"Три неразрешимые задачи древности"
Презентация повествует о трех задачах, над которыми бились ученые древнего мира и их современное трактование.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 tri_nerazreshimye_zadachi_drevnosti_ito2g.ppsx | 868.85 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
В учебнике геометрии 7 класса меня заинтересовала заметка о неразрешимой задаче «о трисекции угла». Разделить угол пополам при помощи циркуля и линейки очень просто, а на три части даже самые великие математики разделить угол не смогли. А ведь кажется, что это так просто! Позже в интернете и книгах я нашёл еще несколько подобных задач, о которых я и хотел бы рассказать.
Три неразрешимые задачи древности. Они пришли из Древней Греции и на протяжении многих столетий занимали умы людей. Неоднократно пытались решить эти задачи с помощью освященных евклидовой геометрией инструментов — циркуля и линейки. Между тем, уже в древности математики догадались, что при использовании только циркуля и линейки эти задачи неразрешимы, а позднее это было и доказано.
Задача 1. При помощи циркуля и линейки построить квадрат равновеликий данному кругу (квадратура круга). Задача 2. Разделить произвольный угол на три равных угла (провести трисекцию угла). Задача 3. Построить куб в два раза большего объема, чем данный куб (провести удвоение куба).
Квадратура круга. История нахождения квадратуры круга длилась 4 тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к её диаметру есть величина постоянная, независящая от величины круга, и эта величина обозначается буквой . Таким образом длина окружности с радиусом r равна С = 2 r , а так как площадь круга S = r 2 , то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2 r и высотой r . Для него потом уже без труда можно построить равновеликий квадрат. Числу в Сиэтле установлен памятник. Сегодня достигнута новая отметка в 2,7 триллиона десятичных знаков числа Пи .
Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано ещё Архимедом более 2000 лет назад в сочинении « Измерение круга », где он доказывает, что число меньше чем но больше чем . То есть 3,1408 < < 3, 1429 . В наши дни с помощью ЭВМ число вычислено с точностью до 200 миллионов знаков после запятой. Это представляет скорее технический интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков после запятой вполне хватает для всех практических целей. Долгое время в качестве приближенного значения использовали число 22/7, хотя в Китае в V в. было найдено приближение 355/113 = 3,1416929, которое в Европе заново «открыли» лишь в XVI в. В Древней Индии считали равным √10 = 3,1622… Французский математик Ф. Виет вычислил в 1596г. с 9 знаками. Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596г. публикует результат своего десятилетнего труда – число , вычисленное с 32 знаками.
Но все эти уточнения проводились по методу Архимеда: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. При увеличении количества сторон многоугольника, увеличивается точность нахождения длины круга.
Но уже тогда ученые поняли, что с помощью только циркуля и линейки эти задачи решить нельзя. Тогда ученые стали искать другие пути решения. Одним из решений этих задач, является кривая, получившая название квадратрисы Динострата .
Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка F равномерно движется по дуге от точки D до точки B ; одновременно отрезок A ' B ' равномерно движется из положения DC в положение AB . Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса A F и отрезка A ' B ' опишет квадратрису (выделена красным цветом). Рис. 1
Любопытно то, что квадратиса Динострата решает и вторую из знаменитых задач древности – задачу о трисекции угла. Для этого нужно отложить данный угол так, чтобы его вершина находилась в точке O , а одна из его сторон совпала с лучом OA . Из точки N пересечения квадратисы со вторым лучом угла опускаем перпендикуляр NK на OA а затем делим отрезок KA на три равные части. Если восстановить перпендикуляры к прямой OA до пересечения с квадратисой, а затем соединить полученные точки с точкой O , то полученные углы окажутся равными. С O N K A
Оказалось, что трисекция угла возможна только для тех углов α , для которых корни уравнения x 3 - 3x – a = 0 , где a = 2cos α , выражаются через параметр a и целые числа лишь с помощью операций сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения квадратного корня.
Задача о удвоении куба получила название «делосской задачи» от острова Делос в Эгейском море, где по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Задача оказалась существенно более трудной. Если обозначить через a длину стороны исходного куба, а через x длину стороны вдвое большего куба, то мы получим соотношение x 3 = 2a 3 – снова кубическое уравнение. В 1837г. П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в раз больший данного, т. е. подтвердил неразрешимость задачи о удвоении куба. Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения её с помощью других инструментов и кривых. Так, уже в IV в. До н. э. Древнегреческие математики умели находить корень уравнения x 3 = 2a 3 как абсциссу точки пересечения двух парабол x 2 = ay и y 2 = ax .
На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. В процессе их решения рождались и совершенствовались многие математические методы.
Список литературы: Савин А.П. , Гведенко. Б.В. Энциклопедический словарь юного математика» Москва. «Педагогика». 1985. Потоскуев Е.В , Зваич Л.И.. Геометрия 11 класс, Москва, Дрофа, 2007. Белозёров С.Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория . Ростов н/Д., 1975. История математики с древнейших времён до начала XIX в. В 3 т. Под ред. А. П. Юшкевича Том 1. С древнейших времен до начала Нового времени . М.: Наука, 1970. В. В. Прасолов Три классические задачи на построение . — М.: Наука, 1992. — Т. 62. — 80 с. — ( Популярные лекции по математике ). Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? Математическое образование , № 4 (48), 2008, с. 3–15. Адреса интернет – страниц : http://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратура_круга http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/101844 http://www.etudes.ru/ru/mov/mov028/index.php http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/101843
Спасибо за внимание.
Сказка "Колосок"
Сказка об осеннем ветре
Два петушка
Как я избавился от обидчивости
Лупленый бочок