VII городская конференция

 «Шаг в будущее»

Секция: точные науки

Название исследовательской работы

« Золотое сечение в архитектуре »

                                         Работу выполнил:

                                                               Воронин Егор Борисович

ученик 7 «А» класса МБОУ СОШ № 28

                                                Научный руководитель:

                          Циулина Людмила Леонидовна        

                                                             учитель математики,

высшая квалификационная категория

г. Архангельск

 2014 год

Оглавление

1.        Введение        

2.        Основная часть.        

2.1.        Определение золотого сечения.        

2.2. Золотое сечение в архитектуре.        

2.2.1 Парфенон        

2.2.2 Золотое сечение в архитектуре собора Василия Блаженного.        

2.2.3 Кафедральный собор Архистратига Божия Михаила в Архангельске.        

3. Заключение.        

4. Библиография.        

5. Приложения        

Приложение 1. Наиболее точное значение Золотого Числа Ф (Фи)        

Приложение 2. Собор Василия Блаженного.        

Приложение 3. Разрез Кафедрального собора        

Приложение 4. Макет Кафедрального собора        

«Красота должна отвечать строгому числу» 

   Л.Б.Альберти

«Скрытая гармония сильнее явной»

Гераклит

1. Введение

   Исследование данной работы лежит в области математики и краеведения,  посвящено изучению строящегося архитектурного объекта города: кафедрального собора Архистратига Божия Михаила. Исследованы вероятность использования золотого  сечения  в архитектуре собора.

    Актуальность исследования  обусловлена тем, что изучение и постижение законов гармонии способно направить творческую деятельность человека в русло создания нового, созвучного объективным законам восприятия, которыми отображены законы гармонии в природе.

    Цель исследования – показать гармоничность постройки через математическое описание внешнего вида с использованием пропорций «золотого сечения».

    Объект исследования – Кафедральный собор.

   Предмет исследования – пропорции в здании.

    Гипотеза исследования – в архитектуре Кафедрального собора заложены пропорции золотого сечения.

    Для доказательства гипотезы были поставлены следующие задачи: 

 -  проанализировать различные источники информации по данной теме;

 -  исследовать пропорции в архитектуре собора;

-  показать влияние «золотого сечения» на архитектурную привлекательность зданий.

     Для решения поставленных задач использовались следующие методы: эмпирические (сравнение и измерение, моделирование), теоретические (анализ и синтез, сравнение, обобщение).

    Теоретическую основу исследования составляют собранные сведения о понятии золотого сечения и связанных с ним соотношениях; сведения об истории применения золотого сечения в архитектуре древности и современности.

    Методологическую основу исследования составляют практические вычислительные действия, направленные на выявления пропорций, близких к золотому сечению.

2. Основная часть.

Теперь более чем когда-либо всё в нашем мире основано на числах. Некоторые из них даже имеют собственные имена, например, число пи (π), число e.

Среди всех этих замечательных чисел одно является особенно интересным: 1,6180339887… Называется оно золотым сечением и обозначается греческой буквой Φ(фи) и играет в математике выдающуюся роль, обладая удивительными свойствами и неожиданными связями с творениями природы и человека. [2]

 Золотое сечение владело мыслью и чувствами многих мыслителей прошлого и продолжает волновать умы современников. Скульптура, архитектура, музыка, биология, астрономия, психология, техника - вот те сферы, где, так или иначе обнаруживает свою жизнь золотое сечение.[3]

1. Определение золотого сечения.

Оно было открыто древними греками, и его документированная  история начинается с одной из самых известных книг «Начал» Евклида, написанной около 300 г. до н.э. «Начала» состоят из13 книг. Шестая книга содержит текст, с которого началась история золотого сечения:

«Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить её на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему»

Или, выражаясь более кратко: «Целое относится к большей части, как большая часть к меньшей»

                 с : b = b : а

Крайнее и среднее отношение и является тем самым числом, которое впоследствии Леонардо да Винчи  назвал «золотым сечением».

Так как решение этой задачи является отношением между длинами частей отрезка, оно не зависит от длины самого отрезка. Другими словами, значение золотого сечения не зависит от первоначальной длины. 

Записать это число практически невозможно, не потому, что оно слишком большое, - оно чуть больше единицы – а потому, что оно состоит из бесконечного ряда цифр, которые никогда не образуют повторяющуюся группу. Число Φ является непериодическим десятичным числом, которое невозможно вычислить до конца. [2]

Наиболее точное значение Золотого Числа  [6] (Приложение 1)

Теперь возьмем калькулятор и сделаем несколько простых  расчетов, взяв приближенное значение Φ с точностью до пяти десятичных знаков: Φ=1,61803.

Сначала разделим единицу на Φ. Что мы получили? Число 0,61803; те же самые знаки после запятой, обозначим это число φ. Оказывается, что φ =1/ Φ= Φ – 1.

Теперь давайте возведём наше число в квадрат. Φ2=2,61803. Получается, что Φ2= Φ+1.

Умножая обе части на Φ получим:

Φ3= Φ2+ Φ

Φ4= Φ3+ Φ2

Φ5= Φ4+ Φ3

……………

Мы видим, что любая степень Ф равна сумме двух предыдущих степеней. В результате, имея значения Φ и Φ2, нам достаточно сложить две последовательных степени, чтобы получить следующую.[2]

А сейчас возведём в квадрат число φ.  φ2=0,38197. Получается, что φ+φ2=1. Умножая обе части на φ получим:

φ2+φ3= φ,

φ3 +φ4= φ2,

φ4+φ5= φ3

……………….

С помощью этих простых упражнений, мы видим, что число Ф, несмотря на своё скромное определение, ведёт нас к замечательным открытиям. Оно появляется в самых различных областях.

2.2. Золотое сечение в архитектуре.

  Я хочу стать архитектором и поэтому меня заинтересовал вопрос: Какое значение имеет Золотое сечение в эстетическом и художественном формообразовании? В каких архитектурных сооружениях старого и нового времени присутствует золотая пропорция?

 Оказывается золотое сечение с незапамятных времён широко использовалось в архитектуре. Оно встречается в совершенно различных цивилизациях, отделенных друг от друга тысячелетиями; в усыпальнице Хеопса в Древнем Египте и в храме Парфенон в Древней Греции; в Баптистерии эпохи Возрождения в Пизе и в храме Покрова на Нерли; в санкт–петербургском Адмиралтействе и в современных сооружениях Ле Корбюзье.

2.2.1 Парфенон

Из всех архитектурных творений древнего мира лучше других эффект золотого сечения иллюстрирует Парфенон — памятник античной архитектуры, расположенный на афинском Акрополе, главный храм в древних Афинах, посвящённый покровительнице этого города и всей Аттики, богине Афине. Построен в 447 — 438 до н. э. Современное название золотого сечения, фи, происходит от имени Фидия, творца этого древнего чуда.

«Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношении его частей золотую пропорцию. Известен целый ряд пропорций.

Так, приняв за единицу ширину торцового здания, можно получить:

расстояние между второй и седьмой колоннами равно Ф,

между третьей и шестой – Ф2,

между четвертой и пятой – Ф4.

 Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получим рад: 1, Ф, Ф2, Ф3, Ф4, Ф5. (Ф=1,618) [5]

2.2.2 Золотое сечение в архитектуре собора Василия Блаженного.

Оказывается, что множество архитектурных шедевров русского зодчества также построено по пропорции  золотого сечения. Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. 

 Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. (Приложение 2)

За «целое» или 1 принята высота храма.

 Пропорции храма определяются восемью членами другого ряда золотого сечения:

1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, φ6, φ7.( φ=0,618)

Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря свойству золотого сечения, части сойдутся в целое, т.е. φ + φ2=1, φ2+ φ3= φ и т.д. Таким образом, свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой.[7]

2.2.3 Кафедральный собор Архистратига Божия Михаила в Архангельске.

В течение двух веков духовным центром нашего города был Свято-Троицкий кафедральный собор. Его называли одним из самых красивых соборных храмов во всей России. По преданию, место для будущего храма указал Петр I во время пребывания в Архангельске. 

После революции собор не был закрыт, так как в 1920 году с общиной верующих был заключен договор на использование здания храма. Спустя 5 лет договор был расторгнут. Собор предполагалось использовать как дом культуры. Наиболее ценные предметы были изъяты, иконы – розданы верующим. В результате в 1928 году с куполов были сброшены кресты, а к 1931 году храм был полностью уничтожен. . На месте кафедрального собора Архангельска был построен театр. 

В 2005 году Святейший Патриарх Алексий II благословил строительство в Архангельске нового кафедрального собора в честь Архистратига Божия Михаила, покровителя нашего города. Тогда же состоялся крестный ход и общегородской молебен. 1 октября 2008 г. были забиты первые сваи, а 21 октября епископ Архангельский и Холмогорский Тихон совершил освящение закладного камня. Освящение в Архангельске нового храма должно стать символом возрождения духовной жизни Севера. Новый храм станет украшением Архангельска, главной святыней города. [4]

Проверим, а присутствует ли золотое сечение в пропорциях нового храма. Исследуем  систему пропорций на  разрезе храма. (Приложение 3)

Вычислим несколько значений ряда золотого сечения (φ=0,618) и попробуем найти такие отношения на разрезе собора.

φ    = 0,618

φ2  = 0,3819

 φ3 = 0,2360

 φ4 = 0,1459

φ5 = 0,0901

 φ6 = 0,0556

φ7= 0,0344

При вычислениях за целое возьмём высоту собора (72,7 м)

Составим таблицу:

Нанесём полученные результаты на макет собора (Северный фасад). (Приложение4)

Мы видим, что многие из членов ряда 1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5 … неоднократно повторяются в пропорциях этого архитектурного сооружения, и есть отношения, где части сходятся в целое, т.е. φ + φ2=1, φ2+ φ3= φ и т.д. Но это происходит не везде ( например, отношение размера большого купола к размеру креста на куполе φ3+ φ5= φ2 )

При анализе соотношений частей Кафедрального собора Архистратига Божия Михаила я сделал вывод, что в архитектуре собора заложена своя вполне гармоничная система пропорций, в которой есть функции  Золотого сечения и выполняется принцип «все во всем» и одновременно части «сходятся» в целое.

3. Заключение.

Замечательный зодчий и теоретик И.В. Жолтовский (1867-1959) считал творчество архитектора частью творчества природы, он говорил, что архитектурные формы должны члениться, следовать одна за другой, вырастать друг из друга, как ветви древесного ствола, что гармония в природе и гармония в архитектуре обретают одинаковое математическое выражение в законе золотого сечения.

Пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии.  И я думаю, что новый храм действительно станет украшением Архангельска, главной святыней города. 

В ходе работы над проектом я научился :

• работать с различными источниками информации, в том числе  в сети Интернет;
• деловому общению;
• оформлять работу;
• создавать презентацию;
•  готовить защиту проекта.

Продуктом моей работы является напечатанный текст исследовательской работы с  презентацией  Power Point.

4. Библиография.

1. Гримм Г.Д. «Пропорциональность в архитектуре», издательство ОНТИ,1935 (электронное издание)
2. Корбалан Ф. «Золотое сечение. Математический язык красоты» , издательство «DeAGOSTINI», Москва-2013.
3. Шевелёв И.Ш., Марутаев М.А., Шмелёв И.П. «Золотое сечение», издательство Стройиздат, 1990
4.      http://xn--80ac2bbhdd5a.xn--p1ai/project/
5. http://pages.marsu.ru/iac/resurs/gorelysheva/8.html
6. http://goldconcept.ru/concept/113-golden-section-number
7. http://school14-v.ucoz.ru/publ/1-1-0-4

5. Приложения

Приложение 1. Наиболее точное значение Золотого Числа Ф (Фи)

1 , 6 1 8 0 3 3 9 8 8 7 4 9 8 9 4 8 4 8 2 0 4 5 8 6 8 3 4 3 6 5 6 3 8 1 1 7 7 2 0 3 0 9 1 7 9 8 0 5 7 6 2 8 6 2 1 3 5 4 4 8 6 2 2 7 0 5 2 6 0 4 6 2 8 1 8 9 0 2 4 4 9 7 0 7 2 0 7 2 0 4 1 8 9 3 9 1 1 3 7 4 8 4 7 5 4 0 8 8 0 7 5 3 8 6 8 9 1 7 5 2 1 2 6 6 3 3 8 6 2 2 2 3 5 3 6 9 3 1 7 9 3 1 8 0 0 6 0 7 6 6 7 2 6 3 5 4 4 3 3 3 8 9 0 8 6 5 9 5 9 3 9 5 8 2 9 0 5 6 3 8 3 2 2 6 6 1 3 1 9 9 2 8 2 9 0 2 6 7 8 8 0 6 7 5 2 0 8 7 6 6 8 9 2 5 0 1 7 1 1 6 9 6 2 0 7 0 3 2 2 2 1 0 4 3 2 1 6 2 6 9 5 4 8 6 2 6 2 9 6 3 1 3 6 1 4 4 3 8 1 4 9 7 5 8 7 0 1 2 2 0 3 4 0 8 0 5 8 8 7 9 5 4 4 5 4 7 4 9 2 4 6 1 8 5 6 9 5 3 6 4 8 6 4 4 4 9 2 4 1 0 4 4 3 2 0 7 7 1 3 4 4 9 4 7 0 4 9 5 6 5 8 4 6 7 8 8 5 0 9 8 7 4 3 3 9 4 4 2 2 1 2 5 4 4 8 7 7 0 6 6 4 7 8 0 9 1 5 8 8 4 6 0 7 4 9 9 8 8 7 1 2 4 0 0 7 6 5 2 1 7 0 5 7 5 1 7 9 7 8 8 3 4 1 6 6 2 5 6 2 4 9 4 0 7 5 8 9 0 6 9 7 0 4 0 0 0 2 8 1 2 1 0 4 2 7 6 2 1 7 7 1 1 1 7 7 7 8 0 5 3 1 5 3 1 7 1 4 1 0 1 1 7 0 4 6 6 6 5 9 9 1 4 6 6 9 7 9 8 7 3 1 7 6 1 3 5 6 0 0 6 7 0 8 7 4 8 0 7 1 0 1 3 1 7 9 5 2 3 6 8 9 4 2 7 5 2 1 9 4 8 4 3 5 3 0 5 6 7 8 3 0 0 2 2 8 7 8 5 6 9 9 7 8 2 9 7 7 8 3 4 7 8 4 5 8 7 8 2 2 8 9 1 1 0 9 7 6 2 5 0 0 3 0 2 6 9 6 1 5 6 1 7 0 0 2 5 0 4 6 4 3 3 8 2 4 3 7 7 6 4 8 6 1 0 2 8 3 8 3 1 2 6 8 3 3 0 3 7 2 4 2 9 2 6 7 5 2 6 3 1 1 6 5 3 3 9 2 4 7 3 1 6 7 1 1 1 2 1 1 5 8 8 1 8 6 3 8 5 1 3 3 1 6 2 0 3 8 4 0 0 5 2 2 2 1 6 5 7 9 1 2 8 6 6 7 5 2 9 4 6 5 4 9 0 6 8 1 1 3 1 7 1 5 9 9 3 4 3 2 3 5 9 7 3 4 9 4 9 8 5 0 9 0 4 0 9 4 7 6 2 1 3 2 2 2 9 8 1 0 1 7 2 6 1 0 7 0 5 9 6 1 1 6 4 5 6 2 9 9 0 9 8 1 6 2 9 0 5 5 5 2 0 8 5 2 4 7 9 0 3 5 2 4 0 6 0 2 0 1 7 2 7 9 9 7 4 7 1 7 5 3 4 2 7 7 7 5 9 2 7 7 8 6 2 5 6 1 9 4 3 2 0 8 2 7 5 0 5 1 3 1 2 1 8 1 5 6 2 8 5 5 1 2 2 2 4 8 0 9 3 9 4 7 1 2 3 4 1 4 5 1 7 0 2 2 3 7 3 5 8 0 5 7 7 2 7 8 6 1 6 0 0 8 6 8 8 3 8 2 9 5 2 3 0 4 5 9 2 6 4 7 8 7 8 0 1 7 8 8 9 9 2 1 9 9 0 2 7 0 7 7 6 9 0 3 8 9 5 3 2 1 9 6 8 1 9 8 6 1 5 1 4 3 7 8 0 3 1 4 9 9 7 4 1 1 0 6 9 2 6 0 8 8 6 7 4 2 9 6 2 2 6 7 5 7 5 6 0 5 2 3 1 7 2 7 7 7 5 2 0 3 5 3 6 1 3 9 3 6 2 1 0 7 6 7 3 8 9 3 7 6 4 5 5 6 0 6 0 6 0 5 9 2 1 6 5 8 9 4 6 6 7 5 9 5 5 1 9 0 0 4 0 0 5 5 5 9 0 8 9 5 0 2 2 9 5 3 0 9 4 2 3 1 2 4 8 2 3 5 5 2 1 2 2 1 2 4 1 5 4 4 4 0 0 6 4 7 0 3 4 0 5 6 5 7 3 4 7 9 7 6 6 3 9 7 2 3 9 4 9 4 9 9 4 6 5 8 4 5 7 8 8 7 3 0 3 9 6 2 3 0 9 0 3 7 5 0 3 3 9 9 3 8 5 6 2 1 0 2 4 2 3 6 9 0 2 5 1 3 8 6 8 0 4 1 4 5 7 7 9 9 5 6 9 8 1 2 2 4 4 5 7 4 7 1 7 8 0 3 4 1 7 3 1 2 6 4 5 3 2 2 0 4 1 6 3 9 7 2 3 2 1 3 4 0 4 4 4 4 9 4 8 7 3 0 2 3 1 5 4 1 7 6 7 6 8 9 3 7 5 2 1 0 3 0 6 8 7 3 7 8 8 0 3 4 4 1 7 0 0 9 3 9 5 4 4 0 9 6 2 7 9 5 5 8 9 8 6 7 8 7 2 3 2 0 9 5 1 2 4 2 6 8 9 3 5 5 7 3 0 9 7 0 4 5 0 9 5 9 5 6 8 4 4 0 1 7 5 5 5 1 9 8 8 1 9 2 1 8 0 2 0 6 4 0 5 2 9 0 5 5 1 8 9 3 4 9 4 7 5 9 2 6 0 0 7 3 4 8 5 2 2 8 2 1 0 1 0 8 8 1 9 4 6 4 4 5 4 4 2 2 2 3 1 8 8 9 1 3 1 9 2 9 4 6 8 9 6 2 2 0 0 2 3 0 1 4 4 3 7 7 0 2 6 9 9 2 3 0 0 7 8 0 3 0 8 5 2 6 1 1 8 0 7 5 4 5 1 9 2 8 8 7 7 0 5 0 2 1 0 9 6 8 4 2 4 9 3 6 2 7 1 3 5 9 2 5 1 8 7 6 0 7 7 7 8 8 4 6 6 5 8 3 6 1 5 0 2 3 8 9 1 3 4 9 3 3 3 3 1 2 2 3 1 0 5 3 3 9 2 3 2 1 3 6 2 4 3 1 9 2 6 3 7 2 8 9 1 0 6 7 0 5 0 3 3 9 9 2 8 2 2 6 5 2 6 3 5 5 6 2 0 9 0 2 9 7 9 8 6 4 2 4 7 2 7 5 9 7 7 2 5 6 5 5 0 8 6 1 5 4 8 7 5 4 3 5 7 4 8 2 6 4 7 1 8 1 4 1 4 5 1 2 7 0 0 0 6 0 2 3 8 9 0 1 6 2 0 7 7 7 3 2 2 4 4 9 9 4 3 5 3 0 8 8 9 9 9 0 9 5 0 1 6 8 0 3 2 8 1 1 2 1 9 4 3 2 0 4 8 1 9 6 4 3 8 7 6 7 5 8 6 3 3 1 4 7 9 8 5 7 1 9 1 1 3 9 7 8 1 5 3 9 7 8 0 7 4 7 6 1 5 0 7 7 2 2 1 1 7 5 0 8 2 6 9 4 5 8 6 3 9 3 2 0 4 5 6 5 2 0 9 8 9 6 9 8 5 5 5 6 7 8 1 4 1 0 6 9 6 8 3 7 2 8 8 4 0 5 8 7 4 6 1 0 3 3 7 8 1 0 5 4 4 4 3 9 0 9 4 3 6 8 3 5 8 3 5 8 1 3 8 1 1 3 1 1 6 8 9 9 3 8 5 5 5 7 6 9 7 5 4 8 4 1 4 9 1 4 4 5 3 4 1 5 0 9 1 2 9 5 4 0 7 0 0 5 0 1 9 4 7 7 5 4 8 6 1 6 3 0 7 5 4 2 2 6 4 1 7 2 9 3 9 4 6 8 0 3 6 7 3 1 9 8 0 5 8 6 1 8 3 3 9 1 8 3 2 8 5 9 9 1 3 0 3 9 6 0 7 2 0 1 4 4 5 5 9 5 0 4 4 9 7 7 9 2 1 2 0 7 6 1 2 4 7 8 5 6 4 5 9 1 6 1 6 0 8 3 7 0 5 9 4 9 8 7 8 6 0 0 6 9 7 0 1 8 9 4 0 9 8 8 6 4 0 0 7 6 4 4 3 6 1 7 0 9 3 3 4 1 7 2 7 0 9 1 9 1 4 3 3 6 5 0 1 3 7 1 5 7 6 6 0 1 1 4 8 0 3 8 1 4 3 0 6 2 6 2 3 8 0 5 1 4 3 2 1 1 7 3 4 8 1 5 1 0 0 5 5 9 0 1 3 4 5 6 1 0 1 1 8 0 0 7 9 0 5 0 6 3 8 1 4 2 1 5 2 7 0 9 3 0 8 5 8 8 0 9 2 8 7 5 7 0 3 4 5 0 5 0 7 8 0 8 1 4 5 4 5 8 8 1 9 9 0 6 3 3 6 1 2 9 8 2 7 9 8 1 4 1 1 7 4 5 3 3 9 2 7 ….

Приложение 2. Собор Василия Блаженного.

Приложение 3. Разрез Кафедрального собора.