Круги Эйлера

                                               Введение

         На уроках математики мы знакомимся с новыми  математическими понятиями, символами,  «открываем» новые методы решения задач. Но кто же сделал эти открытия первым, кто открыл их до нас?  Очень  много интересных фактов, из-за нехватки учебного времени на уроках, мы можем так и не узнать. Можем не узнать о жизни великих творцов математики, жизни интенсивной, целенаправленной, поучительной, подчас драматической. А как хочется  раскрыть все стороны древнейшей и в то же время современной науки математики, науки не только серьезной, но и занимательной.

Цель моей работы:

научиться решать задачи, применяя  круги Эйлера.

Задачи:

• изучить биографию одного из величайших ученых- математиков России – Леонарда Эйлера.
• познакомиться  с некоторыми  методами  решения нестандартных задач – кругами Эйлера
• научиться решать задачи применяя правила и круги Эйлера, а так же показать своим одноклассникам данный способ решения.
• составить  подборку задач, решаемых с помощью кругов Эйлера.

                                                 Биография

    Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора Пауля Эйлера. Рано проявил математические способности. Начальное обучение получил дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления.

    20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по иному пути. Вскоре способный мальчик обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал одарённому студенту математические статьи для изучения, а по субботам пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное.

   В  1726 года Эйлеру сообщили из Санкт-Петербурга: он приглашён на должность адъюнкта по физиологии.

 22 января 1724 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской Академии. Одной из важнейших задач Академии стала подготовка отечественных кадров. Позднее при Академии были созданы университет и гимназия. В силу острой нехватки учебников на русском языке Академия обратилась к своим членам с просьбой составить такие руководства. Эйлер, хотя и числился физиологом, составил на немецком языке очень добротное «Руководство к арифметике», которое тут же было переведено на русский и служило не один год в качестве начального учебника. Это было первое систематическое изложение арифметики на русском языке. Ко всеобщему удивлению, Эйлер уже в следующем по приезде году стал бегло говорить по-русски.

   В 1733 году 26-летний Леонард Эйлер женился на Катарине, дочери живописца (петербургского швейцарца) Георга Гзеля. Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой.

За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое  вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня — и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз.

     В 1730-е годы Эйлер становится известен и в Европе. Двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу. В этой монографии Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. «Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью», — заканчивает Эйлер своё предисловие к книге.

 29 мая 1741 года  Эйлер  уехал  на родину.  Все проведённые в Пруссии годы Эйлер участвовал в публикациях Академии, редактировал математические отделы русских журналов, приобретал для Петербурга книги и инструменты.                На квартире Эйлера, на полном пансионе, годами жили молодые русские учёные, командированные на стажировку. Известно об оживлённой переписке Эйлера с Ломоносовым.  В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II и предложила Эйлеру управление математическим классом, звание конференц-секретаря Академии. «А если не понравится, — говорилось в письме её представителю, — благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург».

    В июле 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта левого глаза — он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил. Однако слепота не отразилась на его работоспособности. Эйлер диктовал свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; за полтора десятка лет второго пребывания в России он продиктовал более 400 статей и 10 книг.

1767—1770: работа над двухтомной классической монографией «Универсальная  арифметика» (издавалась также под названиями «Начала алгебры» и «Полный курс алгебры»). На русском языке этот замечательный труд выходит сразу же (первый том: 1768), на немецком — два года спустя. Книга была переведена на многие языки и переиздавалась около 30 раз (трижды — на русском). Все последующие учебники алгебры создавались под сильнейшим влиянием книги Эйлера.

   Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7  сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с академиком А. И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: «Я умираю», — и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

      Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. В 1955 году прах великого математика был перенесён в «Некрополь XVIII века» на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры.

     Рассказывают, что Эйлер не любил театр, и если попадал туда, поддавшись уговорам жены, то чтобы не скучать, выполнял в уме сложные вычисления, подобрав их объём так, чтобы хватило как раз до конца представления.

  Другой рассказ: однажды два студента, выполняя независимо сложные астрономические вычисления, получили немного различающиеся результаты в 50-м знаке, и обратились к Эйлеру за помощью. Эйлер проделал те же вычисления в уме и указал правильный результат.

   Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

2. Решение задач с помощью кругов Эйлера.

1.   Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть – только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение.  Составим схему –

В кружке под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

2. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение. 

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит вратарей будет 30-28=2.  Ответ: 2 вратаря.

3. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение.  1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3.

 2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом:

20+15+23-10-12-9+х=30, 27+х=30, х=3.

4. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

Решение

А + Н = 34    

Ф + Н = 25    

       Н = 6

А + Н = на 3 человека >, чем Ф + Н = х

одновр.                                               одновр.

34 – х – 3 – 6 – х + х + 3 + 6 + х +25 – х – 6 – х – 3 = 40

– 2х = 40 – 34 + 3 – 25

– 2х = –10  

     х = 5

Ф + Н = 5 человек.

А + Н = 8 человек.

А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 человек.

Н = 6 человек.

Ф =25 – 5 – 6 –8 = 6 человек.        

Всего 40 человек.

5. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и

холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Решение:

Купили только холодильники: 35-(20-3)-(15-3)-3=4.

Купили только микроволновки: 36-(20-3)-(19-3)-3=0.

Купили только телевизоры: 37-(15-3)-(19-3)-3=6.

Тогда всего покупателей было: 4+17+3+16+12+6=58.

65-58=7 посетителей магазина не купили ничего.

Задача  6    «Озеро Графское»

Из 100 отдыхающих на турбазе «Графское»,

 30 детей -  отличники учебы,

28 -  участники олимпиад,

42 -  спортсмены.

8 учащихся одновременно участники олимпиад и  спортсмены,

10 – участники олимпиад и отличники,

5 – спортсмены и отличники учебы,

3 – и отличники, и участники олимпиад, и спортсмены.

Сколько отдыхающих не относятся ни к одной из групп?

20+13+30+3+5+7+2=80 (детей)

100-80=20 (детей не входят ни в одну из групп)

Ответ: 20 детей.

 Задача 7. О подругах

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера.

8) Спортивная задача

В футбольной команде «Баймак» 30 игроков:

18 нападающих.

11 полузащитников,

17 защитников

Вратари

3 могут быть нападающими и защитниками,

10 защитниками и полузащитниками,

6 нападающими и защитниками

 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником.

Вратари не заменимы.

Сколько в команде «Баймак» вратарей?

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30-28=2.

 Ответ: 2 вратаря.

9)"Обитаемый остров" и "Стиляги"

      Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».

11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».

Заключение.

В результате работы над данной темой я пришел к следующим выводам:

1) Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество полностью;

2) Любое натуральное число является элементом любого следующего множества.

3) Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.