В работе рассмотрены несколько способов умножения: крестьянский ( удвоение). умножение на пальцах от 6 до 9, египетский, умножение решеткой, а также два способа деления : галерой и методом Гилберта. Сделаны сравнительные выводы о достоинствах и недостатках указанных методов с о школьными общепринятыми.
Вложение | Размер |
---|---|
starinnye_sposoby_umnozheniya_i_deleniya.docx | 418.64 КБ |
Муниципальный конкурс научно-исследовательских и творческих работ «Первые шаги в науке»
СЕКЦИЯ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, МАТЕМАТИКА;
Cтаринные способы умножения и деления
Автор Автомонов Денис,
ученик 7А класса
Научный руководитель
Айзикович Анна Георгиевна,
учитель математики
МБОУ «СОШ № 13 с углублённым
изучением отдельных предметов»
г.Губкина Белгородской области
Губкин
2014
Введение
Можно ли представить мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
Две стихии господствуют в математике — числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и действий с ними. В современном мире математическая грамотность является одной из основных целей образования. Она включает в себя, в частности, умение совершать арифметические действия, проводить подсчёты и измерения.
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
Практическая сторона арифметики включает в себя методы, схемы и алгоритмы для осуществления точных арифметических действий, в том числе использование счётных машин. В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственные способы выполнения операций умножения и деления.
Гипотеза – используемые алгоритмы умножения и деления натуральных чисел - не единственные.
Проблема – просты ли наши современные способы различных вычислений, какие нестандартные приёмы умножения и деления существуют для счета?
Цель работы – рассмотреть нестандартные приёмы умножения и деления не рассматриваемые в школьном курсе математики.
Задачи:
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес к математике и содействует развитию математических способностей. За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Для изучения данной темы, автор изучил работы таких авторов как Депнам И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» Гейзер Г.И. «История математики в школе», в которых нашел историю появления приемов арифметических операций; в энциклопедии для детей «Математика» ( серия Аванта ) были найдены старинные способы умножения и деления галерой.
Основная часть
Для натуральных чисел естественным образом определены операции сложения и умножения Многократное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию — умножение. Помимо умножения, в древности существовало отдельное арифметическое действие — удвоение, или умножение на два. Обратной к операции умножения является операция деления. Первое определение деления — это поиск числа, которое содержится в делимом столько раз, сколько единиц содержится в делителе. Деление считалось очень сложной и громоздкой операцией. Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельные разряды частного (деление столбиком), представлен в итальянском манускрипте 1460 года. Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового, великого мастера счетного дела.
1.Способы для умножения чисел
1.1"Русский" способ умножения
27 | 64 |
54 | 32 |
216 | 8 |
432 | 4 |
1728 | 1 |
Русский способ умножения использовался в России 2-3 века назад. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.
Рассмотрим конкретный пример: 27*64=1728.
Суть этого способа в том, что на сколько делим второй множитель, на столько же нужно умножить первый.
47 | 37(*)-убрали 1. |
94 | 18 |
188 | 9(*)-убрали 1. |
376 | 4 |
752 | 2 |
1504 | 1 |
Как умножить числа, если оба множителя нечётные?
Например, 47х37.
Если бы не убирали по 1 во втором столбце, то произведение равнялось бы 1504.Но мы решали так: как будто в 1 строке не 47х37, а 47х36 (т.е. убрали одно 47), а в третьей строке не 188х9,а 188х8 (т.е. убрали 188).
Поэтому верным будет: 1504х1+47+188=1739 ( добавили, что убирали).
162 | 75 |
81(*)-убрали 1. | 150 |
40 | 300 |
20 | 600 |
10 | 1200 |
5(*)-убрали 1. | 2400 |
2 | 4800 |
1 | 9600 |
150+2400+9600=12150.
Вывод: исследование показало: этот способ можно использовать при умножении любых чисел, однако, трудность заключается в подборе делителя для второго множителя, особенно для больших чисел.
1.2 Из страны пирамид
Весьма вероятно, что описанный способ дошел до нас из глубочайшей древности и из отдаленной страны - из Египта. Мы мало знаем, как производили арифметические действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный документ - папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта. - это так называемый "папирус Ринда", относящийся ко времени между 2000 и 1700 годом до нашей эры* и представляющий собой копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец** Аамес, найдя "ученическую тетрадку" этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера - вместе с их ошибками и исправлениями учителя - и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде: В этом интересном документе, насчитывающем за собой около сорока веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера умножения, выполненные по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):
9*9=(1+8)*9=1*9+8*99+72=81,
7*2801=(1+2+4)*2801=2801+5602+11204=19607
Вы видите из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, довольно сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны пирамид в современную эпоху. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 * 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17 .
и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком +, то есть 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 * 17) + (16 *17) = 19 *17. Вывод: подобный прием по существу весьма близок к нашему крестьянскому (замена умножения рядом последовательных удвоений).
1.3 Умножение на пальцах
Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).
Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.
Пример: 8 ∙ 9 = 72 ( складываем 3 пальца на одной и 4 пальца на другой руке, будет 7 десятков. Перемножаем 2 загнутых пальца на другой 1 загнутый палец, получаем 2. Итого получили число 72)
Вывод: прием ограничен и приемлем только для умножения от 6 до 9.
1.4 Метод «решетки».
Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. «Аль - Хорезми» буквально означает «из Хорезми», т. е. родился в г. Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана). Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.
Этот же способ называют еще итальянским способом. Итальянский способ умножения был распространен в средние века на Востоке и Италии. Пусть нужно умножить 25х43. Надо начертить таблицу, в которой две клетки по длине и две- по ширине. Запишем одно число по длине таблицы, другое по ширине таблицы. В клетках — результаты умножения данных чисел, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали. Полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо) 25 х 63=1575
Мы рассмотрели простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.
Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения интересен и заполнение таблицы напоминает игру.
Рассмотрим еще один пример:347*29=10063
3 4 7
0
6 | 0 8 | 1 4 |
2 7 | 3 6 | 6 3 |
2
9
0 6 3
Вывод: трудоемкость построения прямоугольной таблицы.
2.1Деление "лодкой или галерой".
"Трудное дело - деление" (dura cosa e la partita) - гласила старинная итальянская поговорка. Оно и в самом деле было трудно, если принять во внимание утомительные методы, какими выполнялось тогда это действие. Нужды нет, что способы эти носили подчас довольно игривые названия; под веселым названием скрывался длиннейший ряд запутанных манипуляций
В XVI веке кратчайшим и удобнейшим способом считалось, например, деление "лодкой или галерой". Знаменитый итальянский математик того времени - Николай Тарталья (XVI век) в своем обширном учебнике арифметики писал об этом способе следующее: "Второй способ деления называется в Венеции* лодкой или галерой вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других - на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями - выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами".
Читается это очень весело: так и настраиваешься скользить по числовому морю на парусах арифметической галеры. Но, хотя старинный математик и рекомендует этот способ как "самый изящный, самый легкий, самый верный, самый употребительный и самый общий из существующих, пригодный для деления всех возможных чисел", я не решаюсь его изложить здесь из опасения, что даже терпеливый читатель закроет книгу в этом скучном месте и не станет читать дальше.
Между тем этот утомительный способ действительно был самым лучшим в ту эпоху. У нас он употреблялся до середины XVIII века: в "Арифметике" Леонтия Магницкого* он описан в числе шести предлагаемых там способов (из которых ни один не похож на современный) и особенно рекомендуется автором; на протяжении своей объемистой книги - 640 страниц большого формата - Магницкий пользуется исключительно "способом галеры", не употребляя, впрочем, этого наименования.
В заключение покажем читателю эту числовую "галеру", воспользовавшись примером из книги Тартальи
3. Заключение
Умение считать является необходимым элементом образования, так как ошибки в расчётах сбивают с пути и внимание, нужное для осмысления хода решения какой-то задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с расчётами.
Рассмотрены старинные способы умножения и деления и выявлено, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел и деления - не единственный и известен он был не всегда, но он достаточно быстр и наиболее удобен. Старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта показывают, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки, созданной разумом человека, не обойтись.
Старинные способы умножения и деления неуклюжи и неудобны, но так ли хорош наш нынешний способ, чтобы в нем невозможны были уже никакие дальнейшие улучшения? Нет, и наш способ не является совершенным; можно придумать еще более быстрые или еще более надежные.
Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельные разряды частного (деление столбиком), представлен в итальянском манускрипте 1460 года. Таким образом, цель работы достигнута. Данное исследование можно использовать для проведения математических кружков и факультативов, для подготовки учащихся к математическим олимпиадам и турнирам.
Литература
Тупое - острое
Камилл Фламмарион: "Астрономия - наука о живой Вселенной"
Космический телескоп Хаббл изучает загадочную "тень летучей мыши"
Лиса и волк
Круговорот воды в пакете