МАТЕМАТИКА И МУЗЫКА

Корягина Александра Константиновна

9а класс, ГБОУ «СОШ 274», г. Санкт-Петербург

Руководитель Голуб С.Ф., учитель математики и информатики

МАТЕМАТИКА И МУЗЫКА

Слушая  музыку... Здесь можно поставить точку и открыть странные ноты, сесть за клавиши или взять в руки струнный инструмент. Или... или воспользоваться другими музыкальными инструментами, проигрывателями и прочим. Можно открыть ноты, исполнить сольфеджио и вдруг остановится, метроном отсчитывает ритм, понять, что есть в музыке та же стройная гармония,  что и в, на первый взгляд, сухой и чопорной, математике.

Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства – музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Пифагор основал научную и эзотерическую закрытую школу, в которой преподавались различные математические дисциплины. Считалось, что сам Пифагор слышал «гармонию сфер» (лат. harmonia mundi) или «музыку сфер» (лат. musica mundana) то есть созвучие всего в мире, подобное музыкальному консонансу.

Одним из основных достижений пифагорейцев в математической теории музыки был разработанный ими способ деления октавы. Пифагорейцы обнаружили, что если поделить струну на две половины, то звук, издаваемый обеими частями, будет в некотором смысле таким же по тону, что и звук целой струны. Можно предположить, что к тому времени в музыке уже существовали представления о какого-либо рода октаве как о паре одинаковых звуков с разной высотой. Важность этого начального, основополагающего звуковысотного соотношения была осознана пифагорейцами и затем использована при построении музыкального ряда.

Учеными было сформулировано следующее эмпирически полученное правило: две струны звучат согласно, если их длины находятся в отношении целых чисел из составляющих треугольного числа 10, т. е. а отношениях 1/2, 2/3 или 3/4. Причем, чем меньше числа, тем благозвучнее получившийся интервал.

Существовали и противники музыкальной теории школы Пифагора. Одним из них был перипатетик Аристоксен из Тарента (4 в. до н. э), который, пройдя школу Пифагора, а позже и школу Аристотеля, стал автором трудов «Об элементах гармонии», «Об элементах ритма», «О музыке», «О тонах», «О хорах», а также различных трактатов о музыкальных инструментах.

Значительное влияние на средневековую теорию музыки оказал трактат римского философа и ученого Боэция «О музыке» (6 в. н. э.), где был приведен перечень основных достижений античного музыковедения. Господство церкви во всех сферах жизни общества, естественно, сказалось на музыкальном искусстве и серьезно повлияло на теоретиков музыки средневековья. Исследователи музыки позднего средневековья (Гукбальд, Гвидо д'Ареццо и др.) в основном разрабатывали практические правила многоголосного письма и усовершенствования нотной записи. Значительный вклад в развитие теории музыки внесли также среднеазиатские ученые (Абу Наср аль-Фараби, 10 в., Авиценна, 10–11 вв.), арабские, персидские и византийские теоретики

В то время из чисто слуховых соображений пришло осознание того, что для приемлемого исполнения произведений для органа и хора, необходим полный отказ от гармонических терций или их замена другими большими терциями. Это одна из причин, которая вместе с желанием композиторов использовать в своих сочинениях свободные модуляции, хроматизмы, а также с необходимостью транспонирования некоторых произведений для более удобного исполнения певцами, привела к экспериментам многих ученых в области искусственного создания идеального звукового строя.

Достоинства непифагоровых систем, в том числе и среднетоновой настройки, например, в лучшем звучании терций, убедили музыкантов, что компромиссный строй, подходящий для инструментов клавирного типа, возможен. Многие из них были увлечены идеями о построении новых универсальных музыкальных строев и создавали свои произведения, предвосхищая эти системы. Найти более удобный и созвучный музыкальный строй пытались не только музыканты, но и известные математики: Р. Декарт, Г. Лейбниц, И. Кеплер и Л. Эйлер.

В теории музыки существуют несколько жестко-связанных с математикой понятий:

1. Математическое описание построения музыкальной гаммы. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.  Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде. Музыкальный строй – математическое выражение системы звуковысотных соотношений – лада. Вся музыка записывается символами (нотами), как и математика. Даже обозначение звучания похоже на математические знаки «больше» или «меньше».
2. Ритм. Ритм – один из важнейших элементов музыки. А в музыке ритм – это чередование долгих и коротких, одинаковых и разных по длительности звуков.  
3. Параллели. В нотах или сборниках песен также встречаются параллельные линии. Если взглянем на любую страницу книги, на которой помещены ноты, и мы непременно увидим параллельные. Прежде всего это пять прямых, образующих нотный стан. Они параллельны.Чтобы точно запечатлеть мелодию в ее динамике, необходимо изобразить ее графически, наглядно, на каком-нибудь чертеже или рисунке, при взгляде на который каждый (по крайней мере специально обученный) человек мог бы ясно и однозначно воспроизвести записанную мелодию. Более высокие по своему звучанию ноты должны располагаться на графике выше, более низкие – ниже. Но музыканта интересует не просто то, что одна нота выше или ниже другой: ему требуется знать, на сколько одна выше или ниже другой. Измерять высоту нот и позволяют горизонтальные параллельные линейки. К XIV в.в. европейской музыке распространилась запись нот на пяти линейках. Параллельные линии можно наблюдать не только в нотах. Но и во внешней форме некоторых музыкальных инструментах: вспомним хотя бы о струнах арф или органных трубах. «Золотое сечение». Золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения. Небосвод Вселенной разделен тоже на 88 секторов, которые в свою очередь распределены между 12 уровнями - от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой. Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л.Сабанеевым. Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения. По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам

Музыка и математика образуют межу собой неразрывное единство. Эти два компонента взаимопроникают и тесно переплетаются, дополняя и обогащая наши представления о наиболее важных особенностях структуры математики и музыки.

Это открывает перед нами уникальную возможность постичь красоту математики и музыки, и ставит перед необходимостью искать параллели и сходства между ними.

Список литературы:

1.Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005

2. В.П. Ковалев “Математика в музыке”. Выступление на семинаре в Московском физико-техническом институте в секции математических основ жизнеустройства, 2007

3. Энциклопедический словарь юного музыканта Э68/сост. В.В. Медушевский, О.О. Очаковская. – М.: Педагогика, 2007. – 352с., ил.

4. Электронный ресурс: http://piano2005.hotbox.ru/Matematika.html