Задача С.В.Ковалевской о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки и ее прикладное значение

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №15

С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ

Задача С.В.Ковалевской о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки и ее прикладное значение

Исследовательская работа

Выполнила:

Ученица 10 «Б» класса

Коробова Анастасия

Руководитель:

Демидова Наталья Вячеславовна

г. Гусь-Хрустальный,

2015

Содержание:

Введение……………………………………………………………………......3

Глава 1.

Биография С.В.Ковалевской……………………………………………….....4

Глава 2.

1. Принцип вращения волчка…………………………………………….7

2. Применение принципов устойчивого вращения тел вокруг

 неподвижной точки……………………………………………………10

3. Волчок и космос……………………………………………………….16

Глава 3.

Заключение…………………………………………………………………....17

Список литературы…………………………………………………………...18

Приложение…………………………………………………………………...19

Введение

15 января 2015 года – 165 лет со дня рождения Софьи Васильевны Ковалевской. В истории науки немного найдется женских имен, которые были бы известны всему миру, о которых знал, хотя бы понаслышке каждый образованный человек. К числу таких имен, пользующихся мировой известностью, принадлежит имя С.В. Ковалевской - замечательной русской женщины.   Она известна многими своими открытиями, но меня заинтересовала задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. В особенностях  устойчивости и областях применения этой «любопытной» игрушки  я и попытаюсь разобраться.

Цель:

Рассмотреть задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки и найти области ее применения.

Задачи:

1. Познакомиться  с биографией С.В.Ковалевской
2. Изучить принцип вращения тела вокруг неподвижной точки и узнать, почему волчок устойчив?
3. Выяснить,как волчок  будет вращаться в космосе.

"Я получила в наследство страсть к науке от предка, венгерского короля Матвея Корвина; любовь к математике, музыке, поэзии — от деда по матери, астронома Шуберта; личную свободу — от Польши; от цыганки-прабабки — любовь к бродяжничеству и неумение подчиняться принятым обычаям; остальное — от России".

С.В.Ковалевская

Глава 1.

Биография С.В.Ковалевской

Среди математиков, занимавшихся механикой, первой не только в России, но и в Европе женщиной-математиком была С. В. Ковалевская (1850—1891). Математику она полюбила еще в детстве. В загородном доме Корвин-Круковских ее комната, на которую не хватило обоев, была оклеена листами из математической книги, в своих воспоминаниях C. В. Ковалевская писала о том, что листы эти, исписанные странными, непонятными формулами, скоро обратили на себя ее внимание. В детстве она проводила целые часы перед этой таинственной стеной, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны были следовать друг за другом. Она поражала всех своим умом и умением быстро вникать в самые сложные задачи. За всю свою жизнь ей вручили много премий за открытия, совершенные в области математики.

Наиболее важные исследования относятся к теории вращения твёрдого тела. Ковалевская открыла третий классический случай разрешимости задачи о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Этим продвинула вперёд решение задачи, начатое Леонардом Эйлером и Ж. Л. Лагранжем.

Рис. 1. Волчок, законы вращения которого открыл в XVIII веке член Российской Академии наук Леонард Эйлер.
Решил задачу вращения твердого тела, центр тяжести которого находится выше точки опоры.

Рис. 2. Волчок, законы вращения которого открыл в конце XVIII и начале XIX века французский ученый Жозеф Луи Лагранж.

Удивительные свойства волчка издавна привлекали внимание многих ученых. Еще в XVIII веке делались попытки практически использовать эти свойства.В механике волчком называют твердое тело, которое вращается около какой-то оси, имеющей неподвижную точку.Математическое решение задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки представляет большую трудность и сложность. Полностью эта задача не решена и до настоящего времени.

Решить ее пытались многие ученые.Вначале решение того или иного частного случая задачи, казалось бы, шло благополучно, но в итоге ничего не получалось. По этому поводу замечательная русская женщина, крупнейший ученый, Софья Васильевна Ковалевская говорила, что задача о вращении твердого тела может быть названа «математической русалкой».

Труды Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа были положены в основу теории «волчка». С тех пор многие ученые во всем мире пытались продолжить решение этой задачи. Однако на протяжении почти ста лет их попытки терпели неудачу. «Математическая русалка» не давалась ученым. Французская Академия наук установила специальную премию Бордена в размере трех тысяч франков лишь за усовершенствование решения этой задачи в «каком-либо существенномпункте».

В 1888 г. одна из пятнадцати работ, поступивших на третий конкурс, вызвала особенный восторг ученых, членов конкурсной комиссии. Эта работа значилась под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что обязан, будь, чему быть».

После этого, вскрыв второй конверт с девизом, комиссия узнала, что автором работы, получившей такое блестящее заключение, является Софья Васильевна Ковалевская.

Известный французский математик Дюбуа-Реймон, выступая на торжественном вручении премии, сказал:«Софья Ковалевская не только превзошла немногих предшественниц в математическом образовании, но заняла между современными математиками одно из самых видных мест. Она получила премию за решение вопроса о вращении твердого тела под влиянием действующих на него сил. Решение третьей задачи, самой сложной, принадлежит Ковалевской. Ее решением исчерпываются средства современного анализа».

Сложность задачи, решенной Софьей Ковалевской, нетрудно понять, если учесть, что у исследованного ею «волчка» центр тяжести находится где-то в стороне от точки опоры (рис. 9), а следовательно, вне оси вращения. Движение такого волчка вокруг оси неравномерное, прерывистое.

Рис. 3. Самый сложный случай быстро вращающегося волчка, законы движения которого открыла Софья Васильевна Ковалевская.

Глубина и широта задачи, решенной Софьей Васильевной, настолько грандиозны, что обстоятельному исследованию этой ее работы с физической и математической сторон и детальному анализу возможных случаев посвятил всю жизнь один из учеников Н. Е. Жуковского — Г. Г. Аппельрот.

С. В. Ковалевская опубликовала еще три работы по исследованию вращения твердого тела. За одно из этих дополнительных исследовании ей была присуждена в 1889 г. премия Шведской Академии наук.Значение избрания С. В. Ковалевской трудно переоценить. Ведь в то время женщин не допускали даже в высшие учебные заведения.

Прикладное значение классических работ Л. Эйлера, Ж. Л. Лагранжа и С. В. Ковалевской огромно. Они облегчили проведение ряда исследований по практическому использованию свойств волчка в астрономии для изучения фигур планет и во многих других отраслях науки и техники для самых различных целей.

«Говори, что знаешь; делай, что обязан; и пусть будет, что будет»

С.В.Ковалевская

Глава 2.

1. Принцип вращения волчка

Внимательно наблюдая за «поведением» предметов, находящихся вокруг нас, мы обнаружим ряд любопытных явлений.Например, соскочивший с быстро вращающихся шкивов приводной ремень некоторое время катится, словно твердое колесо. Точно так же ведет себя металлическая цепь.

Предметы, свободно подвешенные на стержнях, будут висеть в привычном для нас положении. Но стоит привести стержни в быстрое вращение, как эти предметы сначала начнут покачиваться, а затем опять займут  устойчивое положение, но не совсем такое, в каком они были раньше (рис. 1).

Конькобежцам, шоферам, велосипедистам хорошо известно, как трудно внезапно остановиться или резко изменить направление своего движения.Все тела стремятся сохранять направление движения и величину скорости. Это явление называется инерцией. О существовании этого явления впервые говорил еще Галилей, но открыл закон инерции и дал ему научное обоснование Исаак Ньютон.

Закону инерции, разумеется, подчинены и тела вращения, в том числе быстро вращающийся волчок. С одной стороны, сила тяжести стремится свалить волчок, с другой стороны, сила инерции стремится сохранить первоначальный характер движения, противодействуя, таким образом, падению волчка. Чем быстрее вращается волчок, тем больше сила инерции, тем труднее ее преодолеть.

Проследим, например, за движением точек А и В на диске волчка в тот момент, когда по его оси нанесен удар в направлении, указанном стрелкой (рис. 2). Под воздействием удара волчок наклонится влево, точка А на диске станет при этом двигаться вниз, а точка В— вверх. Однако по закону инерции обе точки, стремясь сохранить прежнее направление движения, окажут сильное сопротивление действию удара. В результате этого возникает так называемая прецессионная сила, увлекающая волчок в сторону от направления действующей силы.

Рис. 2. Опыт с быстро вращающимся волчком.

Внимательно наблюдая за проводимым опытом, мы заметим, что волчок, вращающийся против часовой стрелки, если смотреть сверху, отскакивает всегда под прямым углом влево от направления действующей на него силы (рис. 3).

Проделав подобный же опыт с волчком, вращающимся по часовой стрелке, обнаружим, что он отскакивает вправо от направления толчка также под прямым углом.

Проделав одну за другой несколько попыток свалить быстро вращающийся волчок, мы обнаружим, что при каждом толчке усиливается покачивание его оси. Наконец, оно окажется значительным. Теперь нетрудно заметить, что ось волчка описывает в пространстве определенную фигуру (рис. 4). Это так называемая прецессия волчка.

Стремление волчка устойчиво сохранять свое положение можно отчасти объяснить законом инерции. Но легкое покачивание оси объясняется идругим важным законом механики..

Рис. 4. Прецессия (кручение) волчка

Проводя подобные опыты, мы в любом обнаружим, что всякая сила, приложенная к движущемуся телу, вызывает изменение его скорости -здесь действует второй закон Ньютона.

Движение быстро вращающегося волчка, разумеется, также подчиняется второму закону Ньютона. Именно поэтому ось волчка при любом воздействии на него посторонней силы всегда изменяет свое положение. Но такое изменение вследствие огромной разницы между силой, развивающейся в результате вращения, и «валящей» силой не заметно.

Таковы основные причины удивительного «поведения» волчка

2. Применение принципов устойчивого вращения тел вокруг неподвижной точки

Пытливо всматриваясь в происходящее вокруг нас, не трудно обнаружить много удивительных явлений.Все знают, например, что устоять на кончике пальцев одной ноги невозможно. Но одна из фигур балетного танца, так называемое фуэте, казалось бы, опровергает это (рис. 1).

Рис. 1. Балерина, исполняющая фуэте.

Секрет раскрывается очень просто. В фуэте балерина быстро вращается. Опытные танцоры прекрасно знают, что такую фигуру тем легче выполнить, чем быстрее вращение.

Жонглеры нередко исполняют довольно оригинальный номер с ножами. Подбрасываемые один за другим, ножи сохраняют все время строго определенное положение в пространстве (рис. 2)

Рис. 2. Жонглирование быстро вращающимися ножами.

Это легко удастся, если она быстро вращается. Опытный жонглер манипулирует сразу несколькими тарелками, вращающимися на стержнях (рис. 3).

Рис. 3. Жонглер, вращающий тарелки

Бумеранг — это один из видов метательного оружия древних народов Индии, Египта, Австралии. Это чрезвычайно любопытное оружие. Бумеранг летит к цели, описывая причудливую траекторию. Не попавший в цель и не встретивший препятствия, бумеранг неизменно возвращается к бросившему его охотнику.

Рис.4. Бумеранг из картона

Плоскости бумеранга или поля шляпы должны быть изогнуты подобно винту самолета. Кроме того, эти плоскости должны совпадать с направлением полета.

Летя в направлении броска, быстро вращающаяся шляпа и бумеранг как бы ввинчиваются в воздух. Сила сопротивления воздуха стремится поставить их под прямым углом к направлению полета. Но сила броска значительно больше этого сопротивления. Вот почему шляпа или бумеранг движется по восходящей линии, «с набором высоты».

Когда энергия, сообщенная при броске, иссякает, бумеранг, продолжая вращаться, начинает под действием силы тяжести падать.Но и в этом случае быстро вращающийся бумеранг или шляпа из-за сопротивления воздуха не падает вертикально, а, скользя по воздуху, возвращается обратно.

Тела яйцеобразной формы подобны детской игрушке — волчку.

Неподвижный волчок также лишен устойчивости. Сколько бы мы ни пытались поставить его на заостренный конец, он будет безжизненно валиться на бок.Совершенно иное происходит с быстро вращающимся волчком. Опираясь о поверхность своим острием и быстро вращаясь вокруг оси, волчок стоит будто «вкопанный» (рис. 5).Попытаемся свалить вращающийся волчок, толкнув его пальцем. Как это ни странно, он не упадет, а лишь отскочит в сторону, продолжая быстро вращаться.

Подбросив невращающийся волчок, мы увидим, что он беспорядочно переворачивается в воздухе. Приведем затем волчок в быстрое вращение на дощечке и подбросим его. Теперь он устойчиво сохраняет свое положение. Упав обратно, он по-прежнему продолжает вращаться.

При этом наклон поверхности не изменит положения его оси. Волчок будет перемещаться под уклон, сохраняя свое вертикальное положение (рис. 6).

Свою знаменитую задачу о том, как поставить яйцо, Колумб решил чересчур просто: надломил его скорлупу (рис.7). Такое решение, в сущности, неверно: надломив скорлупу яйца, Колумб изменил его форму и, значит, поставил не яйцо, а другое тело; ведь вся суть задачи в форме яйца: изменяя форму, мы заменяем яйцо другим телом. Колумб дал решение не для того тела, для которого оно искалось.

Рис.7.

А между тем можно решить задачу великого мореплавателя, нисколько не изменяя формы яйца, если воспользоваться свойством волчка. Для этого достаточно только привести яйцо во вращательное движение вокруг его длинной оси, - и оно будет, не опрокидываясь, стоять некоторое время на тупом или даже на остром конце. Яйцу придают вращательное движение пальцами. Убрав руки, вы увидите, что яйцо продолжает еще некоторое время вращаться стоймя: задача решена.

Для опыта необходимо брать непременно вареные яйца. Это ограничение не противоречит условию задачи: предложив ее, Колумб взял яйцо тут же со стола, а к столу, надо полагать, поданы были не сырые яйца. Вам едва ли удастся заставить стоймя вращаться яйцо сырое, потому что внутренняя жидкая масса является в данном случае тормозом. В этом, между прочим, состоит простой способ отличать сырые яйца от сваренных вкрутую - прием, известный многим хозяйкам.

Вращающийся волчок замечателен прежде всего устойчивостью, то есть способностью неизменно сохранять вертикальное положение.

        Также, где еще можно применять   особенные свойства волчка это для движения по однорельсовой дороге (рис.1) ипри борьбе с качкой (рис.2), основанные на стабилизации устройства с помощью гироскопа. Это устройство, способное реагировать на изменение угловориентации тела, на котором оно установлено, относительно инерциальной системы отсчета. Простейший пример гироскопа — юла (волчок).

Рис.1. Схема сохранения устойчивости вагона однорельсовой железной дороги.

1. Рама;
2. Прецессионная сила, восстанавливающая равновесие

• Под влиянием гироскопического эффекта, возникающего на концах цапф у стен вагона, возникают усилия, стремящиеся поставить вагон вертикально. Они, противодействуя силе тяжести, восстанавливают равновесие вагона.

Рис.2. Схема действия успокоителя качки

• В момент удара волны о борт судна, например, слева оно кренится вправо (рис. 2, Б).Из опыта с велосипедным колесом нам известно, что под влиянием подобного наклона ось колеса будет стремиться перемещаться под прямым углом к направлению действующей на него силы. Таким образом, верхний конец оси ротора гироскопа-успокоителя в рассматриваемом случае вместе с рамой начнет уходить к носу судна, а нижний — к корме.
• Под влиянием затормаживания перемещающейся рамы в цапфах возникает добавочное сопротивление. Поэтому на корпус судна действуют уси
  лия, направленные б сторону, противоположную наклону корабля под влиянием волны (рис. 2, В).

Таким образом, открыв замечательные свойства волчка, этой любопытной «игрушки», человекподчинил себе одно из важнейших явлений природы. Волчок помог улучшить работу многих механизмов, создать большое количество ценнейших приборов и автоматов, обеспечить возможность уверенно совершать полеты на самолете в такую погоду, при которой даже птицы не решаются покинуть свое гнездо.

Будущее использование свойств гироскопа в технике не менее богато, чем прошлое. Устойчивость искусственных спутников Земли, космических станций и межпланетных кораблей, полеты в космическом пространстве невозможны без использования замечательных свойств гироскопа. На использовании их будут созданы многие приборы, механизмы и автоматы, облегчающие труд и повышающие его производительность.

3. Волчок и космос

Недалек день, когда межпланетные корабли устремятся на штурм вселенной. О полетах на Луну, Марс, Венеру и другие планеты сейчас не только мечтают. Это дело ближайших лет. Немало самых различных машин, механизмов и приборов потребуется создать для осуществления этой многовековой мечты человечества.Среди них, безусловно, займет почетное место и гироскоп. Его можно будет использовать, например, чтобы определять положение межпланетного корабля.

Мы уже знаем замечательную способность гироскопа сохранять направление своей оси неизменным. Установив в момент отлета ось по направлению Солнца, космонавты оставят гироскоп в таком положении. Теперь, чтобы определить курс межпланетного корабля, потребуется лишь измерить угол между направлением оси гироскопа и направлением на Солнце в момент наблюдения.

 А будут ли волчки вращаться в космосе?

Одной особенностью взаимодействия вращающихся тел является его зависимость от взаимного расположения осей вращения этих тел. Наглядным свидетельством этого явления послужили эксперименты американских астронавтов в космосе с волчками, показанные как-то по телевидению. Запущенный вначале одиночный волчок четко держал в невесомости ориентацию оси вращения, несмотря на все попытки космонавтов изменить её. Эта устойчивость сохранилась и тогда, когда к первому вращающемуся волчку приставили второй вращающийся волчок с осью вращения, параллельной первому. Однако когда 3 ось вращения второго волчка ставилась под углом к оси вращения первого, волчки начинали вращаться относительно друг друга, изменяя взаимную ориентацию и образуя при этом причудливую колебательно вращающуюся систему. По мере расхождения осей обоих волчков это вращение ускорялось, и наступал момент, когда система двух волчков «взрывалась», и они с большой скоростью разлетались в разные стороны.

Говоря о космосе, можно вспомнить и о вращении нашей планеты. Земля крутится в космосе по инерции. Если закрутить волчок - он тоже долго будет крутиться, и остановится из-за трения. А Земля это тоже такой волчок, который когда-то закрутился, а из-за отсутствия сил трения продолжает крутиться.

«Я понимаю, что вас так удивляет, что я могу заниматься зараз и литературой и математикой. Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают ее с арифметикою и считают ее такой сухой и бесплодной. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен что-то сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел это одно и то же. Мне кажется, что поэт должен видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. И это же должен математик.»

С.В.Ковалевская

Глава 3.

Заключение

Принято считать, что женщинам лучше даются гуманитарные науки, а мужчинам точные. Это утверждение легко разбить, вспомнив великую женщину – математика – Софью Васильевну Ковалевскую.

Я рассмотрела задачу С.В.Ковалевской о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Вертится на полу игрушка — волчок. Ну, какая от него может быть польза? А оказывается, волчок управляет кораблями, самолётами, даже ракетами. Из книг, посвящённых волчку, можно составить целую библиотеку. И всё потому, что у этой игрушки есть одно замечательное свойство. Пока он вертится, ось его будет сохранять то положение, в котором она была, когда волчок раскрутили.

Помимо этого, я исследовала, как будет вести себя волчок в космосе. Оказывается, запущенный вначале волчок четко держал ориентацию оси вращения из-за наличияневесомости даже несмотря на попытки космонавтов изменить её. Эта устойчивость сохранилась и тогда, когда к первому вращающемуся волчку приставили второй. Таким образом, волчок в космосе вращается также как и на земле – по принципу, рассмотренному С.В. Ковалевской.

Гироскоп в самолете и автомобиле

Список литературы:

• https://ru.wikipedia.org/wiki/

• Ковалевская Софья Васильевна // Кварнер — Конгур. — М. : Советская энциклопедия, 1973. — (Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред.А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 12).

• http://www.hrono.ru/biograf/bio_k/kovaleska.php

• http://www.tvc.ru/news/show/id/59230

• http://www.imyanauki.ru/rus/scientists/1449/index.phtml

Приложение

Помимо математики С.В. Ковалевская увлекалась поэзией. У нее существует множество книг, стихотворений, поэм. Вот одно из них, по-настоящему, отражающее  ее жизнь.

ЕСЛИ ТЫ В ЖИЗНИ...

Если ты в жизни хотя на мгновенье

Истину в сердце твоём ощутил,

Если луч правды сквозь мрак и сомненье

Ярким сияньем твой путь озарил:

Что бы, в решенье своём неизменном,

Рок ни назначил тебе впереди,

Память об этом мгновенье священном

Вечно храни, как святыню, в груди.

Тучи сберутся громадой нестройной,

Небо покроется чёрною мглой —

С ясной решимостью, с верой спокойной

Бурю ты встреть и померься с грозой.

Лживые призраки, злые виденья

Сбить тебя будут пытаться с пути;

Против всех вражеских козней спасенье

В собственном сердце ты сможешь найти;

Если хранится в нём искра святая,

Ты всемогущ и всесилен, но знай,

Горе тебе, коль, врагам уступая,

Дашь ты похитить её невзначай!

Лучше бы было тебе не родиться,

Лучше бы истины вовсе не знать,

Нежели, зная, от ней отступиться,

Чем первенство за похлёбку продать.

Ведь грозные боги ревнивы и строги,

Их приговор ясен, решенье одно:

С того человека и взыщется много,

Кому было много талантов дано.

Ты знаешь в писанье суровое слово:

Прощенье замолит за всё человек;

Но только за грех против духа святого

Прощения нет и не будет вовек.