«Теорема Пифагора»

Слайд 1

Слайд 2

"В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем". Иоганн Кеплер

Слайд 3

Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. Фрагмент древнекитайского трактата Чжоу-би Фрагмент Московского папируса

Слайд 4

Прямой угол – одно из древнейших геометрических понятий, оно связано с образом вертикального положения человека и многих предметов окружающей среды. О том, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам было на практике много раз проверено и установлено еще древними египтянами и вавилонянами. Фрагмент папируса Ахмеса

Слайд 5

А теорема Пифагора является едва ли не самой знаменитой теоремой геометрии, которую помнит каждый человек, который когда-либо учился в средней школе. Теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике катеты a и b связаны с гипотенузой с следующим простым соотношением: c 2 = a 2 + b 2 . a b с Если дан нам треугольник И при том с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим - И таким простым путем К результату мы придем.

Слайд 6

Одно из первых упоминаний теоремы Пифагора относится еще к древнему Китаю: математическая книга Чу-пей (около 2400 г. до н. э.). В этом сочинении так говорится о " пифагоровом треугольнике " со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4" . В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии " Лилавати " Бхаскары. Фрагменты " Лилавати " Бхаскары и древнекитайского трактата Чжоу-би

Слайд 7

Крупнейший немецкий историк-математик Кантор считает, что теорема Пифагора была известна египтянам около 2300г. до н.э., во времена фараона Аменемхета I ( согласно папирусу 6619 Берлинского музея ). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5, которые назывались также "священными" или "египетскими", так как они широко использовались в египетской культуре. " Священный " или " египетский " треугольник

Слайд 8

Из истории древнего Египта сохранилось очень мало сведений о геометрии треугольников, но остались архитектурные сооружения пирамид и храмов, а также остались изображения, в которых отображены знания о геометрии древнего Египта. Внимательное исследование изображений позволяет понимать геометрию, и в том числе позволяет понимать геометрические пропорции человеческого лица и тела с помощью, в том числе и "пифагоровых" треугольников. Скульптурное изображение фараона Хефрена

Слайд 9

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Всё это было им необходимо при астрономических наблюдениях, которые, по-видимому, главным образом и привели их к геометрическим знаниям.

Слайд 10

Геометрия у индусов была тесно связана с религиозными обрядами и культом жертвоприношения (построение алтарей-жертвенников). Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. В древнеиндийской " Сульва-Сутре " ( « Правило веревки " ) есть следующие положения: 1) квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его меньшей и большей стороны; 2) квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата. А B C D А B C D E F

Слайд 11

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал": на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника abc он строит соответствующие квадраты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Слайд 12

Основываясь на сегодняшнем уровне знаний о древней математике, голландский математик Ван-дер-Варден сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцев, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку" . И уже пора прекратить споры, правильно ли поступил Пифагор и его ученики, присвоив теореме имя Пифагора.

Слайд 13

Причина популярности данной теоремы - её простота и значимость. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. В настоящее время известно около трехсот различных доказательств теоремы. Рассмотрим примеры графических решений.

Слайд 14

Рассмотрим алгебраический метод доказательства теоремы Пифагора из учебника " Геометрия " (7-9классы) Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой с ( рис.1). Докажем, что с ² = a ² + b ² . Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рис. 2. Рис.1 b c a Рис.2 b a a a a b b b c c c c Площадь S этого квадрата равна ( a + b ) ² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ ab , и квадрата со стороной с , поэтому S = 4 · ½ ab + с ² = 2 ab + с ² . Таким образом, ( a + b ) ² = 2 ab + с ² , откуда с ² = a ² + b ² , и теорема доказана.

Слайд 15

Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: " Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов " . Посмотрите на эти два квадрата, и все сразу становится ясно. Индусы к этому чертежу добавляли лишь одно слово: " Смотри! " .

Слайд 16

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его "Dons asinorum" - "ослиный мост" , или "elefuga" - "бегство убогих" , так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

Слайд 17

ПРОВЕРЬТЕ СВОИ ЗНАНИЯ

Слайд 18

ЗАДАНИЕ №1 В чем состоит заслуга Пифагора ? Он первым А) сформулировал , Б) доказал , В) систематизировал , Г) записал теорему, названную его именем.

Слайд 19

Ответ на задание №1 Если выбрали ответ В) , то эти аплодисменты ваши по праву. Пифагор именно систематизировал знания об этой теореме. Ну, а если нет, то попросите помочь друзей.

Слайд 20

ЗАДАНИЕ №2 Если в прямоугольном треугольнике угол α равен 60 ° , то угол β , противолежащий катету b , равен А) 60 ° , Б) 30 ° , В) 45 ° , Г) 90 ° . a b c α β

Слайд 21

Ответ на задание №2 Если выбрали ответ Б) , то заслужили эти аплодисменты . Сумма углов треугольника равна 180 ° : β = 180 ° - 90 ° - 60 ° = 30 ° . Ну, а если нет, то есть повод повторить материал.

Слайд 22

ЗАДАНИЕ №3 Если в прямоугольном треугольнике катеты a и b равны, соответственно, 8 и 6 , то гипотенуза с равна А) 14 , Б) 48 , В) 10 , Г) 100 . a b c

Слайд 23

Ответ на задание №3 Если выбрали ответ В) , то эти аплодисменты снова ваши. По теореме Пифагора с ² = a ² + b ² = 8 ² + 6 ² = 100 , откуда с = 10 . Ну, а если снова нет, то нужно учиться усерднее.

Слайд 24

ЗАДАНИЕ №4 Какой из треугольников со сторонами А) (1;1; √2) , Б) (3;4;5) , В) (4;6;7) , Г) (9;12;15) не является " пифагоровым " треугольником ?

Слайд 25

Ответ на задание №4 Если выбран ответ В) , то получите свою долю оваций. Действительно, 4 ² + 6 ² = 52 ≠ 49 = 7 ² . Стоит отметить, что во времена Пифагора правильным был бы и ответ А) , так как были неизвестны рациональные числа. Если ответили неправильно, то срочно беритесь за учебу.

Слайд 26

ЗАДАНИЕ №5 В какой из этих древних стран впервые упоминаются условия теоремы Пифагора: А) Китай , Б) Греция , В) Египет , Г) Индия .

Слайд 27

Ответ на задание №5 Если выбрали ответ А) , мышонок аплодирует вам. Первые упоминания о теореме Пифагора дошли до нас в древнекитайских трактатах , датированных приблизительно 2400г. до н.э. Если ответили неправильно, то стоит задуматься.

Слайд 28

ЗАДАНИЕ №6 Сформулируйте теорему , обратную теореме Пифагора .

Слайд 29

Ответ на задание №6 Эта теорема звучит следующим образом: " Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный " . Если ответили правильно, то бурные аплодисменты ! Если же нет, то " учиться, учиться и еще раз учиться " .

Слайд 30

Если вы дали правильные ответы на все шесть заданий, можете смело требовать пятерку по геометрии !!! Если же ответили правильно на 3 задания или меньше, то попросите не ставить двойку в журнал и " учиться, учиться и еще раз учиться " .

Слайд 31

1. Балк М.Б, Балк Г.Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1971. 2. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия, 7-9кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений - 19-е изд. - М: Просвещение, 2009. 3. Г.И. Глейзер. История математики в школе. 7-8кл.: Пособие для учителей, -М.: Просвещение, 1982. 4. Гусев В. А. и др. Математ. словарь для школьников. Сдай экзамены на пять ! - Ростов н / Д: Феникс, 2004