Исследовательская работа "Делимость целых чисел"

Муниципальная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науке»

Секция «В мире математики»

Делимость целых чисел

Исследовательская работа

                                                                             Выполнил

                                                                                           ученик 10а класса

МБОУ «СОШ №18»

                                                                                   Усиков Богдан

                                                                                 Руководитель

учитель математики

                                                                                    Салманова Е.П.

Энгельс, 2015г.

Оглавление

1. Введение.

2. Основная часть.

1) Делимость целых чисел.

2) Сравнение чисел по модулю.

3. Заключение.

Введение

Я учусь в профильной группе 10а класса (информационно-технологический профиль). На уроках математики мы изучаем много тем, которые не изучаются на базовом уровне. Меня очень заинтересовала тема «Сравнение чисел по модулю», тесно  связанная с понятием делимости целых чисел. Возник вопрос: «В какой сфере деятельности находят применение знания по этой теме?»

Цель моей работы: Найти практическое применение сравнению чисел по модулю m.

Задачи работы:

1. Изучить теорию по темам: «Делимость целых чисел» и «Сравнение чисел по модулю».

2. Подбор задач практического содержания.

Основная часть

1. Делимость целых чисел

1.1. Деление нацело

Термины и обозначения

Целое число, которое делят, называется делимым. Целое число, на которое проводится деление, называется делителем. Результат деления целых чисел называется частным.

Деление обозначается символом вида :, который располагается между делимым и делителем (иногда встречается символ ÷, который также обозначает деление). Деление целого числа a на целое число b можно записать так  a:b.

Если в результате деления целого числа a на целое число b получается число c, то этот факт удобно записывать в виде равенства a:b=c. Выражение вида a:b также называют частным, как и значение этого выражения.

Смысл деления целых чисел

Мы знаем о существовании связи между умножением и делением натуральных чисел. Из этой связи мы заключили, что деление – это нахождение неизвестного множителя, когда известен второй множитель и произведение. Делению целых чисел придадим этот же смысл. То есть, деление целых чисел – это нахождение по данному произведению и одному из целых множителей другого целого множителя.

Исходя из смысла деления целых чисел, мы можем сказать, что если произведение двух целых чисел a и b равно c, то частное от деления c на a равно b, и частное от деления c на b равно a. Приведем пример. Допустим нам известно, что произведение двух целых чисел 5 и −7 равно −35, тогда мы можем сказать, что частное (−35):5 равно −7, а частное (−35):(−7) равно 5.

Отметим, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом (если a делится на b без остатка).

Правила деления целых чисел

Смысл деления целых чисел, указанный в предыдущем пункте, позволяет утверждать, что один из двух множителей является частным от деления их произведения на другой множитель. Но он не дает способа нахождения неизвестного множителя по известному множителю и произведению. Например, равенство 6·(−7)=−42 позволяет нам сказать, что частные (−42):6 и (−42):(−7) равны соответственно −7 и 6. Однако если нам известно, что произведение двух множителей равно 45 и один из множителей равен −5, то смысл деления целых чисел нам не дает прямого ответа на вопрос, чему равен другой множитель.

Эти рассуждения приводят нас к следующему выводу: нам нужны правила, позволяющие выполнять деление одного целого числа на другое. Сейчас мы их и получим. Эти правила позволят нам свести деление целых чисел к делению натуральных чисел.

1) Деление целых положительных чисел

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел проводится по всем правилам деления натуральных чисел. Здесь больше нечего добавить, стоит лишь рассмотреть решение пары примеров, в которых проводится деление целых положительных чисел.

Пример 1

Выполните деление целого положительного числа 104 на целое положительное число 8.

Решение.

Делимое 104 в данном случае можно представить в виде суммы 80+24, после чего воспользоваться правилом деления суммы на данное число. Получаем 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.

Ответ:  104:8=13.

Пример 2

Вычислите частное 308 716:452.

Решение.

В этом случае частное от деления данных целых положительных чисел проще всего получить, выполнив деление в столбик.

Ответ: 308 716:452=683.

2)Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Сформулировать правило деления целых отрицательных чисел нам помогут следующие рассуждения.

Пусть нам нужно разделить целое отрицательное число a на целое отрицательное число b. Обозначим буквой c искомое частное от деления a на b, то есть, a:b=c. Выясним сначала, чему равна абсолютная величина числа c.

В силу смысла деления целых чисел должно быть справедливо равенство b·c=a. Тогда   . Свойства модуля числа позволяют нам записать равенство   , следовательно,  . Из полученного равенства следует, что  , то есть, абсолютная величина частного от деления равна частному от деления модулей делимого и делителя.

Осталось определить знак числа c. Другими словами выясним, положительным или отрицательным целым числом является результат деления целых отрицательных чисел.

По смыслу деления целых чисел справедливо равенство b·c=a. Тогда из правил умножения целых чисел следует, что число c должно быть положительным. В противном случае b·c будет являться произведением целых отрицательных чисел, которое по правилу умножения будет равно произведению модулей множителей, следовательно, будет положительным числом, а у нас число a – целое отрицательное. Таким образом, частное c от деления целых отрицательных целых чисел есть целое положительное число.

Теперь объединим сделанные выводы в правило деления целых отрицательных чисел. Чтобы разделить целое отрицательное число на целое отрицательное число, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя. То есть, если a и b – целые отрицательные числа, то   .

Рассмотрим применение правила деления целых отрицательных чисел при решении примеров.

Пример 3.

Разделите целое отрицательное число −92 на целое отрицательное число −4.

Решение.

По правилу деления целых отрицательных чисел искомый результат равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя. Получаем  .

Ответ:  (−92):(−4)=23.

Пример 4.

Вычислите частное (−512):(−32).

Решение.

Нам нужно выполнить деление целых отрицательных чисел, воспользуемся соответствующим правилом. Модуль делимого равен 512, модуль делителя равен 32. Осталось разделить 512 на 32. Выполним деление столбиком:
 

Ответ: (−512):(−32)=16.

3) Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Получим правило деления целых чисел с разными знаками.

Пусть мы делим целое число a на целое число b (знаки чисел a и b различны, то есть, если a – целое положительное число, то b – отрицательное, а если a – отрицательное, то b – положительное число) и в результате получаем число c.

В предыдущем пункте мы выяснили, что модуль частного равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя, то есть,   . Теперь мы можем вычислить абсолютную величину частного от деления целых чисел с разными знаками. Осталось выяснить знак числа c.

Смысл деления целых чисел нам дает равенство b·c=a. Возможны два варианта: либо a – положительное целое число, b – отрицательное; либо a – отрицательное целое число, b – положительное. В любом из этих случаев, в силу правил умножения целых чисел, число c должно быть отрицательным. Действительно, по правилам умножения целых чисел, если и b и c отрицательные целые числа, то их произведение будет положительным числом, а если b положительное, c – отрицательное, то их произведение есть отрицательное число.

Теперь мы можем сформулировать правило деления целых чисел с разными знаками. Чтобы разделить целые числа с разными знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус. То есть, если a и b – целые числа с разными знаками, то  . 

Разберем решения примеров, в которых применяется правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5.

Разделите целое положительное число 56 на целое отрицательное число −4.

Решение.

Будем действовать согласно правилу деления целых чисел с разными знаками. Модуль делимого равен 56, модуль делителя равен 4. Вычислим частное от деления модуля делимого на модуль делителя: 56:4=14. Перед полученным числом осталось поставить знак минус, имеем −14.

Таким образом, при делении целых чисел с разными знаками 56 и −4 мы получили число −14.

Ответ: 56:(−4)=−14.

Пример 6.

Выполните деление целого числа −1 625 на 25.

Решение.

Нам нужно провести деление целых чисел с разными знаками. Воспользуемся полученным правилом деления:   (1 625 можно разделить на 25 в столбик, или представить 1 625 в виде суммы 1 500+125 и воспользоваться правилом деления суммы на данное число).

Ответ: (−1 625):25=−65.

4) Деление нуля на целое число

Отдельно нужно остановиться на делении нуля на целое число, отличное от нуля. В этих случаях правило деления таково: частное от деления нуля на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. То есть, 0:b=0 для любого целого и отличного от нуля числа b.

Приведем пояснения правила деления нуля на целое число. Предположим, что в результате деления нуля на целое число b (b не равно нулю) получается число c. Тогда по смыслу деления целых чисел должно быть справедливо равенство b·c=0. Мы знаем, что произведение двух целых чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (об этом мы упоминали в разделе теории умножение целого числа на нуль). Так как b не равно нулю, значит, нулю должен быть равен множитель c. Следовательно, частное от деления нуля на целое число, отличное от нуля, равно нулю.

Приведем несколько примеров. Частное от деления 0 на целое отрицательное число −908 равно 0, частное 0:4 также равно нулю.

5) На нуль делить нельзя

Деление целого числа на нуль не определяется. Другими словами, на нуль делить нельзя.

Почему же так? Давайте предположим, что при делении целого числа a на нуль получается целое число c. Тогда по смыслу деления целых чисел справедливо равенство c·0=a. Из правила умножения целого числа на нуль следует, что c·0=0, каким бы не было число c. Сопоставляя два полученных равенства, делаем вывод, что если делимое a отлично от нуля, то равенство c·0=a будет неверным, что свидетельствует о том, что на нуль нельзя делить число, отличное от нуля.

А можно ли делить нуль на нуль? Давайте предположим, что при делении нуля на нуль получается целое число c, тогда в силу смысла деления целых чисел должно быть верно равенство c·0=0. Это равенство действительно верно, но оно верно не только для какого-то конкретного целого числа c, но и вообще для любого числа c. Иными словами, результатом деления нуля на нуль можно принять любое целое число. Так вот чтобы избежать этой многозначности, решили не рассматривать деление на нуль.

Итак, делить на нуль нельзя.

Проверка результата деления целых чисел

Проверка результата деления целых чисел осуществляется при помощи умножения. Чтобы проверить, правильно ли было проведено деление целых чисел, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получится число, равное делимому, то результат деления правильный.

Рассмотрим решение примера, в котором выполняется проверка результата деления целых чисел.

Пример 1.

При делении целого положительного числа 72 на целое отрицательное число −9 было получено число −7. Правильно ли было проведено деление?

Решение.

Выполним проверку результата деления данных целых чисел. Для этого полученное частное 7 умножим на делитель −9, получаем (−7)·(−9)=63. Так как при проверке получилось число, отличное от делимого 72, то где-то при делении была допущена ошибка.

Ответ: проверка показала, что деление целых чисел было выполнено неправильно.

1.2. Деление с остатком

Общее представление о делении целых чисел с остатком

Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел.

Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.

Мы будем говорить о делении с остатком произвольного целого числа a на целое число b, которое отлично от нуля. Для b=0 деление с остатком не определяют, также как не определяют деление целого числа на нуль без остатка.

По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d. Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b, а целое число c называется неполным частным (или просто частным, если остаток равен нулю).

Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число, и его величина не превосходит модуля числа b, то есть,  .

Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b, то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d).

Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.

Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.  

Так как целые положительные числа являются натуральными числами, то смысл деления с остатком целых положительных чисел должен полностью совпадать со смыслом деления натуральных чисел с остатком.

Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг. Представим такую ситуацию. Долг, который составляет    предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1).

Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.  

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a, делитель b, неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d. Для целых чисел a, b, c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком.

Теорема.

Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r, где q и r – некоторые целые числа, причем  .

Доказательство.

Сначала докажем возможность представления a=b·q+r.

Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q, что a=b·q. В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0.

Теперь будем считать, что b – целое положительное число. Выберем целое число q таким образом, чтобы произведение b·q не превышало числа a, а произведение b·(q+1) было уже больше, чем a. То есть, возьмем q таким, чтобы выполнялись неравенства b·q

Осталось доказать возможность представления a=b·q+r для отрицательных b.

Так как модуль числа b в этом случае является положительным числом, то для    имеет место представление  , где q1 – некоторое целое число, а r – целое число, удовлетворяющее условиям  . Тогда, приняв q=−q1, получаем нужное нам представление a=b·q+r для отрицательных b.

Переходим к доказательству единственности.

Предположим, что помимо представления a=b·q+r, q и r – целые числа и   , существует еще одно представление a=b·q1+r1, где q1 и r1 – некоторые целые числа, причем q1≠q и  .

После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q1)+r−r1, которое равносильно равенству r−r1=b·(q1−q). Тогда должно быть справедливо и равенство вида   , а в силу свойств модуля числа - и равенство   .

Из условий   и   можно сделать вывод, что  . Так как q и q1 – целые и q≠q1, то  , откуда заключаем, что   . Из полученных неравенств   и   следует, что равенство вида   невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a, кроме a=b·q+r.  

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a, если известны делитель b, неполное частное c и остаток d. Рассмотрим пример.

Пример 1.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12?

Решение.

Нам требуется вычислить делимое a, когда известен делитель b=−21, неполное частное c=5 и остаток d=12. Обратившись к равенству a=b·c+d, получаем a=(−21)·5+12. Соблюдая порядок выполнения действий, сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по правилу умножения целых чисел с разными знаками, после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками: (−21)·5+12=−105+12=−93.

Ответ: −93.

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c, c=(a−d):b и d=a−b·c. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Пример 2.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3, если известно, что неполное частное равно −7.

Решение.

Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c. Из условия имеем все необходимые данные a=−19, b=3, c=−7. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=−19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21) мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).

Ответ: 2.

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел, так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.

С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком, этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.

Пример1.

Выполните деление с остатком числа 14 671 на 54.

Решение.

Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:
 

Неполное частное получилось равным 271, а остаток равен 37.

Ответ: 14 671:54=271 (ост. 37).

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число.

Неполное частное от деления целого положительного числа a на целое отрицательное число b представляет собой число, противоположное неполному частному от деления модуля числа a на модуль числа b, а остаток от деления a на b равен остатку от деления    на   .

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом.

Переделаем правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное:

• Находим модули делимого и делителя.
• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если при этом остаток получился равным нулю, то исходные числа делятся без остатка, и по правилу деления целых чисел с противоположными знаками искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
• Записываем число, противоположное полученному неполному частному, и остаток. Эти числа являются соответственно искомым частным и остатком от деления исходного целого положительного числа на целое отрицательное.

Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Пример 1.

Выполните деление с остатком целого положительного числа 17 на целое отрицательное число −5.

Решение.

Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Модуль делимого равен 17, модуль делителя равен 5.

Разделив 17 на 5, получаем неполное частное 3 и остаток 2.

Число, противоположное числу 3, - это −3. Таким образом, искомое неполное частное от деления 17 на −5 равно −3, а остаток равен 2.

Ответ: 17:(−5)=−3 (ост. 2).

Пример 2.

Разделите 45 на −15.

Решение.

Модули делимого и делителя равны 45 и 15 соответственно. Число 45 делится на 15 без остатка, частное при этом равно 3. Следовательно, целое положительное число 45 делится на целое отрицательное число −15 без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3, то есть, −3. Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем  .

Ответ: 45:(−15)=−3.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное.

Чтобы получить неполное частное c от деления целого отрицательного числа a на целое положительное число b нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d вычислить по формуле d=a−b·c.

Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом.

Из правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a на целое положительное b:

• Находим модули делимого и делителя.
• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
• Записываем число, противоположное полученному неполному частному и вычитаем из него число 1. Вычисленное число является искомым неполным частным c от деления исходного целого отрицательного числа на целое положительное.
• Вычисляем остаток по формуле d=a−b·c.

Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком.

Пример 1.

Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17 на целое положительное число 5.

Решение.

Модуль делимого −17 равен 17, а модуль делителя 5 равен 5.

Разделив 17 на 5, получаем неполное частное 3 и остаток 2.

Число, противоположное 3, есть −3. Вычитаем из −3 единицу: −3−1=−4. Итак, искомое неполное частное равно −4.

Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17, b=5, c=−4, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=−17−(−20)=−17+20=3.

Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17 на целое положительное число 5 равно −4, а остаток равен 3.

Ответ: (−17):5=−4 (ост. 3).

Пример 2.

Разделите целое отрицательное число −1 404 на целое положительное число 26.

Решение.

Модуль делимого равен 1 404, модуль делителя равен 26.

Разделим 1 404 на 26 столбиком: 

Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54, то есть, −54.

Ответ: (−1 404):26=−54.

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Чтобы получить неполное частное c от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное число b, нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d вычислить по формуле d=a−b·c.

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом.

Перепишем правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел:

• Находим модули делимого и делителя.
• Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно частному от деления модуля делимого на модуль делителя.)
• К полученному неполному частному прибавляем единицу, это число есть искомое неполное частное от деления исходных целых отрицательных чисел.
• Вычисляем остаток по формуле d=a−b·c.

Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера.

Пример 1.

Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17 на целое отрицательное число −5.

Решение.

Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.

Модуль делимого равен 17, модуль делителя равен 5.

Деление 17 на 5 дает неполное частное 3 и остаток 2.

К неполному частному 3 прибавляем единицу: 3+1=4. Следовательно, искомое неполное частное от деления −17 на −5 равно 4.

Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17, b=−5, c=4, тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4=−17−(−20)=−17+20=3.

Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17 на целое отрицательное число −5 равно 4, а остаток равен 3.

Ответ: (−17):(−5)=4 (ост. 3).

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия   . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d. Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка.

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком.

Пример 1.

При делении числа −521 на −12 было получено неполное частное 44 и остаток 7, выполните проверку результата.

Решение.

Во-первых, остаток 7 является положительным числом, и его величина меньше, чем модуль делителя (модуль делителя −12 равен 12). Таким образом, можно переходить ко второму этапу проверки.

В этом примере a=−521, b=−12, c=44, d=7. Вычислим значение выражения b·c+d, имеем b·c+d=−12·44+7=−528+7=−521. Следовательно, равенство a=b·c+d верное.

Результаты деления прошли проверку, то есть, деление с остатком было выполнено верно.

Пример 2.

Правильно ли было выполнено деление с остатком, если был получен следующий результат (−17):5=−3 (ост. −2)?

Решение.

Первый этап проверки позволяет нам заключить, что деление целых чисел с остатком проведено неправильно, так как получился остаток −2, а остаток не может быть отрицательным числом.

(Отметим, что условие второго этапа проверки оказывается выполненным, но этого не достаточно).

Ответ: нет.

Пример 3.

Целое отрицательное число −19 было разделено на целое отрицательное число −3, при этом было получено неполное частное 7 и остаток 1. Выполните проверку результата.

Решение.

Остаток 1 – положительное число, при этом его величина меньше, чем модуль делителя (модуль делителя равен 3). То есть, первый этап проверки пройден успешно. Переходим ко второму этапу.

Вычисляем значение выражения b·c+d при b=−3, c=7, d=1. Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Таким образом, равенство a=b·c+d – неверное (в нашем примере a=−19).

Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.

2. Сравнения по модулю

Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m:

   a≡b (mod m).

Два целых числа a и b сравнимы по модулю натурального числа m, если при делении на m они дают одинаковые остатки.

Свойства сравнений по модулю m

Сравнимость с нулем.

   A сравнимо с 0 по модулю m, тогда и только  тогда, когда a делится на m*a≡0(mod m) ↔a=nm.

Рефлексивность.

   a≡a(mod m) для любого целого a.

Транзитивность.

   Для любых целых a,b,c верно:a≡b(mod m), b≡c(mod m) →a≡c(mod m).

Симметричность.

   Для любых целых a и b верно: a≡b(mod m) ↔b≡a(mod m).

Операции с сравнениями по модулю m

К обеим частям сравнения можно прибавлять и вычитать одно и то же число.

   a≡b(mod m), c≡d(mod m)→

   a-c≡b-d(mod m), a+c≡b+d(mod m)

Если a≡b(mod m) и k — произвольное число,то ka≡kb(mod m)

Задачи, решаемые с помощью сравнения по модулю m

Задача 1 (транспортная).

Транспортная организация, имеющая машины грузоподъемностью 3,5 тонны и 4,5 тонны, перевозит 53 тонны груза. Сколько машин каждого типа должен выделить диспетчер одним рейсом, при условии, что все машины загружены полностью.

3,5x+4,5y=53 |·2

7x+9y=106,   т.к. (7;9)=1, то существует решение

7x≡106 (mod 9);    

7x≡7 (mod 9);    

x0 = 1

7+9y=106;    

9y=99;        

y0 = 11

t=0; (1;11)

t=1; (10;4)

t =2 нельзя, т.к. y<0

Ответ: (1;11) или (10;4)

Задача 2.

Сколько билетов стоимостью 30 р. и 50р. можно купить на 1490р.?

Решение.

30x+50y=1490

3x+5y=149

3x≡149 (mod5)

3x≡4 (mod5)

x0=3

9+5y=149

5y=140

y0=28

t=0; (3; 28)

t=1; (8; 25)

t=2; (13; 22)

t=3; (18; 19)

t=4; (23; 16)

t=5; (28; 13)

t=6; (33; 10)

t=7; (38; 7)

t=8; (43; 4)

t=9; (48; 1)

Заключение

Работая над темой, я увидел практическое применение знаний теории делимости целых чисел и сравнения чисел по модулю. Эти знания широко применяются в такой сфере деятельности как логистика, что очень востребовано на крупных предприятиях. Приведенные мной задачи позволяют сделать вывод, что с помощью сравнения по модулю m можно давать более короткие решения задач; с помощью сравнения по модулю m можно кратко излагать теоретические факты и их доказательства; решать практические задачи, в которых требуется найти целочисленные решения (диофантовы уравнения).

Список использованной литературы и интернет ресурсов

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. М: «Мнемозина», 2013г.

2. Никольский С.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: М: «Просвещение», 2012г.

 3. Сайт www.cleverstudents.ru