Необычные свойства обычных клеток

НЕОБЫЧНЫЕ СВОЙСТВА ОБЫЧНЫХ КЛЕТОК

 Математика, исследовательская работа.                              

Сабитова Дарья, 7 класс , МБОУ «Комсомольская СОШ»

Тукаевского района РТ, ismakaeva1997@yandex.ru/

Руководитель - Гайнеева Дилузя Фаткылкадировна ,

учитель математики  МБОУ «Комсомольская СОШ»

 Тукаевского района РТ, M172172@yandex.ru

Ссылка на работу    https://docs.google.com/file/d/0B3kWWrzP9x4xdzRnYk1YQ21Qek0/edit

      Я выбрала эту тему, потому что с вычислениями площадей фигур буду часто сталкиваться в повседневной жизни и при сдаче ЕГЭ.

Цели:  Более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики –площади фигур, найти более рациональные (легкие)  способы вычисления площадей фигур, нарисованных на клетчатой бумаге, создание условий для непрерывного самообразования, интеллектуального и творческого развития.

Задачи: изучить теоретический материал по данной теме, изучить литературные источники,

проанализировать вычисление площадей треугольников и прямоугольников старыми и новыми способами, доказать что исследованный способ подходит для всех фигур нарисованных на клетчатой бумаге.

Проблема: Вычисление и измерение площадей  фигур является одной из очень нужных тем в геометрии. Я думаю, что с этой проблемой буду очень часто сталкиваться  в быту. Я умею вычислять площади прямоугольников и треугольников. Но ведь не все фигуры являются только  треугольником, или прямоугольником. В силу своей любознательности я увидела, как старшеклассники  с трудом вычисляют площади некоторых многоугольников (их они так называют).

Гипотеза:  Существуют формулы  за пределами школьных учебников  для вычисления площадей многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Практическая значимость:  Экономия времени при вычислении площадей сложных фигур, различных многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Содержание

         Возьмем клетчатую бумагу. Назовем линии идущие по сторонам клеток - сеткой, а вершины клеток – узлами. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах  (рисунок1) и найдем его площадь. Искать ее можно по – разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площади и сложить. Но это очень кропотливая и долгая работа.

        Я поступила так: дополнила фигуру до прямоугольника АВСД и вычла ее из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и ее площадь вычисляется без усилий.

 Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади мне пришлось изрядно потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?  Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислить гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

       Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру, особенно ясно видна в случае прямоугольника.

        Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рисунок 2). Обозначим через Х количество узлов (белые точки) , лежащих внутри прямоугольника ,а через У – количество узлов на его границе(черные точки).  Я сместила сетку на

полклетки вправо и полклетки вниз.

В этом случае прямоугольник можно «распределить» между узлами так: каждый

  из Х узлов берет целую клетку смещенной сетки, каждый из У берет на себя 4 граничных неугловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки.  Нетрудно заметить, что площадь прямоугольника ABCD равна Х+(У-4):2 + 4*0,25(четверт) = Х+У:2-1. Таким образом, я установила формулу для  прямоугольника  нарисованного на клетчатой бумаге S=Х+У:2-1.  Это - формула Пика.
   Заметим, что площадь треугольника равна 7*5=35. А теперь вычислим ее по формуле

S=24+24:2-1=35.

     А теперь докажем что эта формула подходит для прямоугольного треугольника с вершинами в узлах сетки и катетами, лежащими на линиях сетки.

В                                       С

 Треугольник АВС достроим до прямоугольника АВСД (рисунок 3). Для прямоугольника формула Пика верна. Так как прямоугольник состоит из равных треугольников, то площадь треугольника АВСД равна  2  умножить на площадь треугольника АВС:        SABCD   =2*SABC

А                                      Д       Значит формула Пика верна для прямоугольного    треугольника.

        Посмотрим, верна ли эта формула для любого треугольника!  Рассматривая  рисунок 4, легко понять : любой такой треугольник можно получить  «отрезав» от некоторого  прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки , несколько прямоугольников и прямоугольных треугольников с катетами на линиях сетки . А так как формула Пика верна для прямоугольников и прямоугольных треугольников , то она верна и для исходного треугольника.

    Вычислим площади  нескольких  произвольных многоугольников , применяя  формулу Пика.                          

1. Решение: 
    Целочисленные точки внутри многоугольника

В = 21.
Целочисленные точки на границе многоугольника  Г = 5. 
Применяем формулу:  21 + 5:2 – 1 = 22,5.

2.                                                                 Решение: 
    
   Целочисленные точки внутри многоугольника В = 1.
   Целочисленные точки на границе многоугольника Г = 10. 
   Применяем формулу: 1 + 10:2 – 1 = 5.

       Проведенные мной исследования помогли убедиться в правильности выдвинутой гипотезы: я доказала, что существуют формулы  для вычисления площадей многоугольников , если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки.