтому OA = OC, т. е. точка O равноудалена от концов отрезка AC и, значит, лежит на серединном перпендикуляре p к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам ABC пересекаются в точке O, что и требовалось доказать [2].

Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что прямые AA1, BB1 и CC1, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (рис. 4). Проведем через каждую вершину треугольника ABC прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник A2B2C2. Точки A, B и C являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, AB = A2C и AB = CB2 как противоположные стороны параллелограммов ABA2C и ABCB2, поэтому A2C = CB2.

Аналогично C2A = AB2 и C2 B = BA2. Кроме того и , что следует из построения. Таким образом, прямые AA1, BB1 и CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам A2B2C2. Следовательно, они пересекаются в одной точке (по следствию 2). Теорема доказана [2].

Подведём итог: доказывая основные свойства треугольника, авторы учебника использовали различные приёмы и опирались на следующие теоретические факты:

свойство средней линии треугольника;
свойство углов, образованных параллельными прямыми и секущей;
подобие треугольников;
теорему о биссектрисе угла;
теорему о серединном перпендикуляре к отрезку;
определение и свойство параллелограмма.

Выясним, возможен ли принципиально другой подход в доказательстве свойств о замечательных точках треугольника. Для этого нам потребуется получить ответ на классические вопросы, имеющие место в геометрии треугольника.

При каком условии три точки, две из которых лежат на разных сторонах треугольника, а третья – на продолжении третьей стороны, расположены на одной прямой?
В каком случае три прямые, каждая из которых проходит через вершину треугольника и точку на противолежащей стороне, пересекаются в одной точке?

Оказывается, существуют теоремы, с помощью которых эти проблемы легко решаются [4].

2.2. Теорема Менелая

Теорема Менелая доказана древнегреческим математиком и астрономом Менелаем Александрийским, жившим в I веке до нашей эры. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского [1].

Теорема. Пусть на сторонах АВ, ВС и продолжении стороны АС треугольника ABC взяты соответственно точки С1, А1 и B1. Точки A1, В1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Доказательство.

I. 1) Необходимость. Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой (рис. 5). Проведём прямую СК параллельно прямой АВ. Тогда треугольники СВ1К и АВ1С1 подобны. Следовательно,

Из подобия треугольников СКА1 и ВС1А1 следует пропорциональность сторон:

Приравнивая полученные выражения для СК, будем иметь:

Прямая теорема доказана.

2) Достаточность. Пусть выполнена формула (*). Докажем, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямая В1А1 пересекает прямую АВ в точке С2. Тогда, поскольку три точки А1, В1 и С2 лежат на одной прямой, то по доказанному: Сравнивая последнюю формулу с формулой (*), получаем:

Откуда следует, что точки С1 и С2 в одинаковом отношении делят отрезок АВ. Следовательно, точки С1 и С2 совпадают, а поэтому точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

Обратная теорема доказана [3].

II. Докажем необходимость теоремы Менелая другим способом.

Пусть точки А1, В1, C1 лежат на одной прямой а (рис. 6). Опустим из вершин треугольника ABC перпендикуляры АА', ВВ', СС' на эту прямую. АС1А' подобен BC1B'

Из подобия треугольников BА1B' и СА1C' следует пропорциональность сторон:

Аналогично из подобных треугольников СВ1С' и АВ1А' получаем пропорцию:

Перемножая три последних равенства, будем иметь: что и требовалось доказать [3].

Примечание. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении (по часовой стрелке или против).

2.3. Теорема Чевы

Перейдём к теореме, опубликованной в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой [1].

Теорема. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соответственно точки С1, A1 и В1. Прямые АА1 ВВ1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство.

I. 1) Предположим, что прямые АА1, ВВ1, CC1 пересекаются в точке О (рис. 7). Через вершину С треугольника ABC проведем прямую, параллельную АВ, и ее точки пересечения с прямыми АА1 и BB1 обозначим соответственно А2 и В2. Из подобия треугольников CB2B1 и ABB1 имеем равенство

Аналогично, из подобия треугольников ВАА1 и СА2А1 следует пропорция:

Далее из подобия треугольников ВС1О и B2CO, AC1O и А2СО имеем:

Перемножая равенства (1), (2) и (3), получим требуемое равенство (*).

Необходимость доказана.

2) Докажем достаточность. Пусть для точек А1, В1, С1, взятых соответственно на сторонах ВС, АС и АВ треугольника ABC, выполняется равенство (*). Обозначим точку пересечения прямых АА1 и ВВ1 буквой О, а точку пересечения прямых СО и АВ – С'. Тогда на основании доказанного для точек А1, В1 и С' будем иметь:

С учётом равенств (*) и (4), получаем пропорцию , из которой следует совпадение точек С' и С1. Значит, прямые АА1, ВВ1, CС1 пересекаются в одной точке.

Теорема доказана [1].

II. Докажем необходимость теоремы Чевы с помощью площадей треугольников.

Предположим, что прямые АА1, ВВ1, CC1 пересекаются в точке О (рис. 8). Опустим из вершин А и В треугольника ABC перпендикуляры АА', ВВ' на прямую СС1. Треугольники АС1А' и BС1B' подобны, следовательно,

Аналогичным образом показывается, что

Перемножая полученные равенства, будем иметь:

что и требовалось доказать [3].

2.4. Применение теорем Менелая и Чевы при доказательстве основных свойств

в геометрии треугольника

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц

Замечательным свойством представленных в работе теорем является то, что они могут служить отправной точкой при изучении основных свойств треугольника в 9 классе.

В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения.

1) Свойство 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство.

Пусть AM1, ВМ2, СМ3 — медианы треугольника АВС (рис. 9). Чтобы доказать, что они пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Так как по определению медианы АМ3=М3В, ВМ1=М1С, СМ2=М2А, то в нашем случае имеем:

Тогда по теореме, обратной к теореме Чевы, отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Пусть О — точка пересечения медиан. Прямая СМ3 пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая:

Рассматривая теорему Менелая для треугольников AM1С и AM3С, мы получаем:

что и требовалось доказать.

2) Свойство 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть AL1, ВL2, СL3 — биссектрисы треугольника АВС (рис. 10). Достаточно показать, что

тогда по теореме, обратной к теореме Чевы, отрезки AL1, BL2, CL3 будут пересекаться в одной точке.

По свойству биссектрис треугольника имеем:

Перемножая почленно полученные равенства, получаем:

Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Свойство 3. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть АH1, ВH2 и СН3 — высоты треугольника АВС со сторонами a, b и c (рис. 11). Проверим, что будет выполнено равенство: (*).

Из прямоугольных треугольников АВН2 и СВН2, где АН2 = х, СН2 = b – x, по теореме Пифагора выразим соответственно квадрат общего катета ВH2.

и .

Приравнивая правые части полученных равенств, получаем: с2 - х2 = а2 - (b - х)2, откуда тогда

Итак,

Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников ACH3 и BCH3 , BAH1 и CAH1, получим:

Подставив в левую часть равенства (*) выражения длин отрезков АН3, ВН3, BH1, CH1, CH2 и AH2 через а, b и c, получаем:

Следовательно, по теореме, обратной к теореме Чевы, отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Свойство 4. Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть А1, B1 и С1 — точки касания окружности, вписанной в треугольник АВС (рис. 12). Для того чтобы доказать, что отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Введем обозначения, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки: BC1 = BA1 = x, CA1 = CB1 = y, AB1 = AC1 = z.

Равенство Чевы выполняется, значит, отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке

(точке Жергона), что и требовалось доказать.

3. Практическая часть

3.1. Решение задач с использованием теорем Чевы и Менелая

Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах.

Г. Цейтен

Одной из интереснейших особенностей геометрических задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым предлагается решить конкурсную (или олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан.

Выявим, в каких случаях уместно применять теоремы Менелая и Чевы? Имеет смысл рассматривать возможность применения этих теорем, если в условии задачи:

1) идет речь об отношениях отрезков (иногда завуалированном: доказать равенство отрезков или доказать, что точка является серединой отрезка и т.п.);

2) если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теоремах Менелая и Чевы (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

Конечно, есть случаи, когда применение указанных теорем в решении не очевидно и требует дополнительных построений. Заметим также, что иногда полезно применять обратные теоремы (в частности, если нужно доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой или прямые пересекаются в одной точке).

Рассмотрим задачи, решение которых основано на использовании теорем Менелая и Чевы.

Задача 1. Точки С1 и A1 делят стороны AB и BC треугольника ABC в отношении 1:2. Прямые CC1 и AA1 пересекаются в точке О. Найдите отношение, в котором прямая BO делит сторону AC [7].

Решение.

Пусть BOAC=B1, AC1=k, C1B=2k, BA1=n, A1C=2n.

Запишем теорему Чевы для треугольника ABC (рис. 13):

Ответ: 1: 4.

Задача 2. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR —точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении

т : п , считая от точки Q. Найдите PN:PR [7].

Решение.

Пусть NQ = LR = а. Так как , то QF = km, LF = kn (рис. 14). Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая:

Ответ: n : m.

Задача 3. Через точку P, лежащую на медиане CC1 треугольника ABC, проведены прямые AA1 и BB1 (точки A1 и B1 лежат на сторонах BC и CA соответственно). Докажите, что A1B1 || AB [5].

Решение.

Поскольку отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке (рис. 15), то по теореме Чевы , а так как , то ,

что и требовалось доказать.

Задача 4. Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два треугольника. Найдите отношение их площадей [8].

Решение.

Пусть BD = DC = a, KD = т, тогда АК = 3т (рис. 16). Пусть Р = ВКАС. Необходимо найти отношение .

Так как треугольники АВР и РВС имеют общую высоту, проведенную из вершины В, то .

По теореме Менелая для ADC и секущей РВ имеем: .

Ответ: 3 : 2.

Задача 5. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ [5].

Решение.

Запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DB (рис. 17):

так как СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF, что и требовалось доказать.

3.2. Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач повышенной сложности

Некоторые задачи по планиметрии, предлагаемые на факультативных курсах, олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и заочные математические школы, успешно решаются, если к ним применить указанные теоремы. Приведем примеры таких задач.

Задача 1. На стороне BC треугольника ABC взята точка M так, что BM = 2CM. Точки K и L выбраны на сторонах AC и AB соответственно так, что AK = 2CK,

BL = 3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок AM [9]?

Решение.

1) Дополнительно построение: . Пусть CM = k, CK = l, AL = p, CO = x, тогда

MB = 2k, AK = 2l, LB = 3p, OM = x+k, OB = x+3k (рис. 18).

2) Запишем теорему Менелая для треугольника CAM и прямой KE:

, , (1) (2).

3) Запишем теорему Менелая для треугольника MAB и прямой EL: (3).

4) Из равенств (2) и (3) получим уравнение: , , , , .

Используя равенство (1) получим: , , .

Ответ: 3 : 4.

Задача 2. Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону BC [9].

Решение.

Если точки P и Q лежат по разные стороны от прямой BC, то точка P принадлежит медиане QM треугольника QAD (рис. 19). Докажем, что BC || AD.

Поскольку отрезки AC, DB и QM пересекаются по условию задачи в одной точке, то по теореме Чевы имеем:

, а так как , то . Тогда ABCD – трапеция. По замечательному свойству трапеции прямая PQ проходит через середину BC, что и требовалось доказать.

2) Если точки P и Q лежат по одну сторону от прямой BC, то точка P принадлежит продолжению медианы QM треугольника QAD (рис. 20).

Доказательство этого случая проводится аналогично.

Примечание. В процессе работы над данной темой были отобраны задачи, в решении которых уместно применить теоремы Чевы и Менелая (см. приложение).

4. Результаты исследования

Использование теорем Чевы и Менелая при доказательстве свойств замечательных точек треугольника, несомненно, упрощает процесс их восприятия, а в отдельных случаях является самым коротким способом для подтверждения устанавливаемых фактов.

Сравнительный анализ методов доказательств, изложенных в работе, позволяет оценить эффективность применения рассмотренных теорем и, как следствие этого, подчёркивает необходимость включения их в программу школьного курса.

В результате проведённого исследования установлена истинность сформулированной гипотезы:

умение применять различные методы решения задач способствует выбору наиболее рационального способа;

наличие опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая повышает уровень математической культуры и логического мышления.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе написания работы мы познакомились с историей появления теорем Чевы и Менелая и различными способами их доказательств, овладели приемами применения этих теорем при решении геометрических задач и выявили область возможного использования при изучении планиметрии:

основные свойства треугольника могут быть доказаны с помощью теорем Чевы и Менелая;
выше названные теоремы позволяют просто и красиво решать задачи планиметрии по теме «Треугольник», что доказывает целесообразность их применения.

Комплекс задач, представленных в работе, может использоваться для проведения факультативных занятий и позволяет наилучшим образом подготовиться к олимпиадам и вступительным экзаменам по математике.

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании, а время, затраченное на их усвоение, в полной мере компенсируется быстротой и оригинальностью решения задач, связанных с треугольником, в том числе, и задач повышенной сложности.

Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств треугольника и поэтому рекомендуется всем, кто увлекается математикой, кто желает знать свыше программного материала и совершенствовать свои знания.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ Список

Александров А.Д. и др., учебник «Геометрия для 8-9 классов», М.: «Просвещение», 1991 г., стр.407.
Атанасян Л.С. и др., учебник «Геометрия, 7-9», М.: «Просвещение», 2004 г., стр. 141.
Выгодский М.Я. Замечательные линии и точки в треугольнике. М. 1974 г. Справочник по элементарной математике, стр.272.
Журнал «Математика в школе» №9 2006 г., №8, №10 2008 г.
Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.А. Новые встречи с геометрией. М., Наука, 1978 г., стр. 13.
Орач Б. Теорема Менелая. Квант №3, 1991 г.
Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы

(книга 2 Геометрия) М. 1996 г., стр. 5.

Шарыгин И.Ф. Учимся решать задачи по геометрии. Математика в школе 2. 1989 г., стр.87.
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989, стр. 191.

10. http://www.bestreferat.ru/referat-89355.html

Приложение

Задачи по планиметрии

Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение [7].

Решение.

Пусть МА = АС = b, BN =k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей (рис. 21). По теореме Менелая:

Ответ: 2 : 3.

Задача 2. (физико-техническая школа при МФТИ). Точка В1 лежит на стороне АС, точка A1 — на стороне ВС треугольника АВС, АВ1 : В1С = 1 : 2, ВА1 : А1С = 1 : 3. Отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите: 1) ВО:ОВ1; 2) АО:ОА1; 3) AC1:C1B, где С1 — точка пересечения A1B1 и АВ [7].

Решение.

1) Пусть АВ1=m, A1B=k, тогда В1С=2m, A1C=3k. В треугольнике ВВ1С прямая АА1 пересекает две стороны этого треугольника и продолжение третьей стороны (рис. 22). По теореме Менелая:

2) В треугольнике AA1C прямая ВВ1 пересекает две его стороны и продолжение третьей (рис. 22). По теореме Менелая:

3) В треугольнике АВС прямая A1C1 пересекает две его стороны и продолжение третьей (рис. 23).

По теореме Менелая:

Ответ: ВО : OB1 = 1 : 1, АО : ОА1 =2 : 1, AC1: C1B = 3 : 2.

Задача 3. В треугольнике АВС AD — медиана, точка О — середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А [8].

Решение.

Пусть BD = DC = а, АО = OD = m (рис. 24). Прямая ВK пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. По теореме Менелая :

Ответ: 1 : 2.

Задача 4. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник [4].

Решение.

Пусть в треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 7, АС = 6 (рис. 25).

Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС — больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Необходимо найти АО : OD. Так как AD — биссектриса треугольника АВС, то то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF — биссектриса треугольника АВС, то то есть АF = 5m, FC = 7m.

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC. По теореме Менелая:

Ответ: 11 : 7.

Задача 5. Биссектрисы BE и AD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если = 1 , 2АС = 3АВ, 3ВС = 4АВ [7].

Решение.

Пусть АВ = а, тогда , Так как AD — биссектриса треугольника АВС, тогда то есть BD = 2р, DC = 3р (рис.26).

Так как BE — биссектриса треугольника АВС, тогда AE = 3k , EC = 4k.

В треугольнике ВЕС прямая AD пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

то есть EQ = 9m, QB = l4.m.

Треугольники QBD и ЕВС имеют общий угол, значит,

= = так как

Треугольники АВС и BEC имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, тогда =

Ответ: 115 : 16.

Задача 6. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК : ВК = 2 : 3, а на стороне AC — точка L, делящая АС в отношении AL : LC =5 : 3. Точка Q пересечения прямых СК и BL удалена от прямой АВ на расстояние . Найдите длину стороны АВ [10].

Решение.

1) Треугольники ABL и АВС имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины В (рис. 27).

тогда =

2) Прямая КС пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая:

то есть BQ = 4p , QL = p.

3) Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит, тогда =

4) = , тогда

Итак, АВ = 4.

Ответ: 4.

Задача 7. В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК. =1. Найдите площадь треугольника АВС [7].

Решение.

1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны (рис. 28). По теореме Менелая: (1).

В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

(2).

Умножая равенство (1) на равенство (2), получим:

то есть MC = 4p, AM = p.

2) Из равенства (1) имеем:

то есть

3) Треугольники МВС и BQC имеют общий угол, значит,

тогда =.

4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, = =

Ответ: 1,75.

Задача 8. На стороне АС треугольника АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL: LB = 2 : 3. Q — точка пересечения прямых ВК и CL.

= 1. Найдите длину высоты треугольник АВС, опущенной из вершины В [10].

Решение.

Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC (рис. 29). По теореме Менелая:

то есть LQ=1p, QC = 5p.

Треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,

2) Треугольники ABC и ALC имеют общую высоту, проведенную из вершины С, значит,

3) =

Ответ: 1,5.

Задача 9. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении р, а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS : SN [10].

Решение.