Метод областей

Слайд 1

Слайд 2

3 1 Содержание работы 2 4 Нахождение площади / периметра заданной фигуры на плоскости Составление задач с параметрами Решение уравнений с параметрами методом областей Изображение всех точек заданного множества на плоскости

Слайд 3

Нахождение множества решений Условие Известно, что система трех линейных неравенств относительно неизвестных х и у равносильна неравенству В каждом из трех неравенств поменяли знак на противоположный. Найдите множество решений новой системы. Решение Раскрываем модуль (4 случая) Меняем знак: Графическое изображение Изобразим полученные графики на координатной плоскости:

Слайд 4

Изображение множества точек Условие На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых таковы, что выражение (2cos t +0,5 cos x cos y)cos x cos y+1+cos x cos y + cos 2t положительно при всяком значении t . Решение Преобразуем выражение к виду Оно будет положительно при всех t , если cos x - cos y >0 или Левая часть превращается в нуль на прямых . На этих прямых происходит замена знака .. Графическое изображение

Слайд 5

Изображение множества точек Условие И зобразите множество точек, Координаты к оторых удовлетворяют при всех н еравенству Решение Неравенство и выделением квадрата, и разложением на множители (относительно у) можно привести к виду И так как при всех а и x a ( x -1)-2< a ( x 1)+2, то исходное неравенство равносильно системе неравенств Для первого неравенства граница полуплоскости есть прямая АВ (для а=-1), которая вращается вокруг точки А п ри возрастании параметра а от –1 до 2 д о положения прямой А D (при а=2). Следовательно, искомые точки должны Лежать внутри остр ых угл ов DAB и DCB ) и, следовательно, они образуют параллелограмм . Графическое изображение B( 7.3;2.3)

Слайд 6

Подмножество множества точек Условие (МАИ) При каких а множество точек, заданное первым неравенством, является подмножеством множества точек,заданного вторым неравенством? 1) 2) Решение Г рафиком второго неравенства является область, ограниченная на рисунке ромбом (рассмотреть четыре случая значения переменных под модулем). Первое неравенство записываем как : ax 2 –10, то рассматриваемая система задает фигуру, изображенную на рисунке. . Задача сводится к поиску значений а, при Которых фигура, которую задает первая система, сожмется до таких размеров, что поместится в ромб. Так как области симметричны, то достаточно потребовать, чтобы 1- ax 2 = 5/4- 2 x при a >0 имело не более одного корня. Графическое изображение

Слайд 7

Нахождение площади фигуры Условие Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости равенством: Решение Графическое изображение Полученная фигура на плоскости представляет собой параллелограмм. Его вершины: А(-2,5, 4), В(0,4), С(2,5, 6), D(0, -6). Мы получаем, что площадь этого параллелограмма равна

Слайд 8

Нахождение площади фигуры ( 1 способ) Условие Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости соотношением : Решение Преобразовываем: и Имеем: Решением второго неравенства системы является вся координатная плоскость, решением третьего – полоса, расположенная между вертикальными прямыми x =-1 и x =2, поэтому искомая фигура – трапеция с вершинами А(-1,-0,5), В(-1,0,5), С(2,2), D (2,-2). Основание АВ этой трапеции равно 1, С D =4, высота равна 3, поэтому S = 7,5. Графическое изображение

Слайд 9

2 способ Это неравенство можно решить и по-другому: Так как , то неравенство равносильно совокупности систем: Тогда:

Слайд 10

2) Нахождение периметра фигуры Условие Найти периметр фигуры, которая на плоскости задана условиями : Решение Второе неравенство приводится у виду: Рассмотрим первое неравенство системы: Возможны три случая. 1) Если x <2 , то Если x=2, то любое у, удовлетворяющее ОДЗ, будет решением уравнения. 3) Если x>2, то имеем: Решением второго неравенства является, таким образом, система Изображаем множество решений неравенства на координатной плоскости P= АВ+ВС+СD+DE+EA= 4+2+4+2 =10+2 (см) ;

Слайд 11

Решение задач с параметрами Условие При каких значениях параметра а система имеет решения? Решение Неравенство системы задает область, ограниченную углами AKB и CKD . Тогда абсциссы выделенных дуг гиперболы ax =1 – решения исходной системы. Найдем абсциссы точек M , N , P , Q , решив уравнения a 2 =1 и a (2 a -2)=1. Отсюда для перечисленных точек абсциссы соответственно равны a 1 =1, a 2 = -1, a 3 Add Your Title Графическое изображение Ответ : -1

Слайд 12

Задачи с параметрами Условие Найти все значения а, при которых любое решение неравенства ax 2 +(1- a 2 ) x - a >0 по модулю не превосходит двух. Решение Перепишем данное неравенство в таком виде: (a-x)(ax+1)<0. Графики уравнений x = a и ax =-1 разбивают координатную плоскость ( x ; a ) на четыре области. «Методом интервалов» устанавливаем, что решением исходного неравенства будут заштрихованные области. Графическое изображение Теперь, если при каком-то фиксированном значении a 0 прямая a = a 0 в пересечении с полученной областью дает лишь точки, абсциссы которых удовлетворяют условию то a 0 – одно из искомых значений параметра. Тогда очевидно, что все a из отрезка AB составляют

Слайд 13

Задачи с параметрами Условие При каких значениях а множество решений неравенства x ( x -4)+ a 2 ( a +4) ax ( a +1) содержит не более четырех целых значений х? Решение Приводим данное выражение к совокупности двух систем: С помощью этой совокупности двух с истем можно легко изобразить решения На координатной плоскости ( a ; x ). Проведем прямые x = k , k Тогда значение a 0 , для которого прямая a = a 0 пересекает прямые x = k не более чем в четырех точках из отмеченного множества,будет искомым. Графическое изображение Ответ:

Слайд 14

Задачи с параметрами Условие Для каких а в множестве решений неравенства содержится промежуток Решение Запишем совокупность двух систем, равносильную исходному уравнению: Поскольку в решение первой системы ни при каких значениях параметра a не может входить о трезок , то необходимые исследования проведем дл я второй системы. Имеем Обозначим 2( a -1)= b . Тогда второе Неравенство системы на координатной плоскости ( x ; b ) задает множество, показанное штриховкой. Графическое изображение Теперь с помощью рисунка легко установить, что при b <-4 в полученном Множестве содержатся все точки, абсциссы которых пробегают все значения из промежутка . Тогда 2( a -1)<-4. Отсюда a<-1.

Слайд 15

Задачи с параметрами(1) Условие При каждом значении параметра а р ешите неравенство: Решение Изобразим получившиеся два графика на координатной плоскости. Теперь найдем знак выражения в каждой из получившихся областей (путем определения знака в одной точке этой области) для a >0. Если выразить а через х из уравнений, то Теперь запишем ответ для всех значений параметра а, учитывая, что при а искомые значения х принадлежат трем областям, а при а - двум областям.

Слайд 16

Задачи с параметрами(2) Графическое изображение Ответ: При а. при а значения x

Слайд 17

Задачи с параметрами Условие Найти все неотрицательные числа p , при которых существует единственное число х, удовлетворяющее системе Решение Первое уравнение на координатной плоскости ( x ; p ) задает семейство вертикальных прямых. Прямые =0, =0 разбивают плоскость на четыре области. Некоторые из них являются решениями неравенства системы. Конкретно какие – можно установить, взяв из каждой области по пробной точке. Для данного неравенства решением будут две области, ограниченные углами AMB и DMC . По рисунку видно, что требование единственности решения достигается , если где - соответственно ординаты точек пересечения двух пар прямых =0, x=-4 и =0, x=-5. Отсюда Ответ:

Слайд 18

Составление задач с параметрами Условие Изобразить на координатной плоскости ( x;y) решение системы неравенств: Решение В данном случае важен результат. Он изображен на рисунке. Теперь, заменив y на a, с помощью графического образа легко составить следующие задачи: При каких значениях a система неравенств 1)имеет решение? 2)имеет единственное решение? 3) Имеет только отрицательные решения? 4) Имеет только положительные решения? 5) Имеет решения, удовлетворяющие условию 6) Имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию ? 7) Имеет решения, содержащие отрезок ? 8) Имеет решения, содержащие не более трех целых чисел? Очевидно, что данный список вопросов можно продолжать.

Слайд 19

Примеры Условие Найдите все значения параметра q, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства ? График Условие Найдите все а, при которых отрезок не имеет общих точек с множеством решений неравенства График

Слайд 20

Спасибо!