Математика на шахматной доске

Выбранная мною тема не случайна. Шахматами я занимаюсь с детства. В пять с половиной лет я впервые увидел шахматы и заинтересовался ими. В школе, где я стал учиться, шахматы преподают в 1 классе. Несмотря на изменение школьных программ, преподавание шахмат в лицее сохранилось и ведется уже на протяжении 25 лет. Шахматы для меня стали серьезным увлечением. Я добился некоторых успехов. В настоящее время имею первый разряд по шахматам.

А из учебных предметов у меня наибольший интерес вызывает математика. Но некоторые задачи бывают сложными, тогда я представляю математические объекты фигурами на шахматной доске, и решение становится понятным. Есть ли связь между шахматами и математикой - проблема, которую я хочу разрешить.

Цель моей работы – выяснить, существует ли связь между шахматами и математикой, могут ли шахматы помочь в решении математических задач.

Задачи:

проиллюстрировать свойства математики в шахматах;

показать, как решаются задачи на шахматной доске;

расширить математический кругозор и изучить новые подходы к решению задач.

Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, и не случайно математические способности часто сочетаются с шахматными. Достаточно упомянуть имена чемпионов мира по шахматам. Математикой интересовался первый шахматный король В.Стейниц. Известным математиком был его преемник Эм. Ласкер. Нынешний президент ФИДЕ экс-чемпион мира М. Эйве возглавлял голландский вычислительный центр. Первый советский чемпион мира доктор технических наук М. Ботвинник в последние годы занимается созданием алгоритма шахматной игры для ЭВМ. Математическими способностями обладают также М. Таль и А. Карпов, однако ради шахмат они вынуждены были «пожертвовать» математикой...

Связь математики и шахмат прослеживается и в литературе. В книгах Евгения Яковлевича Гика «Математика на шахматной доске» и «Шахматы и математика» рассказывается о разнообразии связей между математикой и шахматами. Затронуты известные типы математических задач и головоломок на шахматную тему, описываются математические игры на шахматной доске.

Выдающийся математик Г.Харди, проводя параллель между двумя видами человеческой деятельности, в своей статье «Исповедь математика» заметил, что «решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы - это как бы насвистывание математических мелодий».

В статье «Двоичная арифметика на шахматной доске» кандидат технических наук Ю.Полунов ставит вопрос: что общего может быть между шахматной доской и двоичной системой исчисления? Оказывается, доска, подобная шахматной, в свое время послужила первым инструментом для вычислений в двоичной системе. Это сделал задолго до века компьютера великий шотландский математик Джон Непер, изобретатель логарифмов.

В 2003 году вышла монография доктора Х.Р.Латипова, в которой рассказывается о математике и шахматах, о том, что эти две темы близки по своей природе. В монографии сравниваются две геометрии: математическая и шахматная, расстояние на шахматной доске и евклидовой геометрии..

Почти в каждом олимпиадном сборнике или книге головоломок и развлечений можно найти остроумные и красивые задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю, привлекали к себе внимание известных математиков. Например, задачей о ходе коня занимался Леонард Эйлер, а задачей о расстановке восьми ферзей — Карл Гаусс.

Математика в истории возникновения шахмат

Вспомним одну старинную легенду о происхождении шахмат, связанную с арифметическим расчётом на доске.

Когда персидский шах познакомился с шахматами, он был восхищен их остроумием и обилием возможных комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, шах позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски — одно зерно, на второе — два, и так далее — на каждое последующее вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Персидский шах приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитрого мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах персидского шаха, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал

1 + 2 + 22 + . .. + 263 = 264 — 1

зерен, что составляет 18 446 744 073 709 551 615

(18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 зёрен).

Подсчет показывает, что амбар для хранения необходимого зерна ( длиной 4 и шириной 20 метров) должен простираться от Земли до Солнца. Неожиданная развязка в истории с мудрецом и персидским шахом наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

Математические свойства шахматной доски

1. Система координат

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В ХIVв. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.

Декартовая система координат на плоскости задается взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом. Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х, вертикальная – осью ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу.

рис.1

Описание того, где расположен тот или иной объект (предмет, место), называют его координатами. Так на билете в цирк номер ряда и номер места в ряду - координаты этого места.

На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).

На рисунке 3 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.

рис.2

2. Четность и нечетность

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их цифрами (условные знаки для обозначения чисел).

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называются четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 нечетными. Из признака делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными, остальные – нечетными.

Функция (зависимость переменной у от переменной х) у = f(х) называется четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = - f(х).

На шахматной доске так же есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода. При каждом ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. (рис.5)

рис.3

Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение шахмат к математике.

Задачи на четность, нечётность

Конь вышел на поле а8 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.

Решение:

рис.4

Вы, наверное, заметили, что, делая каждый ход, конь меняет цвет клетки, на которой он стоит. Следовательно, каждый нечетный ход конь будет вставать на чёрную клетку. Исходя из этого и зная то, что конь должен вернуться на клетку а8, белого цвета, мы можем сказать, что он вернется через четное число ходов.

2. Гостиница имеет форму квадрата 3х3, каждая клетка 1х1 – комната. Все 9 постояльцев недовольны своей комнатой и считают, что любая комната через стенку лучше, чем та, в которой они живут. Может ли хозяйка переселить их так, чтобы каждый постоялец переехал в соседнюю комнату?

Решение:

рис.5

Раскрасим комнаты в шахматном порядке ( рис.5). Соседние комнаты при этом окрасятся в разный цвет. При переезде цвет комнаты меняется, тогда те постояльцы, которые живут в пяти белых комнатах, должны переехать в черные комнаты, а их всего 4. Значит, такой обмен невозможен.

Геометрия

Симметрия, как общий принцип гармонии в молекулах, кристаллах, живой природе имеет глубокий смысл. Изучение ее проявлений, закономерностей играет важную роль в математике, физике, химии, биологии.

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Рассмотрим примеры преобразования фигур.

I.Симметрия относительно точки – центральная симметрия.

Пусть О – фиксированная точка и Х – произвольная точка на плоскости. Точка Х1 называется симметричной точке Х относительно точки О, если точки Х, О, Х1 лежат на одной прямой и ОХ=ОХ1.

рис.6

II.Симметрия относительно прямой – осевая симметрия.

Пусть g – фиксированная прямая. Точка Х1 называется симметричной точке Х относительно прямой g, если прямая перпендикулярна прямой g и ОХ1=ОХ, где О – точка пересечения прямых g и ХХ1. Если точка Х лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка Х.

рис.7

Разнообразные мотивы симметрии встречаются и на шахматной доске. С одной стороны, речь может идти о симметрии естественной, т. е. возникающей в процессе шахматной партии, а с другой стороны, - используемой в шахматных задачах и этюдах.

На шахматной доске при осевой симметрии осью служит прямая, разделяющая левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «e») или нижнюю и верхнею части (граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7, то мы говорим, что эти кони расположены симметрично. Осями являются и большие диагонали.

Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур.

Известна такая забавная история. Некто явился в шахматный клуб и объявил, что нашел верный способ не проигрывать черными. «Каким образом?» - спросили его. «Очень просто, - ответил гость, - повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем вызвался С.Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода. Неясно, как Ллойд это сделал. Я могу поставить мат за 6 ходов при полной симметрии фигур.

1) с2-с3 с7-с6

2) е2-е3 е7-е6

3) Кg1-е2 Кg8-е7

4) Кb1-с3 Кb8с6

5) Кс3-е4 Кс6-е5

6) Ке4-d6х

Обсуждая математические свойства доски, нельзя не упомянуть об одном старинном доказательстве на шахматной доске … теоремы Пифагора. Шахматный король гроссмейстер Михаил Таль однажды признался, что в детстве был потрясен доказательством этой теоремы.

Теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

рис.8

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) cos А = AD\AC = AC\AB. Отсюда AB . AD = АС2. Аналогично cos В = ВD\ВC = ВC\AB. Отсюда AB . ВD = ВС2. Складывая полученные равенства почленно, и замечая, что AD + DВ = АВ. Получим: АС2+ ВС2 = АВ(AD+ DВ) = АВ2. Теорема доказана.

Эту теорему уже несколько сотен лет изучают школьники. С её помощью мы решаем задачи, инженеры строят дома.

Рассмотрим доказательство этой теоремы на шахматной доске.

рис.9а рис.9б

Разобьем доску на квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (рис.9а). На рис. 9б изображены те же четыре треугольника и два квадрата. Треугольники в обоих случаях занимают одну и ту же площадь, и, следовательно, одну и ту же площадь занимают оставшиеся части доски без треугольников (на рис. 9а – один квадрат, а на рис. 9б - два). Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие – на его катетах, то знаменитая теорема Пифагора доказана!

Я же доказал теорему следующим образом:

рис.10

В центре шахматной доски нарисовал треугольник АВС. На катетах и гипотенузе этого треугольника построил квадраты, причем квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из квадратов, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах. Квадраты 1 и 2 состоят из восьми маленьких квадратиков, в сумме получаем количество квадратиков, из которых состоит квадрат 3, построенный на гипотенузе.

В шахматной игре содержатся некоторые геометрические элементы, с которыми я хочу вас познакомить. При виде шахматной доски мы сразу вспоминаем геометрию, так как доска имеет геометрическую форму. Это безусловно так, но геометрическая форма ещё не всё. Дело в том, что при игре в шахматы, как и в любой другой науке, есть свои определённые правила. И существует такое правило, как правило, квадрата.

рис.11

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Исход игры легко оценить при помощи «правила квадрата». Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки, - в данном случае, изображенном на рисунке. В нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.

Итак, мы видим, что на шахматной доске есть координаты, также на ней есть и симметрия, геометрия тоже не обошла её стороной.

Задачи на шахматной доске

Много видов математических задач на шахматной доске - о маршрутах фигур, перестановках и расстановках, о разрезании доски и покрытии ее полей костями домино.

1. Задача о разрезании доски.

Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза - на те поля, на которых был заматован его король (вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу.

Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни, причем, как гласит легенда, для казни каждого мудреца использовал его часть доски с алмазом. (рис. 12) Поля, где находятся алмазы, закрашены.

рис.12

2. Задачи о покрытии полей доски костями домино.

Удастся ли плотно покрыть костями домино размером 2x1 доску 8x8 квадратов, из которой вырезаны противоположные угловые квадраты?

Можно было бы заняться алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение и проще, и изящнее. Окрасил урезанный квадрат черным и белым цветами, превратив его в шахматную доску без угловых полей al и h8. При искомом покрытии доски каждая кость домино занимает одно белое и одно черное поле, и, значит, весь набор костей (31 штука) покрывает одинаковое число белых и черных полей. Но на урезанной доске черных полей на два меньше, чем белых (вырезанные поля черные), и, следовательно, необходимого покрытия доски не существует. (рис.13)

рис. 13

3. Пусть на шахматной доске вырезаны два поля разного цвета. Всегда ли можно покрыть оставшуюся часть доски 31 домино?

Оказывается, что всегда. Проведем замкнутую линию. Если из доски вырезаны соседние поля, то разорванная линия будет состоять из одного куска, проходящего через 62 поля, при этом цвета полей чередуются. Если мы станем размешать домино вдоль этой линии, то закроем всю оставшуюся часть доски. Если вырезанные поля не являются соседними, то линия разорвется на две части, проходящие через четное число полей, и каждую из них можно покрыть домино.

Эффектное доказательство нашел известный американский математик Р. Гомори. Проведем на шахматной доске границы между вертикалями и горизонталями так, как показано на рис. 14. В лабиринте между этими границами черные и белые поля следуют друг за другом, чередуясь, как пуговицы двух цветов на замкнутой нити (путь, по которому можно обойти этот лабиринт, является замкнутым). Какие бы два поля разного цвета мы ни вырезали из доски, нить разорвется: в одном месте, если вырезанные поля находятся рядом, и в двух местах — в противном случае. При этом каждый кусок нити будет состоять из четного числа полей. Следовательно, эти куски, а значит — и всю доску, покрыть домино можно!

рис.14

Большой класс комбинаторных задач, важных в прикладной математике, сводится к подсчёту числа тех или иных расстановок ладей на шахматной доске.

Приведу известный пример из области комбинаторики.

4. Пусть требуется назначить n рабочих на n различных работ, причём каждая работа должна выполняться одним рабочим. Сколькими способами можно сделать это назначение?

Поставим в соответствие рабочим – горизонтали шахматной доски nxn, а работам – её вертикали. Если I – й рабочий назначается на j – ю работу, то поле, соответствующее пересечению I – й горизонтали и j –й вертикали, займём ладьёй. Так как каждая работа выполняется одним рабочим и каждый рабочий назначается на одну работу, то в результате расстановки n ладей все вертикали и горизонтали будут содержать по одной ладье, т. е. ладьи не угрожают друг другу. Нашей задаче можно придать шахматную формулировку. Сколькими способами можно расставить n ладей, не угрожающих друг другу, на доске nxn?

На первую вертикаль можно произвольно поставить одну из n ладей, на вторую –одну из (n-1) оставшихся ладей, причём горизонталь, занятая первой ладьёй, исключается (ладьи не должны угрожать друг другу), на третью вертикаль – одну из (n-2) оставшихся (горизонтали, занятые первыми двумя ладьями исключаются) и т. д., вплоть до ( n-1) –й вертикали, на которой для ладьи остаётся выбор из двух горизонталей и последней n-й вертикали, с единственным полем для ладьи. Комбинируя n различных расположений ладьи на первой вертикали с (n-1) расположением на второй, (n-2) – на третьей и т. д., получаем n(n-1)(n-2)…2*1 =n! различных расположений ладей. На обычной доске восемь ладей, не угрожающих друг другу, можно расставить 8! = 40320 способами. Если ладьи занумерованы от 1 до n, то существует уже(n!)(n!) расположения ладей, не угрожающих друг другу. Это следует из того, что n подходящих полей можно выбрать n! способами; столько же имеется способов для расположения на этих полях n занумерованных ладей, т. е. n рабочих можно назначить на n работ n! различными способами. Один из вариантов показан на рисунке 15.

рис.15

В рассмотренной задаче я предполагал, что все ладьи одного цвета.

Около каждой тюремной камеры можно поставить часового. Находясь у одной из камер, часовой видит, что происходит в некоторых других, от которых к данной ведут коридоры. Каково наименьшее число часовых, необходимое для наблюдения за всеми камерами?

Если шахматную доску рассматривать как тюрьму, причём поля считать камерами, а вертикали, горизонтали и диагонали - коридорами, то «часовыми» естественнее всего назначить ферзей, которые могут вести наблюдение в любых направлениях. При этом задача о часовых приобретает следующую шахматную формулировку: (рис.16).

рис.16

Пять ферзей вполне способны справиться с шахматной «тюрьмой». Доказано, что всего существует 4860 расстановок этих пяти ферзей - часовых. В расстановке, изображённой на рис.16 ферзи держат под обстрелом все свободные поля доски, но сами не угрожают друг другу. На рис.17 ферзи стоят на одной диагонали и, значит, обстреливают не только свободные поля доски, но и занятые.

рис.17
IV. Заключение

В работе я показал, что существует связь между математикой и шахматами: математические задачи решаются на шахматной доске, а в решении шахматных задач помогает математика.

В 1 главе работы неожиданная развязка в истории с мудрецом и персидским шахом наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

Как и в математике, на шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре обычно ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур). На шахматной доске также есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода. При каждом ходе король меняет четность хода. Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение к математике. На шахматной доске есть симметрия, геометрия тоже не обошла её стороной.

Шахматы служат удобной моделью многих важных и сложных задач, возникающих на практике. Преимущество шахмат, как модели, состоит в том, что в них, с одной стороны, легко сформулировать необходимые цели и задачи, а, с другой, - не так легко добиться этих целей. Аналогичная картина наблюдается и в экономике, планировании, управлении производственными объектами и т.д. Выбор успешного решения в сложных ситуациях, возникающих на практике, можно сравнить с выбором хорошего хода в шахматной партии в условиях ограниченного времени. « В шахматах,- говорил великий русский писатель Л. Н. Толстой,- нужно дорожить не выигрышем, а интересными комбинациями». Игра в шахматы - не только интересное, но и полезное занятие. Шахматы развивают творческие навыки и комбинаторные способности, воспитывают волю, вырабатывают бойцовский характер.

Вывод: математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические задачи, помогают развивать логику, внимание.

Думаю, что собранный мною материал можно использовать при изучении некоторых тем по математике, например, «Геометрическая прогрессия», «Теорема Пифагора», на занятиях как математического, так и шахматного кружков, для подготовки к олимпиадам. В дальнейшем, в этом направлении более подробно можно исследовать следующие темы: «Комбинаторика на шахматной доске», «Математика шахматных турниров», «Шахматы и ПК».

Список литературы

Гик Е.Я. Шахматы и математика. - М., «Наука», 1983
Гик Е.Я. Математика на шахматной доске. - М., «Наука», 1976
Журнал «Наука и жизнь» № 10, 1980. - М., «Правда»
Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. - М., «Омега», 1994
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. - М., «Наука», 1978
Карпов А.Е. Шахматный калейдоскоп. - М., «Наука», 1981
Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад. - Ростов- на- Дону: Легион, 2008
Перельман Я.И. Живая математика. - М., «Наука», 1978
Энциклопедия для детей Математика. - М., «Аванта+», 2001

Растрёпанный воробей

Нас с братом в деревню отправили к деду...

Снежная зима. Рисуем акварелью и гуашью

Зимняя ночь. Как нарисовать зимний пейзаж гуашью

Как нарисовать ветку ели?