Тайны простых чисел

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Новомеловатская средняя общеобразовательная школа

Исследовательская работа по математике

 Тайны простых чисел

Выполнил: Величко Антон, 6 класс

Руководитель: Медведева Татьяна Петровна,

учитель математики

х. Хвощеватое 2015

Оглавление

I. Введение. ………………………………………………………………3  стр.

II. Основная часть. ……………………………………………............4 – 8 стр.

1. Понятие простого числа.

2. Из истории простых чисел.

3. Бесконечность ряда простых чисел.

4. Формулы для нахождения простых чисел. 

Самое большое простое число.

5. Свойства простых чисел.

6. Применение простых чисел.

III. Заключение …………………………………………………………....9 стр.

IV. Источники информации …………………………………………….10 стр.

V. Приложения. ……………………………………………………..11 - 12 стр.

Введение

«Среди чисел существует такое совершенство и согласие,

что нам надо размышлять дни и ночи

над их удивительной закономерностью».

Стевин

Человеку свойственно любопытство. Сколько игрушек переломано в детстве, чтобы узнать, как они устроены, что находится внутри. Люди, сохранившие на всю жизнь это любопытство, - учёные.

Простые числа с давних времен привлекали внимание математиков. В математике они играют важную роль, ведь эти числа входят множителями в любое составное число – «составляют» его. Простые числа следуют в числовом ряду одно за другим по закону, который еще не найден.

С понятием «простого числа» я впервые встретился в 6 классе. Эта тема меня заинтересовала. Я решил провести исследование и с помощью дополнительной литературы и других источников узнать тайны простых чисел – историю их возникновения, сколько их, как они распределены в натуральном ряду, найдено ли самое большое простое число и т. д.

 Итак, предметом исследования являются простые числа.

Объект исследования: множество натуральных чисел.

Цель работы: изучение истории простых чисел и исследование некоторых свойств  и видов простых чисел.

        Для достижения этой цели я поставил следующие задачи:

• подобрать литературу по этой теме и изучить исторические сведения  о простых числах;
• понять принцип выделения простых чисел из натурального ряда, используя метод «Решето Эратосфена»;
• выяснить, существует ли математическая формула для отыскания простых чисел;
• выяснить, существует ли самое большое простое число;
• познакомиться с закономерностями и свойствами простых чисел
• исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

       Предлагаемая работа является результатом исследования множества простых чисел, проведенного по таблице простых чисел и по литературным источникам.

          Методы исследования: сбор информации, её изучение, анализ данных, обобщение теоретического материала, рефлексивное осмысливание результатов.

Основная часть

Понятие простого числа.

Слово «простой» в толковом словаре русского языка С.И.Ожегова обозначает «однородный по составу, не составной, не сложный, не трудный, легкодоступный пониманию, осуществлению». В энциклопедии «Викисловарь» значение слова «простой»: доступный и не требующий много времени и усилий для понимания, решения, выполнения, описания, использования; ничем не выделяющийся среди прочих, обыкновенный, типичный, стандартный; недорогой, без дополнительных функций, опций, аксессуаров, дополнительных этапов при производстве, ингредиентов и специй.

Так неужели эти числа так просты, понятны и доступны?   Соответствуют ли они своему названию?  

Из чего составлены целые числа? Конечно же, из единиц. Число 12 есть сумма двенадцати единиц. Но в то же время 12 - это произведение 3 и 4, 2 и 6. В свою очередь число 4 равно произведению 2 и 2, а 6 - произведению 2 и 3. Числа 2 и 3, так же как и числа 5, 7, 11, 13 и т. д. дальше не раскладываются. Их назвали простыми. Эти числа раскладываются на два различных множителя - единицу и себя самого. Число 1 не считают простым, поскольку оно раскладывается на два одинаковых множителя: 1 = 1 • 1.

Из истории простых чисел.

Интерес к простым числам проявляли ещё математики Древней Греции. Они были знакомы с некоторыми свойствами простых чисел, располагали простейшими алгоритмами их поиска и, безусловно, видели их математическую красоту.

Ко времени появления «Начал», примерно в 300 году до н. э., Евклидом был доказан ряд важных  утверждений, касающихся простых чисел: существует бесконечно много простых чисел; каждое целое число, в сущности единственным способом можно представить в виде произведения простых чисел (15 = 3 • 5, 18 = 2 • 3 • 3).

  Примерно в 200 году до н. э. древнегреческий математик Эратосфен нашёл способ нахождения простых чисел, придумал «решето». Все вы знаете, что решето служит для отделения муку от отрубей после помола зерна, песка от камней и т. д.

 Пусть нам надо найти все простые числа, меньше 100.

• Выпишем все целые числа от 1 до 100 в виде прямоугольной таблицы. (приложение № 1)
• Вычеркнем все числа, кратные 2 (за исключением самой 2), проведя вертикальные черты во втором, четвертом и шестом столбцах.
• Вычеркнем все числа, кратные 3, (за исключением самой 3), проведя вертикальную черту в третьем столбце. Следующее за 3 не вычеркнутое число равно 5.
• Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 5, проведем диагонали, идущие вниз и влево.
• Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 7, проведем диагонали, идущие с наклоном вправо и вниз.
• Числа 8,9 и 10 – составные, их кратные уже были вычеркнуты раньше.

Наша работа по составлению списка простых чисел, не превосходящих 100, на этом заканчивается. Выпишем оставшиеся числа.  Всего их 25. Вот они: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Эратосфен записывал свою таблицу на папирусе, натянутом на рамку, и составные числа прокалывал. Получилось своеобразное сито, через которое составные числа просеивались, а простые оставались. Поэтому таблицу и сам способ назвали «Решетом Эратосфена». Решето Эратосфена - самый простой  способ нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения.

Возможно ли распознать простое число, как говорится, с первого взгляда? Если  зачеркнуть в сито сразу много чисел, сверкнет ли среди них простое, как золотая монета? Некоторые считают, что да. Например, числа, оканчивающиеся цифрой 1, часто оказываются искомыми (11, 31, 41, ...). Однако при этом следует быть осторожным, т.к. монета может оказаться фальшивой, как скажем, 21 или 81. По мере роста величины чисел, единица на конце все чаще вводит нас в заблуждение. Создается даже впечатление, будто простые числа, в конце концов, просто исчезают.

Бесконечность ряда простых чисел.

 Было замечено, что по мере продвижения от малого числа к большему в натуральном ряду простые числа встречаются всё реже. Поэтому возникает вопросов: существует ли последнее простое число в ряду натуральных чисел, т. е. имеет ли ряд простых чисел конец? 

Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20) около 300 лет до нашей эры. Он доказал, что за каждым простым числом имеется ещё большее простое число, т. е. существует бесчисленное множество простых чисел.  

 Он рассуждал так. Пусть их число конечное, тогда перемножим их все и к произведению прибавим единицу. Полученное число при делении на все простые числа будет давать в остатке единицу, следовательно, это число не может быть составным. Значит, оно простое. Но оно больше, чем любое из простых чисел, которые мы перемножили! А мы предположили, что в произведение вошли все простые числа. Таким образом, предположение о конечности количества простых чисел привело нас к противоречию, следовательно, простых чисел бесконечно много.

Таким образом, какую бы длинную серию последовательности составных чисел мы не встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены в том, что за нею найдется ещё бесконечно большее число.

Формулы для нахождения простых чисел.

Самое большое простое число.

Еще в глубокой древности ученых интересовал вопрос о том, по какому закону расположены в натуральном ряду простые числа.  Долгое время математики искали формулу, по которой можно было бы найти все простые числа. Леонард Эйлер указал на формулу P = n2 – n + 41. В ходе проверки выяснилось, при всех целых значениях n от 0 до 40 она даёт простые числа.

n = 1, Р = 12 – 1 + 41 = 41;

n = 3, Р = 32 – 3 + 41 = 47;

n = 12, Р = 122 – 12 + 41 = 173;

n = 21, Р = 212 – 21 + 41 = 461;

n = 35, Р = 352 – 35 + 41 = 1231;

Однако при n = 41 формула перестаёт «работать». 2 147 483 647 - самое большое простое число, которое в своё время нашел Эйлер.

        Французский монах  Марен Мерсенн (1588–1648 годы) обратил внимание на числа особого вида: 21 – 1 = 1; 22 – 1 = 3; 23 – 1 = 7;  24 – 1 = 15,…. и заинтересовался распределением простых и составных чисел в этой последовательности. С тех пор числа  вида    Мр = 2p – 1, где p – другое простое число, называются числами Мерсенна. Существуют достаточно быстрые способы проверки чисел такого вида на простоту, поэтому самым большим простым числом на сегодняшний день является число 257885161 – 1, т. е. число Мерсенна. Оно было найдено американским профессором Кёртисом Купером из университета Центральной Миссури в январе 2013 года. Оно является 48-м числом Мерсенна. Для записи числа - рекордсмена используется 17 425 170 знаков. Для того чтобы распечатать его на бумаге, понадобится более 13 тысяч страниц формата А 4. Открытие нового «рекордсмена» принесло Куперу денежный приз в размере 3 тысяч долларов.

        Предыдущим "чемпионом" являлось так же число Мерсенна и открытое тоже Купером. Коротко оно записывается 243112609 – 1 с помощью 12 978 189 десятичных символов.

Простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые числа.

Фонд Электронных Рубежей обещает наградить 150 и 250 тысячами долларов США людей, которые представят миру простые числа, состоящие из 100 миллионов и миллиарда символов. 

Свойства простых чисел.

Простые числа - простой математический объект, но загадок они доставили математикам немало и многие ещё не разгаданы.

• Если присмотреться к ряду простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,……, то можно отметить, что все они, кроме 2, нечетные.
• 168 мест первой тысячи натуральных чисел занимают простые числа. Из  них 16 чисел палиндромические, каждое равно обращённому: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Некоторые простые числа находят симметричное себе простое число:

4 пары двузначных 13 – 31, 17 – 71, 37 – 73, 79 – 97; 14 пар трёхзначных чисел 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941, 157 – 751, 167 – 761, 179 – 971, 199 – 991, 337– 733, 347 – 743, 359 – 953, 389 – 983, 709 – 907, 739 – 937, 769 – 967.

• Пары чисел, которые отличаются на 2, как 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73 и т. д., получили образное название «близнецы». Их ещё называют парными простыми числами. Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма чисел каждой пары (исключение составляет пара 3;5) всегда кратна трем. Более того, при делении на тройку левого собрата в остатке всегда остается двойка, а правого – единица. Все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n ± 1. Сейчас с помощью мощных компьютеров вычислены миллиарды простых чисел. На данный момент самыми большими «близнецами» являются 3756801695685 • 2666669 –  1 и 3756801695685 • 2666669 +  1, которые были обнаружены 24 декабря 2011 года. Для записи каждого из этих чисел понадобится 200700цифр. По мере удаления от нуля «близнецов» становится всё меньше. Так, в первой сотне натуральных чисел насчитывается восемь пар чисел – близнецов, а в пределах пяти сотен (с 9501 по 1000) – шесть. Но до сих пор неизвестно, конечно или бесконечно количество пар близнецов.  Нет пока ответа на вопрос о том, существует ли самая большая пара чисел - близнецов.
• Простые числа распределены очень прихотливо: между числами - близнецами стоит всего одно число, но можно указать такие простые числа, между которыми стоит миллион чисел, все из которых составные. Однако знаменитый русский математик П. Л. Чебышев в 1852 г. доказал, что между натуральным числом n и  вдвое большим числом (2n)  имеется всегда хотя бы одно простое число.  Например: 3 и 6 - между ними находится простое число 5; между 10 и 20 находятся 11, 13, 17, 19  и т. д.   Это утверждение впервые высказал французский математик Ж. Бертран, но доказать его не смог.
• Сумма двух простых чисел может быть простым числом: 2 + 3 = 5; 2 + 11 = 13 и др., но при условии, что одно из этих чисел будет равно 2, иначе сумма двух нечётных чисел будет чётным числом, следовательно, делится на 2 и не является простым.
• Сумма двух последовательных натуральных чисел может оказаться простым числом: 2 + 3 = 5; 3 + 4 = 7; 5 + 6 = 11; 6 + 7 = 13; 8 + 9 = 17 и т. д., а сумма трёх последовательных натуральных чисел не может быть простым числом  (2 + 3 + 4 = 9, 5 + 6 + 7 = 18,  каждый раз получается составное число).

• Ещё одну закономерность, не разгаданную по сей день, открыл в 1742 году российский академик Х. Гольдбах. Он заметил, что любое чётное число, большее 2, можно представить в виде сумму двух простых чисел: 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5 и т. д., а любое нечётное число, большее 5 – в виде суммы трёх простых чисел: 7 = 2 + 2 + 3; 11 = 3 + 3 + 5. Полностью это утверждение не доказано и не опровергнуто до сих пор. То, что это утверждение выполняется для всех очень больших нечётных чисел, доказал академик И. М. Виноградов в 1938 году.
• Хочется отметить любопытные закономерности в структуре некоторых подмножеств  простых чисел (приложение № 2)

Применение простых чисел.

Простые числа являются не только объектом пристального изучения математиками всего мира, но уже давно и успешно используются. Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Я узнал, что знание   открытых законов позволит создать качественно новые решения в следующих областях:

• Сверхзащищённая операционная система для банков и корпораций.
• Система борьбы с контрафактной продукцией и поддельными денежными знаками.
• Система дистанционной идентификации и борьбы с угонами автотранспорта.
• Система борьбы с распространением компьютерных вирусов.
• Компьютеры нового поколения на нелинейной системе счисления природы.
• Математико-биологическое обоснование теории гармонии восприятий.
• Математический аппарат для нано – технологий.

Заключение

     Несмотря на то, что мы живём в век компьютеров и самых современных информационных технологий, следует признать, что огромное количество загадок, связанных с этими тайными числами, все ещё ждут своих разгадок. Изучив весь материал, я пришёл к выводу:

• простые числа - загадка с более чем 2000-летней историей, многие ученые на протяжении многих веков вносили свой вклад в изучение этих чисел;
• простые числа представляют собой как бы кирпичики, из которых строятся все остальные числа;
• последовательность простых чисел бесконечна;
• не существует формулы, по которой можно было бы вычислить простые числа;
• не существует самого большого простого числа;
• простые числа - столп всех систем криптографии.
• в настоящее время исследование темы продолжается.

     Считаю, что работа   может быть использована как дополнительный материал к уроку математики в 6 классе, во внеурочной деятельности, на факультативных занятиях учащихся 6-7 классов. Тема исследования очень интересна, актуальна, не имеет границ изучения, должна вызвать широкий интерес у учащихся.

Источники информации

1. Арифметика: 5 класс: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений/С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. – М.: Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1996.

2. «Википедия» — свободная энциклопедия. Интернет.

3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.  Математика 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М; «Мнемозина», 2012г.

4. Детская энциклопедия, том 2, 2-ое издание. – М.: Издательство «Просвещение»,1965.

5. Зельцер И. С., Кордемский Б. А.Занятные стайки простых чисел. // Математика в школе, 1988, № 6.

6. Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка3-е изд., стереотипное, - М; «АЗЪ», 1996г.

7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы. – М.: Просвещение, 1990.

8. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.

9. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А. П. Савин, В. В. Станцо и др. – М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

10. http://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число

11. http://ppt4web.ru/matematika/resheto-ehratosfena.html 

Приложение № 1. Решето Эратосфена

Приложение № 2