Замечательные точки треугольника

Слайд 1

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и равна половине этой стороны. Так же по теореме средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине это стороны.

Слайд 2

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

Слайд 3

Замечательных точки треугольника

Слайд 4

Замечательные точки треугольника Точка пересечения медиан ( центроид треугольника) ; Точка пересечения биссектрис, центр вписанной окружности; Точка пересечения серединных перпендикуляров ; Точка пересечения высот (ортоцентр); Прямая Эйлера и окружность девяти точек ; Точки Жергонна и Нагеля ; Точка Ферма-Торричелли ;

Слайд 5

Точка пересечения медиан

Слайд 6

Медиана треугольника- отрезок, соединяющий вершину любого угла треугольника с серединой противоположной стороны.

Слайд 7

I. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Слайд 8

Доказательство:

Слайд 9

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА 1 и В В1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А 1 В 1 этого треугольника . 2.Отрезок А 1 В 1 параллелен стороне АВ и 1/2 АВ = А 1 В 1 т. е. АВ = 2А1В1 ( по теореме о средней линии треугольника ), поэтому 1= 4 и 3= 2 (т.к. они внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и A 1 B 1 и секущей BB 1 для 1, 4 и AA 1 для 3, 2 3.Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А 1 О , ВО и В 1 О , АВ и А 1 В 1 . Но АВ = 2А 1 В 1 , поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О . Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ 1 и АА 1 делит каждую из них в отношении 2:1 , считая от вершины. Теорема доказана. Аналогично можно доказать и про другие две медианы

Слайд 10

Центр масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан- центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид треугольника, то пластинка будет находиться в равновесии. Также точка пересечения медиан является центром вписанной окружности его серединного треугольника. Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадёт именно в эту точку.

Слайд 11

Точка пересечения биссектрис

Слайд 12

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину одного из углов треугольника с точкой лежащей на противоположной стороне.

Слайд 13

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от его сторон .

Слайд 14

Доказательство :

Слайд 15

С А В А 1 В 1 С 1 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС . 3.Воспользуемся тем, что каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон и обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Тогда ОК=OL и ОК=ОМ . А значит ОМ=OL , т. е. точка О равноудалена от сторон треугольника АВС и, значит, лежит на биссектрисе СС1 угла C . 4.Следовательво, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О . K L M Теорема доказана. 2.проведём из этой точки перпендикуляры ОК , OL и ОМ соответственно к прямым АВ , ВС и СА .

Слайд 16

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Слайд 17

Серединный перпендикуляр- прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Слайд 18

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от вершин треугольника.

Слайд 19

Доказательство:

Слайд 20

В С A m n 1. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров т и п к сторонам АВ и ВС треугольника АВС . O 2. Воспользовавшись теоремой о том, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка и обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему, получим, что ОВ=ОА и ОВ=ОС . 3. Поэтому ОА=ОС , т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. 4. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О . Теорема доказана. р

Слайд 21

Точка пересечения высот (или их продолжений)

Слайд 22

Высота треугольника- перпендикуляр, проведенный из вершины любого угла треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону.

Слайд 23

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая может лежать в треугольнике, а может находиться за его пределами.

Слайд 24

Доказательство:

Слайд 25

Докажем, что прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. В A C C2 C1 A1 A2 В 1 В 2 1. Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А 2 В 2 С 2 . 2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А 2 С и АВ=СВ 2 как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2 , поэтому А 2 С=СВ 2 . Аналогично С 2 А=АВ 2 и С 2 В=ВА 2 . Кроме того, как следует из построения , СС 1 перпендикулярен А 2 В 2 , АА 1 перпендикулярен В 2 С 2 и ВВ 1 перпендикулярен А 2 С 2 (из следствия по теореме параллельных прямых и секущей) . Таким об p азом, прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 2 В 2 С 2 . Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Слайд 26

Конец. Автор проекта Ученик 8 Г класса школы № 879 Сильченков Илья Учитель: Архиреева Л.В.