Что мне открыли иррациональные уравнения.

Слайд 1

Слайд 2

Вступление Интерес к этой теме возник у меня совершенно случайно. Однажды, на одном из уроков математики в 10 классе нам предложили перечень иррациональных уравнений, и мы должны были к каждому подобрать свой способ решения. Эта работа напомнила мне детскую игру "Лото". Должна отметить, что тема "Иррациональные уравнения" не вызывала у меня особых трудностей при изучении, но на этом уроке я поняла, что некоторые уравнения ставят меня в тупик. Например, уравнения, которые решаются с помощью неравенства Коши, неравенства Бернулли. Видя, как я увлеклась работой, наш учитель предложила мне обобщить эту тему и представить полный перечень методов решения иррациональных уравнений . Поэтому первоначальная цель была именно такой: обобщить все возможные методы решения уравнений такого вида, привести примеры по каждому отдельному случаю . На первом этапе все шло гладко, литературы по этой теме много, и моя работа подходила к концу. Но одно из уравнений, предложенных учителем, поставило меня в тупик: ни один из методов решения не работал. Я обратилась за помощью к родителям, и папа предложил мне воспользоваться точкой Торричелли . Что получилось дальше, вы увидите, познакомившись с моей работой.

Слайд 3

Цели и задачи: О бобщить все возможные методы решения иррациональных уравнений вида, привести примеры по каждому отдельному случаю 1 Решить уравнение с помощью точки Торричелли 2 3 Собрать информацию о точке Торричелли, о ее применении в различных областях знаний и на практике.

Слайд 5

Решение иррациональных уравнений. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. .

Слайд 6

Проверка Таким образом , х 1 =5 является корнем заданного уравнения - это посторонний корень Ответ: x=5

Слайд 7

Метод введения вспомогательных переменных . причем v ≥0

Слайд 8

Решаем эту систему: Ответ :

Слайд 9

Некоторые специальные приемы. Так как (1.1) то уравнение (1.1) примет вид: или

Слайд 10

(1.2) (1.3) Сложив уравнения (1.1) и (1.2), придем к уравнению и далее , откуда Проверка Ответ:

Слайд 11

Использование свойств функции при решении иррациональных уравнений. - корень уравнения и других корней нет, поскольку левая часть уравнения – убывающая, а правая – возрастающая функция. Ответ: х=3

Слайд 12

Точка Торричелли??

Слайд 13

Точка Торричелли Вивиани Кавальери Торричелли Вопрос о нахождении такой точки имеет давнюю историю. Им интересовались крупнейшие ученые эпохи Возрождения — Вивиани, Кавальери, Торричелли и др.

Слайд 14

Торричелли Эванжелиста 15.10.1608, Фаэнца,—25.10.1647, Флоренция Линия Фаэнца-Флоренция Торричелли (Torricelli) Эванджелиста итальянский математик и физик. Известны труды Т. в области пневматики и механики. В 1644 развил теорию атмосферного давления, доказал возможность получения так называемой торричеллиевой пустоты и изобрёл ртутный барометр. Емупринадлежат также работы по математике (в частности, развил "неделимых" метод) и баллистике, усовершенствованию оптических приборов, шлифовке линз.

Слайд 15

Точка Торричелли AN = BM = CO = p + q + r

Слайд 16

Построение точки Торричелли П остроение точки Торричелли возможно тогда и только тогда, когда все углы треугольника меньше 120º.Если же один из углов больше 120º, то точка Т будет находиться в вершине этого угла. Т

Слайд 17

Практическое применение точки Торричелли Ведёркино Коромыслово Лейкино

Слайд 18

Итак, мы получили следующую геометрическую задачу:

Слайд 19

В С А D N АТ = AN , ∟ ТА N = 60 º , значит ∆ ANT – равносторонний Решение Т AT=TN CT=ND, AT=AN, AC=AD

Слайд 20

С Т N B D A

Слайд 21

Поиск кратчайших сетей Но время шло и появились задачи, в которых число вершин выходило за рамки трёх. Об этом впервые задумался Якоб Штейнер, немецкий математик XIX столетия, работавший в Берлинском университете . Как найти кратчайшую сеть отрезков прямых линий, соединяющих произвольное множество, скажем из 100, точек? Эта задача не поддаётся ни самым быстродействующим компьютерам, ни самым изобретательным математическим умам . Чтобы определить количество и расположение точек Штейнера(Торричелли), математики и программисты разработали специальные алгоритмы. Однако даже лучшие из этих алгоритмов, выполняющиеся на самых быстродействующих компьютерах, не в состоянии дать решение для большого множества заданных точек за реально приемлемое время. Более того, задача Штейнера принадлежит к классу задач, для которых, по мнению многих современных исследователей, эффективные алгоритмы, по-видимому, так никогда и не будут найдены.

Слайд 22

В то же время прикладники могли бы разработать практически полезную программу, которая находила бы сеть, несколько более длинную по сравнению с кратчайшей. Приближённые методы решения довольно часто применяются в различных приложениях задачи поиска кратчайших сетей. Среди них — конструирование интегральных электронных схем, построение эволюционного дерева для группы биологических видов и минимизация расхода материалов на создание сетей телефонных линий, трубопроводов и шоссейных дорог. Хотя за последние годы познания в области алгоритмов значительно расширились, задача поиска кратчайшей сети остаётся всё такой же неприступной. Крошечное изменение геометрии задачи, кажущееся несущественным, может коренным образом изменить кратчайшую сеть, являющуюся её решением. Такая чувствительность к исходным данным делает даже периферийные вопросы, касающиеся кратчайших сетей, весьма не простыми. Задача поиска кратчайшей сети будет ещё долгие годы привлекать наше воображение.

Слайд 23

Точка Торричелли в адронной физике Когда дома я рассказала папе о точке Торричелли он мне открыл ещё один интересный факт о её существовании. Протон и нейтрон состоят из трёх кварков, которые можно рассматривать как материальные точки. Эти кварки сцепляются друг с другом глюонными струнами, с примерно постоянным натяжением. Таким образом, в силу натяжения струн протоны и нейтроны не разваливаются на кварки. Глюонные струны - это силовые линии глюонного поля, посредством которых взаимодействуют кварки. На численном эксперименте мы можем видеть, как эти силовые линии соединяются с кварками.

Слайд 24

На картинке эти струны явно указывают на точку Торричелли в треугольнике, вершинами которого являются кварки. Это происходит потому, что энергия всей системы пропорциональна сумме длин всех струн, а так как энергия должна быть минимальна, то и сумма длин струн должна быть минимальна. Получается, что точка Торричелли естественно существует вокруг нас! T

Слайд 25

Решение нестандартного иррационального уравнения с помощью точки Торричелли. А теперь решим это уравнение! Рассмотрим три точки А(-1;0), В(-5;3) и С(2;0). Тогда левая часть уравнения – это сумма расстояний от некоторой точки М(х;у) до вершин треугольника АВС ( рис.2 ), правая часть – это сумма длин сторон АВ и АС .  ВАС > B Рис.2 A C ( .)Т совпадает с (.)А Отсюда получаем, что левая часть уравнения не меньше правой части, и равенство имеет место лишь когда М совпадает с точкой А . х=-1, у=0 . Ответ: х=-1, у=0.

Слайд 26

Заключение

Слайд 27

Литература Цейтен Г. Г., История математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.—Л., 1938; Дорфман Я. Г., Всемирная история физики с древнейших времен до конца XVIII века, М., 1974; Льоцци М., История физики, пер. с итал., М., 1970. (Про способы решения иррациональных уравнений) Реферат Мишениной, лицей «Дубна» 2005\06 учебный год . E. N. Gilbert and H. О . Pollak. Steiner Minimal Trees. In: SIAM Journal on Applied Mathematics , 1968, v. 16, No 1, pp. 1–29 . Z. A. Melzak. Companion to Concrete Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., 1973 . Pawel Winter. An Algorithm for the Steiner Problem in the Euclidean Plane. In: Networks , 1985, v. 15, No 3, pp. 323–345 Pawel Winter. Steiner Problem in Networks: A Survey. In: Networks , 1987, v. 17, No 2, pp. 129–167 . М. Гэри, Д. Джонсон. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. — Перев. с англ. М.: Мир, 1982 .