Исследовательская раюота на тему "Загадочне число "ПИ"

Муниципальное Казенное  Общеобразовательное учреждение средней общеобразовательной школы №1 Россошанского района Воронежской области

Исследовательская работа

по математике:

           «Загадочное число »        

      Работу выполнила:

                                           ученица 8 «Б»  класса

Корниенко Анастасия

                                                Руководитель работы

учитель математики

Липницкая Вера Николаевна

2012-2013 учебный год

Содержание

Введение

Добрый день, уважаемые слушатели. Тема моего исследования Загадочное число Пи.  Абсолютно все знают, что такое "пи". Последовательность цифр в числе Пи, издавна волнующая умы математиков своей непредсказуемостью, действительно случайна.

На сегодняшний день число Пи известно с точностью до 500 млрд. знаков, в которых так и не найдены какие-либо повторения. Английский математик Август де Морган назвал как-то "пи" “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач Античности - построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга - влечет за собой шлейф драматических исторических и курьезных занимательных фактов.

Поэтому я проявила повышенный интерес к этому числу и поставила цель:

• Исследование числа ПИ и выявление его роли в окружающей среде.

Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

• Познакомиться подробнее с числом ПИ.
• Провести эксперимент по вычислению приближенного значения отношения длины окружности к диаметру.
• Найти занимательные факты и правила для запоминания числа ПИ

История числа "пи"

Число π (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако недостаточно точное исчисление значения Пи привело к краху всего проекта. Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона.

В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для построения квадрата, равного по площади кругу:

« Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной осталь-ной части, будет он эквивалентен кругу»

Из этого следует, что у Ахмеса π ≈ 3,1605.

В Вавилоне в v веке до н. э. пользовались числом 3  1/8≈ 3,1215,  а в древней Греции чис-лом (√2+√3)≈3,1462643.

 В индийских «сутрах» VI–V в до н. э. имеются правила, из которых вытекает, что      π ≈3,008.  Наиболее древняя формулировка нахождения приближённого значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Ариабхаты (V-VI в)

Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,

Потом ещё шестьдесят две тысячи прибавь.

Когда поделишь результат на двадцать тысяч,

Тогда откроется тебе значение

Длины окружности к двум радиусам отношенья,   т. е.

длина окружности           \ 62832  

                                        =                 ≈3,1416                                  

 диаметр                             20000

Архимед в III в. до  н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

1. Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
3. Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3+1/7 и больше 3+10/71.

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя  вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторонами.

По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что p = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653... 

В первой половине XV в. обсерватории Улугбека, астроном и математик ал-Каши вычислил пи с 16 десятичными знаками. Аль-Каши нашёл для π значение, далеко превосходящее по точности все ранее известные. Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число пи только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что пи можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить пи с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом пи английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

Возникновения числа 

Число  связывают с окружностью. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт. Приведу лишь несколько примеров.

1. Рассмотрим множество положительных чисел. Если у них случайным образом выбрать два числа, то какова вероятность того, что выбранные числа не будут иметь общего делителя? Ответ неожидан: искомая вероятность равна .
2. Когда-то немецкий математик Лейбниц (1646-1716) заинтересовался, сколько получится, если последовательно будем складывать такие числа: .Оказалось, что мы получим . (Для доказательства Лейбниц пользовался приёмами высшей математики).
3. Аналогичный вопрос поставил перед собой Леонард Эйлер. Его интересовала «сумма чисел»:  

4. Было найдено и много других формул, где неожиданно появляется число . Вот формула английского математика Джона Валлиса:

О трансцендентности и иррациональности числа π

π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761[3] году путём разложения числа  в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.

   π — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.

Поскольку в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

Практическая работа

Эксперимент по вычислению приближенного значения отношения длины окружности к диаметру.

• Взяла   5 любых предметов: стакан, кружку, мячик, баночку с краской, пенку для умывания
• Обвязала  предметы ниткой и таким образом измерила  длину окружности.
• Вычислила для каждого случая значение числа «Пи», округлив результат до тысячных.
• Составила таблицу по найденным нами данным

 Вывод: отношение длины окружности к диаметру приближается к 3,14. Точность вычисления числа «Пи» таким способом невелика: только в одном случае из 5 найденное значение константы содержит верную цифру в разряде сотых, в остальных случаях достигнута точность только в разряде десятых.

Мнемонические правила

Что я знаю о кругах» (количество букв в каждом слове соответствует значению числа "Пи" - 3,1416).

«Это я знаю и помню прекрасно – «Пи»  многие знаки мне лишни, напрасны»   

(соответственно 3,14159265358).

«Учи и знай в числе известном За цифрой цифру, как удачу, примечать»

(соответственно 3,14159265358).

Гимназисты в дореволюционной России учили:  

Кто шутя и скоро пожелает(ъ)
Пи узнать число, уж(ъ) знает(ъ).
Нужно только постараться
И запомнить все как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!

Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».

Гордый Рим трубил победу

Над твердыней Сиракуз;

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь.

Надо нынче нам заняться,

Оказать старинке честь,

Чтобы нам не ошибаться,

Чтоб окружность верно счесть,

Надо только постараться

И запомнить все как есть

Три - четырнадцать - пятнадцать –

девяносто два и шесть!

Число пи (3,14...)

Целых частей в Пи,

Как у треугольника углов – три.

Следом идёт запятая,

После целых частей ставить её не забываю.

Затем стоит единица,

Ребятам, знающим на эту оценку,

В Головинщинской школе  не стоит учиться.

Четыре океана всего на Земле,

Один из них, Тихий –

Самый большой по глубине!

Цифр много в числе Пи,

Сочинила лишь про три!

Забавные факты

• 14 марта математики отмечают один из самых необычных праздников — Международный день числа «Пи». Эта дата выбрана неслучайно: числовое выражение π (Пи) — 3,14 (3 месяц (март)  14 число). В этот день весь мир ест ПИроги и ПИроженые, играет на ПИанино и в ПИн-понг. Эта дата совпала с днем рождения Альберта Эйнштейна – Выдающегося ученого  ХХ столетия.

• Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.
• Украинец Андрей Слюсарчук установил новый мировой рекорд по запоминанию числа пи. Точное воссоздание в объеме запомнив 30 миллионов знаков числа Пи, которые были напечатаны в 20 томах текста.
• Предыдущий мировой рекорд по запоминанию знаков числа π принадлежит япон-цу Акира Харагути . Он запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком. (На запоминание ушло 10 лет)
• Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток
• В штате Индиана (США) в 1897 был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора, присутствовавшем во время рассмотрения принятия данного закона.
• Среди самых известных памятников архитектуры замечается закономерность числа «пи».  В известных пирамидах отношение площади к высоте даёт значение 3,14….
• Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему… целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить Пи.
• Выход нового диска Кейт Буш "Aerial" заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица так и назвала – "Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141…
• Пи заворожило не только Кейт Буш. С давних времен загадка этого числа не давала покоя многим ученым, особенно математикам - именно в этой области многие разделы науки не могут обойтись без законов этого таинственного числа.
• Германский король Фридрих II был настолько очарован этим числом, что посвятил ему…целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить Пи. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.
• Как пишет "Die Welt", существует и Пи-клуб, члены которого, являясь фанатами загадочного математического феномена, собирают все новые сведения о Пи и пытаются разгадать его тайну. Чтобы вступить в него, для начала надо вызубрить наизусть как можно большее количество чисел Пи после запятой. Пока рекорд принадлежит японцу Акира Харагучи, запомнившему 83 431 цифру.
• А вот певицу Кейт Буш, несмотря на то, что она увековечила в своей песне знаменитое число, в клуб фанатов Пи не примут. В ее песне неправильно названо 25-е число последовательности, да и потом исчезли куда-то целых 22 числа. Так что ей предстоят упорные тренировки.
• Аромат назван в честь загадочного числа «пи» - основы многих вычислений, открытий и инноваций. Этот аромат был создан под руководством Александра МакКуина (Alexander McQueen) - коренного англичанина в Париже, поэтому он не мог не получиться неординарным и уникальным, ведь в нем смешалось два мира: английское спокойствие и французская любовь к праздникам.
• Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи. Это американский психологический триллер 1998 года, который назван по имени математической константы π.
• На одной из улиц Лейпцига  было обнаружено таинственное яйцо с нанесенными на нем 2345 цифрами числа пи.
• Ко дню рождения Хуберта Риттера (Hubert Ritter, 1886 - 1967),  архитектора из Лейпцига, применявшего в строительстве элементы окружностей, создали мозаику из 1886 элементов, ячейки которой раскрашены по цифрам числа пи

Астрономия. Космонавтика. Архитектура. Строительство. Машиностроение. Навигация. Кораблевождение. Физика. Электроника. Электротехника. Информационные технологии.

Запомнить знаки  человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность? Любимый вопрос мнемонистов-профессионалов. Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на .

Мировой рекорд, установленный в прошлом столетии в Германии - 40 000 знаков. Российский рекорд значений числа  1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа .

Заключения

Изучение арифметической природы числа p исторически шло в следующем направлении. Сначала в 1761 году немецкий математик И.Ламберт первый показал, что число p есть число иррациональное. Позднее французский математик А.Лежандр установил, что квадрат числа p есть также число иррациональное. Наконец, в 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман доказал знаменитую теорему, согласно которой, число p есть число трансцендентное,  т.е. оно не может служить корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Отсюда, как следствие, уже вытекала неразрешимость с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи о квадратуре круга.

          В ходе проведения практического исследования я пришла к следующим выводам:  полученное на практике отношение длины окружности к её диаметру приближается к 3,14. Точность вычисления числа «Пи» таким способом неве-лика: только в одном случае из 5 найденное значение константы содержит верную цифру в разряде сотых, в остальных случаях достигнута точность только в разряде десятых.

Никакое другое число не является таким загадочным, как "Пи" с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы.

Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу  («пи»

Литература

1. Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007

2. Архимедовы теоремы, Андреем Таккветом, езуитом, выбранные и Георгием Петром Домкиио сокрашенные… / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1745. С. 287—457.

3. http://ru.wikipedia.o rg/wiki/Pi

4. Нейгебауер O. Точные науки в древности. — М.: Наука, 1968.

5. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: ГИФМЛ, 1959.

6. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса, М., 1990.

7. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

8. Три знаменитые задачи древности: пособие для внеклассной работы/В.Д.Чистяков. М.: Учпедгиз, 1963. 95 с.

9. Фихтенгольц  Г.М. Основы математического анализа т. I, II. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

10. Кымпан Ф. История числа пи М.: Наука, 1971. -216 с

11. Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1998.

12. Симонов Р.А. Математическая мысль древней Руси/Р.А Симонов. М.: Наука, 1977. 120 с. (История науки и техники).

13. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы/А.Г.Цыпкин; под ред. С.А.Степанова. М.: Наука, ФМ, 1980. 400 с. Чистяков В.Д.

14. Белозеров С. Е., Пять знаменитых задач древности (история и современная теория). Ростов, 1975.

15. Аронов А. М., Ермаков С. В., Знаменская О. В. Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография / КГУ, 2001

16. О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса..., пер. с нем., 3 изд., М.— Л., 1936;

17. Shanks D., Wrench J. W., Calculation of p to 100 000 decimals, "Mathematics of Computation", 1962, v. 16, № 77.

18. . Звонкин А. Что такое p // Квант, 1978 №11.

19. Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 89-118. — 208 с. — (История науки и техники).