Сечения в теории и на практике

     Для участия в конкурсе математических проектов  я выбрал тему «Сечения в теории и на практике». С самого начала изучения стереометрии в школьном курсе задачи на построение сечений показались мне сложными и интересными. Их решение требует знания  не только стереометрии, но и планиметрии, хорошего пространственного воображения. Но самым важным для меня открытием в этих задачах стало то, что даже при правильном выполнении чертежа или дополнительных построений  можно получить неверный ответ. Для правильного решения таких задач необходимы  доказательства, подтверждающие построение и аналитические расчеты. В своей работе я не только показал различные виды построения сечений,  но и  нашел зависимость максимальной и минимальной площадей от расположения  сечения.  

  В работе представлена теория, которая необходима для построения сечений, рассмотрены примеры построения сечений различными методами (метод следа,  метод внутреннего проектирования, комбинированный метод). Основная цель работы- найти практическое применение сечениям  в решении интересных и неоднозначных задач на минимальную и максимальную площадь сечений.

Решив задачи, пришел к выводу, что наименьшую  площадь имеет сечение тетраэдра         в виде треугольника, если его высота   перпендикулярна ребру, является  общим перпендикуляром  для скрещивающихся  прямых.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

                            Сечения в теории и на практике

Сечения в теории.

    Рассмотрим краткий теоретический материал, посвященный основным понятиям и правилам, использующимся при работе с сечениями.

   Сечение многогранника плоскостью – это многоугольник, состоящий из множества всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости. Плоскость при этом называется секущей.

   Для построения сечения необходимо знать основные аксиомы стереометрии:

1. Через любые две точки пространства проходит единственная прямая.

     2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой (неколлинеарные), проходит единственная плоскость.

3. Если две плоскости имеют общую точку, то  они пересекаются по прямой .

 А также следствия из них:

1.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость.

3. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.

   На основе данной информации выводим условия построения сечения:

1. По трем неколлинеарным точкам.
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.

Рассмотрим несколько примеров построения сечений.

1. Простое  по трем точкам.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ куб,                                D₁                   C₁     

E A₁D₁, F B₁C₁, G AA₁.                          E                            

Построение:                                               A

Пусть  – секущая плоскость.

1.   A₁B₁C₁= EF;                                                            
2.   ADD₁= GE;                                                                    
3.  GE;
4.  ABB₁= GH
5. 

2. По прямой и не принадлежащей ей точке методом следа. След – прямая, относительно которой строится секущая плоскость.

Дано: ABCDEA₁B₁C₁D₁ E₁ призма, X A₁B₁C₁, a – след.

Построение:

Пусть  – секущая плоскость.                                          

1. a || TF, XTF;                                  
2.   A₁B₁C₁= TF;                                                                        
3. X₁ = a  DC;                                                    
4. G = X₁F  CC₁;                                                                
5.   CDD₁= GF;                                  
6. X₂ = a BC;                                                      
7. H = X₂G BB₁;                                                                                                                              
8.   BCC₁ = HG;                                                                    
9. 3 = AE  a;                                                                  
10.   AA₁;                                    
11.   AEE₁ =  IT;                                                  
12. :TFGHI;

По трем неколлинеарным точкам методом следа.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ куб, PA₁D₁, MCC₁, R AA₁B₁.

Построение:

Пусть  – секущая плоскость.

1. PP₁ AD₁, P₁AD;
2. X₁ =  PMP₁C;
3. RR₁ AB, R₁AB;                                                                                                      
4. X₂ = PRP₁R₁;                                      
5. X₁X₂ - след;                                    D₁                          C₁
6. PF || X₁X₂;                                 A₁                       B₁                                           
7.   A₁B₁C₁ = PF;                              D    R       K      C                X₁
8.   DCC₁= FM;                                                                      
9. FM || SK, RSK;                                                  
10.    ABB₁ = SK;                                                              
11.   ADD₁ = SP;                                                            
12.   BCC₁ = KM;
13. : SPFMK;

III. По трем точкам, не лежащим на одной прямой, при помощи дополнительных построений.

Дано: PABCD пирамида, H PD, MPC, KPB.

Построение:

Пусть  – секущая плоскость.                                                            

1.   PCB= MK;                                                           M                  
2.   PCD= MH;
3. X₁ = BCMK;                                      
4. X₂ = DC MH;                                                                          
5. G = X₁X₂  AD;                                                      
6. L = X₁X₂  AB;                                                                        
7.   ABC = GL;                                                            
8.   PAD = GH;
9.   PBA = KL;
10. : MKLGH;

IV. По трем неколлинеарным точкам методом внутреннего проектирования.

Дано: ABCDEA₁B₁C₁D₁ E₁ призма, Q EE₁, P DD₁, MBB₁.

Построение:

Пусть  – секущая плоскость.                                  

1. K = AD  BE;                                                      Q            
2. K₁ = KK₁   MQ, KK₁ || BB₁;                                                
3. R = PK₁  AA₁;                                                                                                                    
4. H = AD EC;                                                                          
5. H₁ = HH₁  R₁P, HH₁ || CC₁;                                            
6. N = QH₁  CC₁;                                                
7. : MNPQR;                                                                    

V.  По трем неколлинеарным точкам комбинированным методом.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ параллелепипед, P  A₁C₁, Q BB₁, R DD₁.

Построение:

Пусть  – секущая плоскость.                                                                

1.  T₁ = PQ P₁B, PP₁ || AA₁, P₁ AC;                    
2. T₂ = RQ  BD;                                            
3. T₁T₂ - след;                                                                                                    
4. EM || T₁T₂; P EM;                                                                                
5.   A₁B₁C₁ = EM;                                                                              
6.   AA₁D₁ = ER;                                                                  
7. ;                                                                                                          
8.   BB₁C₁ = QF;                                                                                                          
9.    DD₁C₁ = RF;
10.   AA₁B₁ = MQ;
11. : MERFQ

                                 Сечения на практике.

   На практике учащийся чаще всего сталкивается с сечениями при решении задач. Главной целью в них обычно является построение сечения и нахождение его площади.

   Рассмотрим несколько таких задач.                                                                          

№1. Дано:  PABC – правильный тетраэдр, AB=6, O – центр основания ABC,                  

Найти: Smin , Smax сечения,  проходящего через (.) O параллельно BC                        

и пересекающего AP в некоторой точке E.                                                                                                            

Решение:                                                                                                                                    

Сечение в данном случае является треугольником.                                                

Площадь (S) треугольника напрямую зависит от значения его высоты (h), поэтому сечением с наименьшей площадью будет SET, где высота OE – перпендикуляр (т.е. минимальное расстояние) к AP, а с наибольшей – SPT (E совпадает с P), т.к. OP>OA>OE. Найдем площади этих треугольников.

Рассмотрим ABC. Проведем AM-высоту, AM= 3; AST – равносторонний, т.к. подобен ABC. Пусть R и r  - радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей относительно ABC, а R₁ и r₂ относительно AST.

R =AO=;   r =OM==; Тогда в  POM  PO= =2, т.к. PM=AM. ST=R₁=4;

• Smax = SSPT = = 4;

В AES AE=2 как катет, лежащий против угла в 30º. В AOE OE==2;

• Smin = S SET==4;                                                                                

Ответ: Smin =4, Smax=4.                                                                                                

№2. Дано: MABC правильный тетраэдр, AB=a, (.) K-середина AC.                                        

Секущая плоскость αMAC=MK.                                                                              

Найти: такую (.) Т на прямой AB, при которой площадь TMK- минимальная.

Решение:

Сечение – треугольник. MK - его основание. Проведем общий для скрещивающихся прямых AB и MK перпендикуляр ТЕ.

Через ОВ проведем плоскость β, перпендикулярную МК (β(АМС)=ОР, ОР||АС). Спроецируем АВ на β, АР||МК. Получается ВР - проекция АВ на β.   Т.к. МКβ=О, то ρ(МК;АВ)=ρ(О;ВР)=ОН, где ОН- высота в   ВОР;  ОН = =  .

ОР=АК=; ОВ = =  

Тогда OH= =;  Значит, ρ(МК; АВ)=ОН=;  Проведя НТ||АР и ТЕ||ОН, приходим к выводу: ТЕ - высота TMK и ТЕ=ОН. => STMK=.

Ответ: Smin=.

№3. Дано:  SABCD правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 9 и высотой . Точки Е и F лежат на ребрах АВ и АD так, что AE=AF=6.

Найти: Sсечения  пирамиды плоскостью, проходящего через точки E и F параллельно ребру AS.

Решение:

Построим искомое сечение.

1. α  (ABC)=EF;
2. EN || AS,   α  (ADS)= EN;
3. HF|| AS, α  (ABS)=FH;
4. X₁ =EF CD;
5. X₂=EF  BC;
6. M=X₁N X₂H;
7. α  (DCS)=NM;
8. α  (BCS)=HM;
9. α  FENMH;

 AS= ; OA=AC== ; AS=

Из  AKF AK= ; CK=AC-AK= =6;

Из подобия треугольников ACS и KCM следует: MK/SA=CK/AC=2/3;

• MK=AS=8; NE=HF=AS=4;

ENMK=FHMK-прямоугольные трапеции. EK=OA=∙=3 ;

SENMK=SFHMK=∙EK=18 ; SFENMH=2SENMK=36;

Ответ: SFENMH=36;

    Данный проект выполнен по теме «Сечения в теории и на практике». В первой части работы приведены основные теоретические методы, используемые при построении сечений. Во второй части я показал, как можно применять теоретические методы при решении практических задач. Целью моего проекта было показать, что на практике, решая задачи построения сложных сечений, нельзя обойтись только теоретическими знаниями. Чтобы достичь успеха, необходимо  задействовать весь арсенал математики, включая стереометрию, планиметрию, алгебру. Считаю, что моя цель достигнута, в каждой из решенных задач найдена зависимость нахождения  максимальной и минимальной площади.

                  Список использованной литературы:

1. Геометрия. 10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений

с профильным и углубленным изучением математики. Е.В.Потоскуев, Л.И.Звавич.

2. Геометрия. 10 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений

с профильным и углубленным изучением математики. Е.В.Потоскуев, Л.И.Звавич.

3. Образовательные ресурсы Интернета.