Применение подобия треугольников напрактике

Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

Глава 1. Обзор литературы.

1.1.  Историческая справка ……………………………………………………..5

1.2.  Понятийный аппарат ………………………………………………………6

Глава 2. Измерение высоты объекта

2.1.  По длине тени……………………………………… ………………………9

2.2.  С помощью шеста………………………………….. ………………………10

2.3.  С помощью зеркала …………………………………………………………11

2.4. Как поступил сержант ………………………………………………………12

2.5. Не приближаясь к дереву …………………………………………………...14

Заключение …………………………………………………………………… …16

Список литературы ………………………………………………………………17

Введение.

“Я думаю, что никогда до настоящего

времени мы не жили в такой

геометрический период.

Все вокруг – геометрия”

Эти слова, сказанные великим французским архитектором Корбюзье в начале 20 века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, полученные из наблюдений и опытов. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: «Не знающие геометрии не допускаются!»

Как вы думаете зачем нужна геометрия? А вы посмотрите вокруг! Все время, когда мы имеем дело с формой, размером, положением предмета в пространстве, мы вовлечены в геометрию. Куда бы мы ни повернулись в нашей жизни, повсюду мы видим применение принципов геометрии.

Геометрические знания широко применяются в жизни, в быту, на производстве, в науке.  В наше время задачи по геометрии по-прежнему находят широкое применение в строительстве, архитектуре, искусстве, а также во многих отраслях промышленности. В последнее время ученые, используя накопившиеся знания в области геометрии, совершенствуют их, ищут что – то новое, выдвигают свои гипотезы. Вооружившись знаниями, которые приобретают в процессе обучения в школе. На уроках геометрии мы изучили тему  «Подобие треугольников»  и  меня заинтересовал вопрос, как данную тему можно применить на практике.

        Цель:                                                                                                                                                                              

Найти области применения подобия треугольников в жизни человека.

Задачи:

1.Изучить научную литературу по данной теме.

2.Показать применение подобие треугольников на примере измерительных работ.

Гипотеза. С помощью подобия треугольников можно выполнять измерения реальных объектов.

Методы исследования:  поиск, анализ, математическое моделирование.

Глава 1.

1.1.Историческая справка

В основе подобия фигур лежит принцип отношения и пропорции.  Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы  Менеса и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые башни), персидские Дворцы, Индийские и другие Памятники древности.  Многие обстоятельства,  в  том числе особенности архитектуры, требования удобства, эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызвали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин. В «Московском» папирусе при рассмотрении, отношения большего катета к меньшему в одной из задач на прямоугольный треугольник применяется специальный знак для понятия «отношение». В «Началах» Евклида учение об отношениях излагается дважды.  В VII книге содержится арифметическая теория. Она относится только к соизмеримым величинам и к целым числам. Эта теория создана на основе практики действия с дробями. Евклид применяет ее для исследования свойств целых чисел. В V книге излагается общая теория отношений и пропорций, разработанная Евдоксом. Она лежит в основе учения о подобии фигур, изложенного в VI книге «Начал».

Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милетскому.  Гревнегреческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей  эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения. Фалес, - говорит предание, - избрал день и час, когда длина собственной  его  тени равнялась его росту;  в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени.

 До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Ар хита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающиеся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

1.2.Понятийный аппарат.

В жизни мы встречаемся не только с равными фигурами, но и с такими, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры. Геометрия называет такие фигуры подобны.

Некоторые думают, что Подобными могут быть только треугольники, но на самом деле совершенно произвольные фигуры могут быть подобны. Подобными могут являться пятиугольники, фигуры-звёзды, фигуры-стрелки, параллелограммы, многоугольники.

У всех подобных фигур одинаковые формы, но разные размеры.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

 Если треугольник ABC подобен треугольнику А1B1С1, то углы А, В и С равны соответственно углам A1, B1 и C1,  . Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Замечание 1: Равные треугольники подобны с коэффициентом 1.

Замечание 2: При обозначении подобных треугольников следует упорядочить их вершины таким образом, чтобы углы при них были попарно равны.

Замечание 3: Требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными.

Свойства подобных треугольников

Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Признаки подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Глава 2.

 Использование подобия треугольников на практике

Измерение высоты объекта 

В  качестве измеряемого объекта возьмём дерево.

2.1 По длине тени

В основе этого метода  лежит видоизмененный способ Фалеса, позволяющий использовать тень любой длины.  Для  измерения высоты дерева  необходимо на некотором отдалении от дерева воткнуть в землю шест.

AB – высота дерева

BC – длина тени дерева

A1B1 – высота шеста

B1C1 – длина тени шеста

 B = < B1 т. к. дерево и шест стоят перпендикулярно земле.

< A = < A1 т. к. лучи солнца, падающие на землю, мы можем считать параллельными, потому что  угол между ними чрезвычайно мал, практически неуловим =>

Треугольник АВС подобен треугольнику  А1В1С1.

Выполнив необходимые измерения, мы можем найти высоту дерева.

  АВ   =  ВС.

А1В1       В1С1

АВ = А1В1 ∙ ВС.

              В1С1

Попробуем применить это правило к теням, образуемым  уличным фонарём.

Треугольник АВС и треугольник А1В1С1 не подобны т. к. лучи от фонаря не параллельны => < A ≠ < A1.

Вывод: Использовать это правило невозможно.

2.2.С помощью шеста.

     AD – расстояние от лежащего человека до дерева

ED – высота дерева

CD – высота шеста

AB – расстояние от шеста до лежащего человека.

Шест длиной приблизительно равный росту человека втыкается в землю отвесно. Место для шеста надо выбрать так, чтобы человек, лежащий на земле, видел верхушку дерева на одной прямой с верхней точкой шеста.

Треугольник АВС подобен треугольнику ADE  т. к. < B = < D (соответственные), < A – общий =>

 AD = ED, ED = AD ∙ BC.

AB     BC                AB

2.3. С помощью зеркала.

На некотором расстоянии от дерева на ровной земле кладётся зеркало, и отходят от него назад в такую точку, стоя в которой наблюдатель видит верхушку дерева.

АВ – высота дерева

АС – расстояние от дерева до зеркала

CD – расстояние от человека до зеркала

ED – рост человека.

Треугольник АВС подобен треугольнику DEC т. к.

< BCA = < ECD (т. к. по закону отражения света угол падения  равен углу отражения.)

=>

AC = AB,

DC     ED

AB = AC ∙ ED.

               DC  

2.4. Как поступил сержант.

Некоторые из только что описанных способов измерения высоты неудобны тем, что вызывают необходимость ложиться на землю. Можно, разумеется, избежать такого неудобства.

Вот как однажды было на одном из фронтов Великой Отечественной войны. Подразделению лейтенанта Иванюк было приказано построить мост через горную реку. На противоположном берегу засели фашисты. Для разведки места постройки моста лейтенант выделил разведывательную группу во главе со старшим сержантом. В ближайшем лесном массиве они измерили диаметр и высоту наиболее типичных деревьев, которые можно было использовать для постройки.

Высоту деревьев определяли при помощи шеста так, как показано на рис.

Этот способ состоит в следующем.

Запасшись шестом выше своего роста, воткните его  в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места A, с которого,  глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста. Затем, не меня положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой  аС, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах  пометки, и наблюдение окончено.

треугольник abc подобен треугольнику aBC

=> BC = aC , BC = bc ∙ aC .

      Bc     ac                     ac

Расстояние bc, aC и ас легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние CD (которое также измеряется непосредственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.

2.5.Не приближаясь к дереву.

 Случается, что почему – либо неудобно подойти вплотную к основанию измеряемого дерева. Можно ли в таком случае определить его высоту?

Вполне возможно. Для этого придуман остроумный прибор, который  легко изготовить самому. Две планки ad и сd  скрепляют под прямым углом так, чтобы ab равнялось bc, а bd составляло половину ad. Вот и весь прибор. Чтобы измерить им высоту, держат его в руках, напротив планку cd вертикально (для чего при ней имеется отвес – шнурок с грузиком), и становится последовательно в двух местах: сначала в точке А, где располагают прибор концом с вверх, а затем в точке А`, подальше, где прибор держат вверх концом d. Точка А избирается так, чтобы, глядя из а на конец с, видеть его на одной прямой с верхушкой дерева. Точку  

же А` отыскивают так, чтобы, глядя из а` на точку d`, видеть её совпадающей с В.

Треугольник ВСа подобен треугольнику bca т. к.

Треугольник ВСа` подобен треугольникуb`d`a` т. к.

В отыскивании двух точек А и А` заключается все измерение, потому что искомая часть ВС равна расстоянию АА`. Равенство вытекает  из того, что аС = ВС,  так  как  треугольник abc  равнобедренний (по построению). Следовательно и треугольник  aBC  равнобедренный.   а`C = 2BC  вытекает из соотношений в подобных треугольниках; значит, a`C – aC = BC.

 Заключение

Подобие треугольников в жизни незаменимо. Подобие применяется от школьной тетради вплоть до вселенной.  Я узнала много нового об этом свойстве треугольников. Знания,  полученные в ходе исследовательской работы, останутся в моей памяти надолго и я смогу применить их на практике.

Я исследовала различные способы измерения высоты объектов на местности.

Можно сделать вывод:

1. Применение подобия треугольников незаменимы в нахождении высоты объекта.
2. Результаты исследования получаются более точные, если мы  более точно измеряем  расстояние до объекта.
3. Существует большое количество способов измерения высоты объекта.
4.  Приборы для измерения могут быть сделаны своими руками.

Список литературы:

1. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняков, И. И. Юдина. Геометрия. М. Просвещение. 2005г. 138с.

2. Г.И Баврин. Большой справочник школьника. Математика. М. дрофа. 2006г. 435с

    3 .Я. И. Перельман. Занимательная геометрия. Домодедово. 1994г. 11-27с.

   4. http://festival.1september.ru/articles/418615