Музыка и математика в цифрах

Секция: МАТЕМАТИКА

Музыка и математика в цифрах

Автор: Герасимова Екатерина

ученица 11 класса

ГБОУ СОШ №3 города Кинеля

Самарской области

Научный руководитель: Павлова О.Г., учитель математики

Кинель 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение.........................................................................................................3-4
2. Глава 1. История исследования музыки и математики..............................5-6
3. Глава 2. Исследование музыкальных произведений..................................7-9

3.1.  Г. Гладков «Бременские музыканты»...................................................7-8

3.2.  И. С. Бах «Прелюдия №1».......................................................................9  

4. Глава 3. Исследование дат рождений.......................................................10-12
5. Заключение......................................................................................................13
6. Список литературы..........................................................................................14
7. Приложения................................................................................................15-17

2

ВВЕДЕНИЕ

«Музыка есть таинственная арифметика души;

Она вычисляет, сама того не подозревая»

Г. Лейбниц

Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываясь о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно связаны друг с другом.

Если музыка связана с окружающим миром, то, наверное, она как-то взаимодействует и с наукой? Мне стало интересно узнать, что же общего между таким прекрасным видом искусства как музыка и такой сложной, наукой, как математика. И что если попробовать определенным образом переложить ноты на числа. Будет ли наблюдаться в этом числовом ряду закономерность? Если такая связь существует, то можно предположить обратное, что ряд чисел имеет свое музыкальное звучание. В этом и актуальность моего исследования.

Цель моего исследовательского проекта: провести взаимосвязь между музыкой и математикой.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

1. Выяснить, были ли в истории попытки связать музыку с математикой.

2. Провести свое исследование по установлению связи между музыкой и цифрами, рассмотрев музыкальные произведения, как математическую модель.

3. Переложить числа (даты рождения одноклассников) на музыку.

      4. Установить связь между звуками и способностями личности.

3

В своей работе я выдвинула следующую гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить, как некую математическую модель.

Объект исследования: музыка и математика.

Методы исследования:

1.Изучение и анализ информации.

2.Метод исследования музыкального произведения.

Постоянным источником размышления стали взгляды и убеждения Эйлера, Лейбница и Пифагора.

4

Глава 1. История исследования связи музыки с математикой

Математика - царица наук, тесным образом перекликается с музыкой.

Несомненно, математика пронизывает музыку.

Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как

утверждали древние мудрецы.

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера "Диссертация о звуке", написанная в 1727 году: "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремилась представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков".

Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". На что Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".

Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих

занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки. Родился Пифагор около 570 года до нашей эры на острове Самосее. Пифагор основал науку о гармонии сфер, утвердив ее, как точную науку. Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева.

5

Они проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на интеллект. Он учился музыки в Египте и сделал

ее предметом науки в Италии. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента - лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать.

Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Даниил Бернулли и

другие.

Микровывод: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и

противоречиях, я пришла к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя противоположностями ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства» - писал Густав Нейгауз.  

Изучив работы ученых, мною было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики. Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг друга, музыку и математику.

6

Глава 2. Исследования музыкальных произведений

3.1 Произведение Г. Гладкова «Бременские музыканты» (приложение 1)

Попробуем сделать математическую модель этого произведения: каждой ноте мы присвоили номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II ,3 – III, 4 – IV,

5 – V ,6 – VI ,7 – VII, 8 – I, 9 – II ,0 – III. Переложили ноты на числа и получили при этом такой ряд чисел:

11123313/535/44432246/545/3353/666716/22217572/176/4561/7672/321117/ 176213/ 444443/ 22221/.

Черта между цифрами служит тактовой четой, то есть делит их на такты, так как сделано в произведении.

В музыке есть понятие - устойчивые ступени, на которых строится тоническое трезвучие (аккорд из трех звуков): 1, 3, 5 ступени. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность.

В первом такте сумма равна 13 (1+1+1+3+3+1+3), во II – тоже 13 (5+5+3), в III – 3 (3), в IV – 10 (5+5), в V – 14 (3+3+5+3), в VI - 1, в VII – 6 (5+1), в VIII – 1, в IX – 6 (5+1), в X – 0, в XI – 6 (3+1+1+1), в XII – 4 (1+3), в XIII – 3, в XIV – 1.      Получили ряд чисел: 13, 13, 3, 10, 14, 1, 6, 1, 6, 0, 6, 4, 3, 1.

Вывод: Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр:  14, 13, 10, 6, 4, 3 ,1, 0.

Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.

Получили числа в соответствии с номерами тактов:

I. 54 (1*1*1*2*3*3*1*3).

II. 75 (5*3*5)

III. 18432 (4*4*4*3*2*2*4*6)

IV.100 (5*4*5)

V. 135 (3*3*5*x3)

VI. 9072 (6*6*6*7*1*6)

7

VII. 3920 (2*2*2*1*7*5*7*2)

VIII. 12 (1*7*6)

IX. 120 (4*5*6*1)

X. 288 (7*6*7*2)

XI. 336 (3*2*2*2*2*7)

XII. 252 (1*7*6*2*1*3)

XIII. 3072 (4*4*4*4*4*3)

XIV. 16 (2*2*2*2*1)

Имеем следующий ряд чисел: значения в I (11123313) и II (535); III (44432246) и XIII (444443); VI (666716), VIII (176) и XIV (22221); XI (322227), IX (4561) и VII (22217572) тактах получились разные за счет того, что количество нот в них различное

8

3.2. Классическое произведение И. С. Баха Хорошо темперированный клавир «Прелюдия №1»

Рассмотрим шесть тактов этого произведения.

Получили следующий ряд чисел:

1351351313513513/ 1262462412624624/ 7252452472524524/ 1351351313513513/

1263663613636636/ 1262462412624624/..

Сложим цифры – устойчивые ступени I – 44, II – 2, III – 20, IV – 44, V – 17, VI – 2…

Получили ряд чисел: 44, 2, 20, 44, 17, 2.

Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр: 44 и 2.

Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.

Получили числа в соответствии с номерами тактов:

I. 455625 (1*3*5*1*3*5*1*3*1*3*5*1*3*5*1*3)

II. 21233664 (1*2*6*2*4*6*2*4*1*2*6*2*4*6*2*4)

III. 501760000 (7*2*5*2*4*5*2*4*7*2*5*2*4*5*2*4)

IV. 455625 (1*3*5*1*3*5*1*3*1*3*5*1*3*5*1*3)

V. 136948896 (1*2*6*3*6*6*3*6*1*3*6*3*6*6*3*6)

VI. 21233664 (1*2*6*2*4*6*2*4*1*2*6*2*4*6*2*4)

Числа I и IV, II и VI тактов повторяются, следовательно представляют

математическую модель, которая имеет числовую закономерность.

Микровывод: Любое музыкальное произведение можно представить как

математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности. Однако, в ходе выполнения исследования, выше перечисленными способами, мною выявлено, что каждый числовой ряд имеет свою математическую закономерность (из-за разного количества нот в тактах). Таким примером является музыкальное произведение «Бременские музыканты».

9

Глава 3. Исследование дат рождений

Следуя теории Пифагора числа обладают абсолютной властью над всеми

событиями, над всеми живыми существами, а значит, числа правят музыкой. В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике) и в следствии этого восстанавливает в организме человека гармонию.

Нумерология - паранаука о числах. Нумерология имеет еще одно

распространенная название - магия чисел. В нумерологии все слова, имена, числа можно свести к единичным разрядам (однозначным человеком), которые соответствует оккультным характеристикам, влияющим на жизнь человека. Это значит, что каждому числу, согласно нумерологии, соответствует определенные свойства, образы и понятия. Нумерологию используют для определенного характера человека, его природных способностей для выявления сильных и слабых сторон его личности, а также для определения характера человека, его природных способностей, для выявления сильных и слабых сторон его личностей, а также для определения подходящих профессии, места проживания и многих других факторов

Даты рождений - это ряд чисел. Попробуем установить связь между числами и музыкой.

Мною были исследованы даты рождений 13 учащихся 11 класса, в котором я обучаюсь. Как известно дата - набор цифр. Мы переложим даты на ноты. У каждого человека получилось по одному аккорду.

Были аккорды звучавшие гармонично и вовсе безобразное. Гармоничное звучание тонов называют консонансом. А безобразное, резкое звучание называется диссонансом.

На рисунке, где под аккордом стоит знак « - », аккорд звучал негармонично, а значит, диссонанс. А если мелодично, то знак « + » - это консонанс. Каждой ноте мы присвоили номер ступени. До - 0, ре -1, ми - 2, фа - 3 соль - 4, ля — 5, си - 6, до - 7, ре — 8, ми - 9.

10

После того, как мы переложили даты рождения на аккорды, попробуем установить связь между звучанием даты рождения и способностями человека.

Таким образом, 13 учащихся 7 класса, по звучанию разделились на две группы. Методом опроса я выяснила, чем каждый ученик увлекается. Таким образом мы получили следующее:

1 группа (учащиеся, у которых аккорды благозвучные):

1. Андронов Евгений 26.06.1997 (увлекается футболом, интерес к математике)
2. Афонина Александра 07.02.1997 (пишет картины, занимается танцами)
3. Клементьев Иван 16.12.1997 (интерес к физике)
4. Котякова Наталья 02.05.1997 (проявляет интерес к психологии)
5. Москалева Ксения 26.04.1998 (интерес к математике, рисованию)
6. Муллагалиева Виктория 06.07.1997 (поет, занимается в муз.школе, изучает иностранный язык, интерес к фотографиям)
7. Пфетцер Илья 01.08.1997 (занимается спортом)
8. Рябова Дарья 11.06.1997 (интерес к естественным наукам)
9. Сластунов Александр 27.12.1996 (увлекается пауэрлифтингом)

2 группа (учащиеся, у которых аккорды не звучат):

1. Александрова Ираида 19.05.1997 (занимается спортом)
2. Калачева Дарья 31.03.1997 (играет на гитаре)
3. Кудратжонов Самат 03.01.1997 (увлекается футболом)
4. Самарина Алена 23.07.1997 (

В первой группе, где аккорды звучат мелодично, оказалось большинство детей с творческими наклонностями: некоторые из них занимаются музыкальной школе  или танцами. Данная группа детей обладает творческими способностями, косвенно или напрямую связаны с музыкой.

Во второй группе где аккорды звучали «резко», большинство детей занимаются спортом.

11

Вывод: большее количества учащихся класса имеют творческие способности. Возможно именно с этим связанно активное участие класса во всех школьных мероприятиях.

12

Заключение

В своей исследовательской работе я выдвинула гипотезу о том, что любое

музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности.

По изложенному в работе способу перевода из нот в числовой ряд следует,

что моя гипотеза верна, так как способов перевода может быть несколько. В работе мы рассмотрели два способа: это сложение устойчивых ступеней и произведения устойчивых ступеней.

Однако, в ходе выполнения исследования музыкальных произведений, выше перечисленными способами, мною выявлено, что не каждый числовой ряд имеет такую математическую закономерность. Таким примером является музыкальное произведение «Бременские музыканты».

В своей работе я провела исследование дат рождений одноклассников. То, что музыка отражает в себе закономерность числового ряда и как следствие имеется связь между звучанием дат рождений и наклонностями человека находит подтверждение в моем исследовании.

Но для утверждения того, что звучание даты рождения определяет

определенный тип особенностей человека, необходимо большее количество исследуемых. Если в последующем, при более глубоком и многочисленным исследовании, наше предположение будет доказано, это даст человеку еще один способ открыть себя, определить род занятий, выбрать профессию, где наиболее полно раскроется потенциал личности.

 В заключение исследования, мне хочется процитировать слова известного

философа, математика 19-20 вв. Бертрана Рассела «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

13

Список литературы

1.Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005

2.Дэвид Филипс. Нумерология и открытие внутреннего "Я". Полное практическое руководство. СПб: София, 2007, 256с.

3. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.

4. Холопов Ю. Н. Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.

5. Хорошо темперированный клавир: Ноты произведений на International Music Score Library Project

6. Энциклопедический словарь юного музыканта Э68/сост. В.В. Медушевский, О.О.Очаковская. – М.: Педагогика, 2007. – 352с., ил.

Интернет ресурсы:

1.http://www.stonot.ru/

3.http://www.wikipedia.org/

4. http://ru.wikibooks.org/wiki

5. http://www.piano – notes.net/

6. Интернет ресурс: Letopisi.ru Проект «Музыкальная математика»

14

Приложение 1

Г. Гладков «Бременские музыканты»

15

Приложение 2

Хорошо темперированный клавир «Прелюдия №1»

16

Приложение 3

Исследование дат рождений.