Задача о шахматном турнире

        МБОУ «III Мальжагарская основная общеобразовательная школа»

        Доклад

        Тема: Задача о шахматном турнире

                                                                 Выполнила работу

                                                         ученица 6класса

                                                                                   Федорова Айыыда

                                                                                    Руководитель: Павлова С.В.

        Введение

       Цель работы:  решить задачу о шахматном турнире. Исследуя эту исходную задачу, найти  общую проблему решения подобных ей задач.

       Задача: в шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

       Проблема: Как зависит количество партий в шахматном турнире от числа людей, участвовавших в ней?

       Гипотезы:

 1. Каждое следующее  число хn  равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:

1=;    3=;    6=;   10=.  Значит, хn =.

2. Каждое следующее число хn равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:

1=1;  3=1+2;   6=1+2+3;   10=1+2+3+4. Значит, хn=1+2+3+…+(n-1).

3. . Каждое следующее  число хn  равняется предыдущему хn-1, сложенному с числом точек, соответствующих ему:

1=0+1;  3=1+2;   6=3+3;  10=6+4 . Значит хn =хn-1+(n-1).

      Вывод: При решении задачи о шахматном турнире рассмотрела все возможные случаи и заметила закономерность нахождения ответов. Решая задачу о шахматном турнире, я нашла несколько способов решения этой задачи, проверила гипотезы и доказала их. Поняла идею решения таких задач.

                   Решение исходной задачи.

Задача. В шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

I способ.  Каждый шахматист сыграл 4партии. Всего сыграно 10 партий  (произведение 5*4 нужно разделить на два, в противном случае каждая партия будет сосчитана дважды).

II способ. (Графический). Пусть каждый шахматист обозначен точкой, а каждая сыгранная партия стрелкой от одного шахматиста к другому. Если каждую партию считать один раз, то будем иметь 10 партий.

4+3+2+1=10

 1       2         3          4          5

      Проблема: Как зависит количество партий в шахматном турнире от числа людей, участвовавших в ней?

                                     Таблица результатов.

 I способ. 1 =;    3 =;    6 = ;   10 =;   15 = ;  21 =  .

II способ.  3=1+2; 6=1+2+3; 10= 1+2+3+4; 15=1+2+3+4+5; 21=1+2+3+4+5+6

       Гипотезы:

 1. Каждое следующее  число хn  равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:

1=;    3=;    6=;   10=.  Значит, хn =.

2. Каждое следующее число хn равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:

1=1;  3=1+2;   6=1+2+3;   10=1+2+3+4. Значит, хn=1+2+3+…+(n-1).

3.  Каждое следующее  число хn  равняется предыдущему хn-1, сложенному с числом точек, соответствующих ему:

1=0+1;  3=1+2;   6=3+3;  10=6+4 . Значит хn =хn-1+(n-1).

Проверка гипотез.

Пусть n = 6. Тогда фактическое число партий х6=15;

1      2     3     4     5      6

Число партий согласно гипотезе:

 I.  х6 =;  

II. 15=1+2+3+4+5;

III. х6=х5+(6-1)=10+5=15

Заключение по проверке:

гипотеза I получила подтверждение;

гипотеза II получила подтверждение;

гипотеза III получила подтверждение.

Доказательство гипотез

1. Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Обозначим сумму через  S и запишем S=1+2+3+…+98+99+100= =(1+100)+(2+99)+(3+98)+…..(50+51)=101*50=5050, значит S=  .

          Действительно, 1+2+3+…+(n-1)=.

2. Докажем гипотезу II.

Пусть на прямой отмечено n точек: А1, А2, А3, …, Аn-1, Аn.Тогда число всех отрезков, левый конец которых находится в 1-й точке, равно n-1, во 2-й точке- n-2, в 3-й – n -3 и т.д., в (n-1)-й точке-1. Значит, число всех отрезков, образующихся на прямой при выделении на ней n точек, будет равняться сумме последовательных натуральных чисел от 1 до (n-1), т.е.

хn=1+2+3+…+(n-1).

3.                                      Таблица результатов.

 1=0+1;   3=1+2;   6=3+3;   10=6+4.

Значит действительно, xn=xn-1+(n-1). Что и требовалось доказать.

Заключение.

      Вывод: При решении задачи о шахматном турнире рассмотрела все возможные случаи и заметила закономерность нахождения ответов. Решая задачу о шахматном турнире, я нашла несколько способов решения этой задачи, проверила гипотезы и доказала их. Поняла идею решения таких задач.

1. Каждое следующее  число хn  равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:

   хn =.

2. Каждое следующее число хn равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:

 Значит, хn=1+2+3+…+(n-1).

3.  Каждое следующее  число хn  равняется предыдущему хn-1, сложенному с числом точек, соответствующих ему:

 Значит хn =хn-1+(n-1).

Использованная литература:

1. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе математики

5. классов:-М.: Просвещение, 1986.-96с.:ил.

2. Шарыгин И.Ф., Шевкин  А.В. Математика : Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений. -5-е изд.-М.: просвещение, 2000.-95с.: ил.
3. Математика в школе- журнал 2004 изд. «школьная пресса»
4. Энциклопедия для детей т.11 Математика/Глав. ред. М.Д. Аксёнова-М.:

Аванта+,2003.-688 с.:ил.

МБОУ «III Мальжагарская основная общеобразовательная школа»

        Тезис доклада

        Тема: Задача о шахматном турнире

                                                                 Выполнила работу

                                                         ученица 6класса

                                                                                   Федорова Айыыда

                                                                                    Руководитель: Павлова С.В.

        Введение

       Цель работы:  решить задачу о шахматном турнире. Исследуя эту исходную задачу, найти  общую проблему решения подобных ей задач.

       Задача: в шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

       Проблема: Как зависит количество партий в шахматном турнире от числа людей, участвовавших в ней?

       Гипотезы:

 1. Каждое следующее  число хn  равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:

1=;    3=;    6=;   10=.  Значит, хn =.

2. Каждое следующее число хn равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:

1=1;  3=1+2;   6=1+2+3;   10=1+2+3+4. Значит, хn=1+2+3+…+(n-1).

3. . Каждое следующее  число хn  равняется предыдущему хn-1, сложенному с числом точек, соответствующих ему:

1=0+1;  3=1+2;   6=3+3;  10=6+4 . Значит хn =хn-1+(n-1).

      Вывод: При решении задачи о шахматном турнире рассмотрела все возможные случаи и заметила закономерность нахождения ответов. Решая задачу о шахматном турнире, я нашла несколько способов решения этой задачи, проверила гипотезы и доказала их. Поняла идею решения таких задач.

1. Каждое следующее  число хn  равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:

   хn =.

2. Каждое следующее число хn равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:

 Значит, хn=1+2+3+…+(n-1).

3.  Каждое следующее  число хn  равняется предыдущему хn-1, сложенному с числом точек, соответствующих ему:

 Значит хn =хn-1+(n-1).

Доказательство гипотез

1. Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Обозначим сумму через  S и запишем S=1+2+3+…+98+99+100= =(1+100)+(2+99)+(3+98)+…..(50+51)=101*50=5050, значит S=  .

          Действительно, 1+2+3+…+(n-1)=.

2. Докажем гипотезу II.

Пусть на прямой отмечено n точек: А1, А2, А3, …, Аn-1, Аn.Тогда число всех отрезков, левый конец которых находится в 1-й точке, равно n-1, во 2-й точке- n-2, в 3-й – n -3 и т.д., в (n-1)-й точке-1. Значит, число всех отрезков, образующихся на прямой при выделении на ней n точек, будет равняться сумме последовательных натуральных чисел от 1 до (n-1), т.е.

хn=1+2+3+…+(n-1).

3.                                      Таблица результатов.

 1=0+1;   3=1+2;   6=3+3;   10=6+4.

Значит действительно, xn=xn-1+(n-1). Что и требовалось доказать