Применение производной

Слайд 1

Слайд 2

Точку x = x 0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f( x 0 ). Точки минимума и максимума Точку x = x 0 называют точкой м аксимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x 0 ).

Слайд 3

Точка минимума и точка максимума являются точками экстремума.

Слайд 4

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x= x 0 , то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.

Слайд 5

Если производная f’(x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка x 0 является точкой экстремума функции f(x) . Если производная меняет знак с «+» на «-», то точка будет являться точкой максимума ; Е сли с «-» на «+» – точко й минимума .

Слайд 6

I. Найти производную f’(x) ; II. Найти критические точки функции y=f(x) , т.е. точки, в которых f’(x) обращается в ноль или терпит разрыв; III. Исследовать знак производной f’(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . При этом критическая точка x 0 есть точка минимума , если она отделяет промежуток, в котором f’(x)<0 , и точка максимума в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделённых критической точкой x 0 , знак производной не меняется, то в точке x 0 функция экстремума не имеет . IV. Вычислить значения функции в точках экстремума. Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

Слайд 7

y=7+12x-x 2 Пример 1: «Найти точку максимума функции» 4. х=6 – критическа я точка; х=6 – точка максимума. 3 . Приравнять к нулю: 6-х=0; х=6 2. Производная: (7) ‘+(12x)’-(x 2 )’=12-2x 1. Область определения : R

Слайд 8

4. х=0 – точка максимума; y max =0 ; х=2 – точка минимума; y min = -4. Пример 2: «Найти точки экстремума и сами экстремумы» y=x 3 -3x 2 3 . Приравнять к нулю: 3x 2 -6x =0; x 2 - 2 x =0; х (х-2)=0; x 1 =0, x 2 =2 . 2 . Производная: f’(x)=( x 3 )’-( 3x 2 )’= 3x 2 -6x 1. Область определения: R