Простые числа

Секция «математика»

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Алексеева Анастасия Сергеевна,

Ученица 6В класса

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №47» г.Чебоксары

Научный руководитель:

Селянкина Евгения Владиславовна,

Учитель математики и информатики

МБОУ «СОШ №47»

Чебоксары–2014

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Введение…………………………………………………………………………………

Глава I. Теоретическая часть

Из истории простых чисел…………………………………………………………………….

Некоторые свойства простых чисел…………………………………………………………….

Глава II. Практическая часть

Нахождение простых чисел от 1000 до 4000 и изучение некоторых свойств и закономерностей………………………………………………………………………….

Заключение……………………………………………………………………………..

Приложения

Глава I. Теоретическая часть

Введение

 Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? 
                                                                                                                             Ч. Уэзерелл (американец, автор книги «Этюды для программистов»

В первой четверти этого учебного года мы проходили тему «Простые и составные числа». При решении задач на данную тему мы использовали таблицу простых чисел в учебнике Виленкина Н.Я. и др. Математика 6 класс и мне стало интересно, как нашли все эти простые числа и сколько их существует. Я решила провести собственную исследовательскую работу.

Предметом изучения являются простые числа.

Цель данной работы: освоение метода нахождения простых чисел и исследование некоторых свойств и закономерностей простых чисел.

Для достижения этой цели я поставила перед собой следующие задачи:

1. Собрать и изучить материал по данной теме
2. Найти простые числа от 1000 до 4000
3. Исследовать какие-либо закономерности и свойства простых чисел
4. Выяснить, сколько существует простых чисел

 Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число является составным, если оно имеет более двух делителей.

Из истории простых чисел

Вопросом изучения простых чисел, закономерности их появления и поиском самого большого простого числа математики занимаются очень давно. Первые сведения о простых числах, встречаются в трудах древне - греческого математика Эратосфена Киренского (276 год до н.э. – 194 год до н.э.).

Один из самых разносторонних ученых античности. Особенно прославили Эратосфена труды по астрономии, географии и математике, однако он успешно трудился и в области филологии, поэзии, музыки и философии, за что современники дали ему прозвище Пентатл, т.е. Многоборец. Эратосфен родился в Африке, в Кирене. Учился сначала в Александрии, а затем в    Афинах. Вероятно, именно благодаря столь широкому образованию и разнообразию интересов Эратосфен получил от Птолемея III Эвергета приглашение вернуться в Александрию, чтобы стать воспитателем наследника престола и возглавить Александрийскую библиотеку. Эратосфен принял это предложение и занимал должность библиотекаря вплоть до своей кончины. Его научные таланты удостоились высокой оценки современника Эратосфена, Архимеда, который посвятил ему свою книгу Эфодик (т.е. метод).

Способ нахождения простых чисел таков: Эратосфен записывал числа на дощечке, покрытой воском, и последовательно прокалывал составные числа. Таким образом, на доске нетронутыми остались лишь простые числа, а составные числа исчезали, как бы просеивались. Оставив нетронутым число 2, он далее прокалывал числа 4,6,8…, т.е. все четные числа, кратные двум. Следующее простое число 3, а все числа, кратные трем, уже составные, поэтому прокалывались все числа через два в третье. Оставив число 5 как простое, прокалываются все числа, кратные 5, т.е. каждое пятое число, и т.д. Таким путем Эратосфен составил таблицу простых чисел до 1000. Эта таблица получила название «Решето Эратосфена».  

А почему решето? Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето.

Со времен древних греков простые числа оказываются столь же привлекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки», но до сих пор единственным по-настоящему эффективным остаётся  способ «Решето Эратосфена».    

Некоторые свойства простых чисел

1. Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19  и т.д. получили образное название «близнецы».
2. Три числа, которые отличаются на 2,  называются «тройняшками», 3, 5, 7.
3. 168 мест первой тысячи натуральных чисел занимают простые числа. Из  них 16 чисел – палиндромические  – каждое равно обращённому. Например: 11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 и т.д.
4. Симметричные себе простые числа:  107 – 701, 113 – 311, 149 – 941,

157 – 751, 167 – 761, 179 – 971,  199 -991,   337- 733,  347 – 743,

359 – 953,  389 – 983, 709 – 907,   739 -937,  769 – 967

5. Простые числа могут разместиться в магическом квадрате (Магические (волшебные) квадраты – квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям).

  И      

6. Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна  – числа вида Мр=2р-1. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук. Так как М2=22-1=3 т.е. М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, то это – простые числа Мерсенна. До 1750 года было найдено всего 7 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19 .  То что М31 – простое число, оказал в 1750 году Л.Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка установил, что число М127=170141183460469231731687303715884105727 – простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61= 2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 – простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213- простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна
7. Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы 2-х простых чисел.

Например: 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=3+7, 12=5+7,, 14=7+7, 16=11+5, 18=7+11,, 20=3+17, 56=19+37, 924=311+613 и т.д.  Но это утверждение не доказано. Такую задачу  называют проблемой Варинга

8. Любое нечетное число больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.

Например: 7=2+3+2,   9=2+5+2, 11=5+3+3, 13=5+5+3, 15=7+5+3, 17=5+5+7, 19=5+7+7, 21=3+7+11, 23=5+7+11, 25=17+3+5 и т.д.

Подойти к доказательству этого предложения сумел лишь 200 лет спустя русский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983).

Бесконечность множества простых чисел

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Наибольшим известным простым числом является . Оно содержит 9 808 358 десятичных цифр и является 44-м известным простым числом Мерсенна (M32582657). Его нашли 4 сентября 2006 года Кертис Купер и Стивен Бун из Университета штата Миссури , участники проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна.

Предыдущее наибольшее известное простое число содержит 9 152 052 десятичных цифры и является 43-м известным простым числом Мерсенна (M30402457). Его нашли 15 декабря 2005 года также Кертис Купер и Стивен Бун в рамках проекта GIMPS.

Общая формула для нахождения простых чисел

Многие думали над изобретением формулы для нахождения первых последовательных простых чисел:

1. Формула французского математика Пьера Ферма (1601-1665): Р= 22 +1;  позволяет получить простые числа при n=0; 1; 2; 3; 4;

С помощью этой формулы найдём числа: 3; 5; 17; 257; 65537;

Но при n=5, получается составное число. Это обнаружил Эйлер (1707-1665), математик, механик и физик. При n=5 получилось число 4294967297. Эйлер перебрал все возможные делители этого числа, отвергая их один за другим. Он считал. А считать, как Эйлер, никто не мог.

Здесь не было ему равных! И вдруг, словно молния пронзила его мозг: 641 является делителем этого числа. Оказалось, это не первые последовательные, но 5 простых чисел.

2. Затем математики нашли другие формулы для нахождения простых чисел:  

1. P=n2+n+17, с помощью которой найдено 16 последовательных простых чисел начиная с 17, при n=0; 1; 2; 3; 4…
2. P=n2+n+41,  с помощью которой найдено 40 последовательных простых чисел начиная с 41, при n=0; 1; 2; 3; 4…

          3) Молодые люди, рабочие в свободное время попробовали свои силы в изобретении формулы простого числа.

          а) Польский юноша из Варшавы Андрей Маковский предложил такую формулу:

                        с помощью которой можно найти всего 7 простых чисел, но чисел довольно

любопытных: 31; 331; 3331; 33331; 333331; 3333331; 33333331, при n=2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.

           б) Рабочий составил формулу простого числа.

С помощью этой формулы можно найти 3 последовательных простых числа.

2!+1∙2-1=3;

2!+1∙2+1=5;

2!+2∙2+1=7;

С помощью этой формулы можно найти 4 последовательных простых числа.

4!+1∙4+1=29;

4!+2∙4-1=31;

4!+3∙4+1=37;

4!+4∙4+1=41;

НЕТ 100% ДОКАЗАННЫХ ФОРМУЛ И ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ОПИСЫВАЮЩИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В БЕСКОНЕЧНОМ НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ!!!

Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен, Сундарам предложили первые алгоритмы тестирования чисел на простоту. Эйлер, Ферма, Лежандр и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана. Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

Глава II. Практическая часть

Нахождение простых чисел от 1000 до 4000 и изучение

некоторых свойств и закономерностей

Так как таблица простых чисел от 1 до 1000 есть в учебнике по математике для 6 класса, то я решила методом «Решето Эратосфена» найти простые числа от 1000 до 4000. Результат моей таботы– таблицы простых чисел (Приложения 2, 3, 4). Всего в первых 4 тысячах 552 простых числа (168 в первой тысяче, 135- во второй, 130-в третьей и 119-в четвертой). Можно заметить, что количество простых чисел становится меньше, то есть чем дальше, тем реже встречаются простые числа. То же происходит и с числами «близнецами». Это наглядно проиллюстрировано на графиках (Приложение 5). Среди найденных мной простых чисел я не нашла ни одного палиндромического числа. Также я нашла 24 пары симметричных простых чисел: 1021-1201, 1031-1301, 1033-3301, 1061-1601, 1091-1901, 1103-3011, 1151-1511, 1153-3511, 1181-1811, 1193-3911, 1213-3121, 1223-3221, 1231-1321, 1283-3821, 1381-1831, 1453-3541, 1471-1741, 1523-3251, 1583-3851, 1723-3271, 1733-3371, 1753-3571, 1913-3191, 1933-3391.