«ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ МНОГОУГОЛЬНИКОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ГИА И ЕГЭ)»

X лицейская научно – практическая конференция учащихся

Секция «Математика»

«ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ МНОГОУГОЛЬНИКОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
(ГИА И ЕГЭ)»

Автор: Кондрина Анастасия

Учащаяся 9 класса Б

МБОУ лицей  «Технический»

Научный руководитель:

Варнакова Елена Николаевна

Учитель математики

МБОУ лицея «Технический»

Самара 2013

ЛИТЕРАТУРА

1. Геометрия, 7-9: учеб. Для общеобразоват. Учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.,2007 г.

2. Решение задач: Учеб. Пособие для 11 кл. общеобразовательных учреждений.-2-е изд.-И.Ф.Шарыгин, 1995 г.

3. С.В. Богатырев, А.А. Максютин и др. Тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике 2012, учебное пособие, Самара.

4. А.Г. Клово, Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ-2006.Математика.

5. Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике- С.В. Дворянинов, Л.В. Колошнец и др., Самара, 2006.

6. Тренировочные материалы для подготовки к ГИА по математике-2014- А.А. Максютин, Ю.Н. Неценко и др.

7. Лысенко Ф.Ф. и др. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2009. Вступительные испытания.

8. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учеб. Пособие для 11 класса средней школы.-1991.

9. http://www.alleng.ru/d/math/math69.htm

10. http://lib.znate.ru/ 

ВВЕДЕНИЕ

 В наше время каждый ученик сталкивается с важным этапом - сдача итоговых экзаменов в 9-х и 11-х классах. Экзамены - это ответственный период в жизни любого человека, так как именно от их результатов зависит будущее. Один из факторов на успешность сдачи экзаменов - уровень знаний, т.е. насколько хорошо вы знаете и ориентируетесь в материале учебного предмета.  

Для достижения положительных результатов, важно работать не только с материалом, предлагаемым в школьной программе, но также и с материалом, который дается в пособиях дополнительной литературы. Изучая данные пособия, можно заметить, что существуют теоремы и свойства, которые не излагаются в школьных учебниках по геометрии, но используемые в задачах второй части модуля «геометрия» в ГИА и задачах С4 в ЕГЭ.

 В данной работе проведены исследования и анализирование пособий для подготовки к ГИА и ЕГЭ, а также изучение теорем и свойств, которые не используются в школьной программе курса геометрии 8-11 классов.  

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение……………………………………………………………………………….......
2. Свойство биссектрисы треугольника (нахождение длины биссектрисы треугольника через стороны треугольника)……………………………………………..
3. Доказательство свойства биссектрисы…………………………………………………..
4. Свойство биссектрисы треугольника (отношение сторон)…………………………….
5. Доказательство свойства биссектрисы…………………………………………………..
6. Свойство медианы треугольника (нахождение медианы треугольника через три стороны треугольника)……………………………………………………………………
7. Доказательство свойства медианы треугольника……………………………………….
8. Теорема Чевы……………………………………………………………………………...
9. Свойство диагоналей параллелограмма…………………………………………………
10. Доказательство свойства диагоналей параллелограмма……………………………….
11. Свойства касательных…………………………………………………………………….
12. Свойства центральных и вписанных углов……………………………………………...
13.  Литература………………………………………………………………………………...

3.Свойство медианы треугольника

Доказательство:

4.Свойство диагоналей параллелограмма

Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то  справедливы равенства:

      Следовательно,

d12 = 2a2 + 2b2 – d22,

d22 = 2a2 + 2b2 – d12.

      Складывая эти равенства, получим

что и требовалось доказать.

5. Свойства касательных

Вспомним свойства касательных, значение которых изучаются в курсе геометрии 8 класса и активно применяются на ГИА и ЕГЭ.

6. Свойства центральных и вписанных углов.

Теорема Чевы.

В школе мы доказывали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. И что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Более того, высоты и серединные перпендикуляры треугольника тоже обладают тем же свойством.
Вот только доказывались эти теоремы... как? Да в том-то и дело, что каждая из них доказывалась как-то по-своему, у каждой из них был свой способ.

Здесь предоставлен единый способ доказательства этих теорем. Доказательства, использующего теорему Чевы.
Вот её формулировка:

Пусть точки A',B',C' лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA',BB',CC' пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Прежде чем перейти к доказательству, замечу, что равенство в формулировке не такое уж заумное и трудно запоминающееся, как может показаться на первый взгляд. Действительно, чтобы получить это равенство, нам достаточно выбрать произвольную вершину треугольника, например, B, и начать обходить треугольник по часовой стрелке. Обойдя треугольник, мы пройдём по каждому из отрезков как раз в той последовательности, в которой они встречаются в равенстве.

Доказательство.

Прямая теорема.

С одной стороны,
SAOB'/SCOB' =AB'/B'C
С другой стороны, это же отношение площадей равно отношению высот треугольников AOB' и COB', проведенных к основанию OB', равно как и отношение площадей треугольников AOB и COB.

Таким образом, AB'/B'C = SAOB/SCOB.

Записав аналогичные равенства для отношений CA'/A'B и AC'/C'B и затем перемножив их всех, получим требуемое утверждение.

Обратная теорема.

Итак, допустим, у нас выбраны точки A', B', C' на сторонах треугольника и выполняется равенство из условия.
Пусть AA' и BB' пересекаются в точке О. Проведем прямую СО и пусть она пересекает сторону AB в некоторой точке C''. Тогда, согласно прямой теореме, у нас будет выполняться то самое огромное равенство, в котором вместо точки C' будет точка C''. Исходя из выполнения этих двух равенств - с точкой C'', как мы показали, и с точкой C' из условия обратной теоремы, делаем вывод, что точки C'' и C' совпадают.


Можно записать условие Чевы в форме синусов:

Это условие легко получить, применив теорему синусов к треугольникам ABA' и ACA'. Для них получаем A'B/AA'= sinBAA' /sinABA' и A'C/AA'=sinA'AC/sinA'CA. Разделив одно равенство на другое, получаем A'B/A'C=sinBAA' /sinA'AC * (sinBCA/sinABC )

Записав аналогичные равенство для остальных отрезков и перемножив их, получаем условие Чевы в форме синусов.

Согласно теореме Чевы, то, пересечение медиан треугольника в одной точке - доказывается в одну строчку.
Согласно теореме Чевы в форме синусов, пересечение биссектрис в одной точке доказывается в одну строчку.
А вот доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке - это, согласно теореме Чевы в форме синусов, доказывается в две строчки. В первой строчке доказательства нам следует написать известное тригонометрическое тождество -
sin(90 - a) = cos a

Свойство биссектрисы треугольника.

Теорема. Биссектриса (BD, черт. 1) любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону на части (AD и CD), пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Требуется доказать, что если / ABD = / DBC, то AD : DC =АВ : ВС.

Проведём СЕ || BD до пересечения в точке Е с продолжением стороны АВ. Тогда, согласно теореме о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересечённых несколькими параллельными прямыми, будем иметь пропорцию:

AD : DC = АВ: BE.

  Чтобы от этой пропорции перейти к той, которую требуется доказать, достаточно обнаружить, что ВЕ = ВС, т. е. что /\ ВСЕ равнобедренный. 
  В этом треугольнике / Е = / ABD (как углы соответственные при параллельных прямых) и / ВСЕ =  / DBC (как углы накрест лежащие при тех же параллельных прямых).

  Но /  ABD = / DBC по условию; значит, / Е = / ВСЕ, а потому равны и стороны 
BE и ВС, лежащие против равных углов.
  Теперь, заменив в написанной выше пропорции BE на ВС, получим ту пропорцию, которую требуется доказать.

Численный пример. Пусть АВ = 10; ВС = 7 и АС  = 6. Тогда, обозначив AD буквой х, можем написать пропорцию: х : (6 — х) = 10 : 7,

отсюда найдём:

7х = 60 — 10х;   7х + 10х = 60;    17х = 60;  
х = 60/17 = 3 9/17

Следовательно,

DC = 6 — х =  6 — 3 9/17  = 2 8/17

Свойство Биссектрисы треугольника.

где:

•  — длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
•  — стороны треугольника против вершин  соответственно,
•  — полупериметр треугольника,
•  — длины отрезков, на которые биссектриса  делит сторону ,

ЗАДАЧИ

Задачи на свойства биссектрис и медиан в треугольнике:

Задача 1. В треугольнике ABC угол А вдвое больше угла В, а длины сторон, противолежащих этим углам, соответственно равны 12 см и 8 см. найти длину третьей стороны треугольника.

Задача 2. Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите DC, если АВ=30, АD=20, BD=16 иBDC =С.

Задача 3. Отрезок AD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите BD и DC, если АВ=14 см, ВС=20 см, АС=21 см.

Задача 4. Биссектриса треугольника AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 СМ И 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 42 см.

Задача 5. В треугольнике MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, E и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и MK. Найдите отрезки NE и EK, если MN=7 см, NK=6см, МК=5 см.

Задача 6. В треугольнике АВС проведена медиана AD. Найдите BL,если AL-высота треугольника и АВ=1 см, АС= см, AD=2 см.

Задача 7. В треугольнике MNP проведена медиана MD. Найдите ее длину, если MN=1, MP= и cosMNP=.

Задача 8.Основание равнобедренного треугольника равно, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 5. Найдите длину боковой стороны.

Задача 9. Треугольник АВС- прямоугольный с прямым углом С. Биссектриса BL и медиана СМ пересекаются в точке K. Найдите отношение  , если известно, что  =.

Задача 10.Для треугольника АВС его стороны АВ=5, ВС=8,5, АС=10,5. Найдите расстояние от центра описанной окружности до стороны АС.

Задача 11.Дан равнобедренный треугольник АВС со сторонами АВ=5, АС=5, ВС=8. В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Найдите радиус окружности, вписанной в угол А и проходящей через центр О.

Задача 12.Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите угол МВС.

Задача 13.В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M  и N так, что BM : MN=3:5. Найдите ВС, если АВ=12.

Задача 14.Дан треугольник с периметром 30. В этот треугольник вписана окружность. К окружности проведена касательная параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной, образованный точками пересечения этой касательной с боковыми сторонами треугольника, равен 3,6. Найдите основание треугольника.

Задача 15. Дана окружность Р с центром в точке О радиуса 5. Луч, выходящий из центра О пересекает эту окружность в точке Р. На этом луче выбирается точка А на расстоянии 3 от окружности Р. Найдите радиус окружности , которая касается луча ОА в точке А и окружности Р.

Задача 16.Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса длит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника.

Задача 17.В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С- прямой) АВ=20 см, АС=16 см, АК- биссектриса. Найдите ВС, ВК, КС.

Задача 18.Биссектриса острого угла в прямоугольном треугольнике делит противолежащий катет на части, которые относятся, как 2:. Найти этот острый угол.

Задача 19.В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD угла ВАС и CF угла АВС ( точка D лежит на стороне ВС, а точка F- на стороне АВ). Найти отношение площадей треугольников АВС и AFD, если известно, что АВ=21, АС=28, ВС=20.

Задача 20. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см.

Задача 21. В треугольнике АВС даны стороны ВС= a, АС= b и АВ= с. Найти отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.

Задача 22. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса ВЕ прямого угла В делится центром вписанной окружности в отношении ВО: ОЕ =: Найти острые углы треугольника.

Задача 23.Биссектриса угла N треугольника MNP делит сторону MP на отрезки, длины которых равны 28 и 12. Определить периметр треугольника MNP, если MN- NP = 18.

Задача 24.Построить треугольник так, чтобы прямые а, b и с, пересекающиеся в одной точке, были его биссектрисами.

Задача 25. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстоянии 2 и 2 см от концов гипотенузы. Найти катеты этого треугольника.

Задача 26.В треугольнике АВС биссектрисы углов В и С пересекаются в точке Е. Площадь круга, описанного около треугольника ВСЕ, равна q. Найти площадь круга, описанного около треугольника АВС, если сторона ВС равна  d.

Задача 27.В равнобедренном треугольнике АВС ( АВ=ВС) сторона АС видна из центра вписанной окружности под углом  x. Найти площадь треугольника, если расстояние от центра вписанной окружности до вершины В равно d.

Задача 28.В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и АС отмечены соответственно точки  С1, А1 и В1, так что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Известно, что   = ,  =. Найдите   ,  ,  ,  .

Задача 29.В треугольнике АВС, ВК – медиана. На стороне ВС отмечена точка М и прямая Задача 30.МК пересекает продолжение стороны АВ за точку А в точке N. Известно, что  =  , а площадь треугольника АNК равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Задача 32.В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и АС отмечены соответственно точки С1, А1 и В1, так что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Известно, что  = ,  = . Найдите  , ,  ,  .

Задача 33.В треугольнике АВС , ВК – медиана. На стороне ВС отмечена точка М и прямая МК пересекает продолжение стороны АВ за точку А в точке N. Известно, что   =  , а площадь треугольника КМС равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.