ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Лудкова Дарина Павловна

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №29»

11 А класс

Научный руководитель

Курьян Татьяна Казимировна

учитель  математики

высшая квалификационная категория

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №29»

г. Северодвинск

пр. Морской д.56 А

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий школьного курса геометрии. Использование векторного метода является «панацеей» при решении многих планиметрических и стереометрических задач. Вектор находит широкое применение в физике. Но на этом использование вектора школьниками, как правило,  и заканчивается. Мне показалось интересным найти возможность использовать вектор при решении алгебраических задач.

Изучив соответствующую литературу, я установила, что «эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных
областях математики, механики, а также в технике».[5.126]. Работы Г. Вес-
селя, Ж.Аргана, К.Ф.Гаусса, В.Гамильтона,
Г. Грассмана, Ф.Мебиуса внесли огромный вклад в развитие векторного исчисления и его приложений. 

Однако, возможность использования свойств вектора при решении алгебраических задач, стала для меня настоящим открытием, подтолкнувшим к исследованию все новых и новых задач, решение которых с помощью вектора не только более «изящнее» традиционного способа, но реально даёт возможность сэкономить время на решении, избежать громоздких вычислений.

При решении задач векторным методом необходимы знания о свойствах  скалярного произведения двух векторов, а именно:|| · ||. Причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Заметим, что = || · ||, если векторы сонаправленые и = -|| · ||, если векторы противоположно направлены. [1.198] Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т. е. если векторы  и - коллинеарны, то . [2.320]

В данной работе я показываю возможность использования свойств векторов при решении уравнений и их систем, при решении и доказательстве неравенств, при исследовании некоторых свойств функций.

Рассмотрим уравнение .

ОДЗ:  отсюда .

Если  возвести в квадрат левую и правую части уравнения, произвести преобразования и снова возвести в квадрат, получим уравнение шестой степени, решение которого достаточно трудоемко.  Использование векторного метода  значительно упрощает решение.

Рассмотрим векторы  и . Найдем их скалярное произведение: . Вычислим длины векторов  и : ; и произведение их длин.

Таким образом, имеем: = || · ||, т. е. векторы сонaправлены. Тогда соответственные координаты пропорциональны. Поэтому,

       .

Отсюда и  x3 -3x2 +x +1 = 0.

Заметим, что х = 1 – корень полученного уравнения.

Тогда: x3 -3x2 +x +1=(x-1)(x2 -2x -1).

Отсюда

Второе уравнение имеет два корня х=1±

Ответ: 1; 1±

Весьма эффективным выглядит использование векторов при решении систем уравнений, которые на первый взгляд традиционным способом совсем не разрешимы.

Заметим, что х≥1 и у≥1.

Рассмотрим векторы  и .

Тогда  и .

, .

Тогда, из второго уравнения исходной системы следует, что , а это означает, что векторы  и коллинеарны. Значит,  и .

Рассмотрим функцию . Тогда f(x)=f(y). Так как функция  монотонно возрастает при х≥1, то  х=у.

Первое уравнение исходной системы принимает вид: . Отсюда . Учитывая, что х≥1, имеем

Ответ: .

Для решений заданий с параметрами требуется не только высокий уровень математического и, главное, логического мышления того, кто берется за решение таких заданий, но и способность осуществлять исследовательскую деятельность. Однако к некоторым из таких заданий можно приложить все тот же алгоритм векторного метода.

.

Рассмотрим уравнение, которое требуется решить для всех значений параметра р:  

Решение:

Выполним преобразования в левой и правой частях уравнения,

,

,

.

Получили уравнение вида: , где  , а . Заметим, что при  уравнение принимает вид: и имеет два корня:  -1 и 1.

Если , то остальные решения получим, решив уравнение

     .

Ранее получено, что 1 является корнем данного уравнения, поэтому решим  уравнение .

Итак, корнями уравнения является –р – 1 и р – 1.

Ответ: если р=0, то х=±1; если р≠0, то х=-1±р.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств – неотъемлемая часть любого экзамена, в том числе и Единого Государственного. Рассмотрим неравенство, которое, по моему мнению, не зная векторный метод решить выпускнику средней школы было бы очень сложно:

.

Рассмотрим векторы  и .  

Тогда ,     ,    ,

.

Исходя из неравенства , имеем .

На основании полученного и исходного неравенств получаем равенство

, из которого следует, что векторы  и  коллинеарны.

Следовательно, ,  и

 Отсюда , где k .                                                                                

Ответ: , где k .          

Решим систему неравенств:

Решим неравенство (1).

Пусть, , то

Получаем, , с другой стороны (по условию)

Значит,  , следовательно, векторы и коллинеарны, а их координаты пропорциональны, т. е.

Решим неравенство (2):

Пусть,  то 

Получаем,

С другой стороны,  , значит, , следовательно, векторы коллинеарны, а их координаты пропорциональны,

т. е.

Таким образом, что бы найти решение системы неравенств надо решить систему уравнений (1) и (2):

Ответ: (3;6).

Традиционными для различных олимпиад и конкурсов являются задания по доказательству неравенств. И традиционно эти задания считаются одними из самых сложных. Использование свойств векторов в некоторых случаях может свести самые большие проблемы к минимуму.

Рассмотрим следующее задание.

Доказать, если х1+х2+…+xn=3, y1+y2+…+yn=4, z1+z2+…+zn=5, то ;

Рассмотрим  n векторов таких, что  , тогда .

Пусть .

Тогда и

Давно и прочно вошли в экзаменационные работы задания по нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. Но далеко не все выпускники школы справляются с этими заданиями. На мой взгляд, это связано с проблемами по нахождению производных некоторых функций. Громоздкие преобразования «отпугивают» не только «троечников», и задачи остаются не решенными. Применение свойств векторов в некоторых случаях может помочь избежать эти трудности.

Найдем наибольшее значение функции .

Функция определена, если      Таким образом, .

Рассмотрим векторы   и  

 Заметим, что при x = 0,5 векторы имеют следующие координаты: , а значит векторы – сонаправлены.

Итак:, ,

,   = .

В силу неравенства ,   ; отсюда         ;     т.е.

Причем знак равенства достигается тогда, и только тогда, если векторы и коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны. Таким образом,

        Решая эту систему, получим  x = 2,5.

Таким образом, унаиб= у(0,5)= y(2,5)=2.

Ответ: 2.

Векторный метод показался мне не только универсальным, но вполне доступным для большинства моих сверстников. Мне захотелось поделиться своим открытием со старшеклассниками нашей школы. Никто из опрашиваемых мной учеников 9-11 классов не знал об этом методе. Мне представилась возможность познакомить  с результатом моих исследований учеников нашей школы. В свете предстоящих экзаменов векторным методом особенно заинтересовались некоторые одиннадцатиклассники. Вместе с ними мы нашли немало заданий, предлагаемых на ЕГЭ, при решении которых можно применить данный метод.

Свойства векторов, которые нашли широкое распространение в геометрии и в физике, явились плодотворными и в алгебре. Алгоритм применения свойств векторов позволил упростить решение многих сложных заданий, позволил создать особый метод решения различных алгебраических задач.

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2008.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия, 10 – 11: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2008.
3. Куланин Е. Д., Федин С. Н. 5000 конкурсных задач по математике. – М.: ООО «Фирма “Издательство АСТ”», 1999.
4. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Справочное пособие. – М.: МГУ, 1991.
5. Преподавание геометрии в 6—8 классах. Сборник статей. В. А. Гусев, Ю. М. Кояягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан. Векторы и их применение к решению задач. М.: «Просвещение» 1979.-
6. Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Составитель Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990.
7. Супрун В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998.
8. Супрун В. П. Нестандартные методы задач по математике. – М.: Полымя, 2000.