Проект "Неевклидовая геометрия"

Слайд 1

Слайд 2

Сферическая геометрия Сферическая геометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Основные факты сферической геометрии были основательно изучены еще в древности в связи с задачами астрономии. Поскольку поверхность земли приближенно имеет форму сферы, можно утверждать, что "земная геометрия" также является геометрией сферической (это реально ощущается при измерениях, затрагивающих значительные участки земной поверхности).

Слайд 3

Основные понятия Большой круг — это круг, который делит сферу на две равные половины. Центр большого круга всегда совпадает с центром сферы. На глобусе, к примеру, все меридианы являются большими кругами. А вот из параллелей только экватор является большим кругом. Все остальные параллели — это малые круги .

Слайд 4

Большие круги на поверхности сферы играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Кратчайший путь между любыми двумя точками пройдёт по линии большого круга. Углы между большими окружностями, как и углы между любыми другими линиями на сфере, принимаются равными углам между касательными к этим линиям в точках пересечения. Роль треугольников и многоугольников в сферической геометрии играют сферические треугольники и многоугольники, образованные дугами больших окружностей Через любые две точки на поверхности сферы, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. Через диаметрально противоположные точки на сфере можно провести бесконечное число больших кругов. Любые два больших круга пересекаются по прямой, проходящей через центр сферы, а окружности больших кругов пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферических двуугольника.

Слайд 5

Геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского ( гиперболическая геометрия ) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется на аксиому о параллельных прямых Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.

Слайд 6

История Попытки доказательства пятого постулата Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида — аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида. Среди многих пытавшихся доказать пятый постулат были, в частности, следующие крупные учёные: -Древнегреческие математики Птолемей (II в.) и Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными). -Ибн аль- Хайсам из Ирака (конец X — начало XI вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию). -Иранские математики Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения). -Первую в Европе известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в Провансе (Франция) Герсонид (он же Леви бен Гершом , XIV век). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника. - Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных). -Английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная , но не равная фигура).

Слайд 7

Модели Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида. Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель. Он также заметил, что орисфера в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Клейна и других.

Слайд 8

Модель Клейна Модель Пуанкаре Поверхность постоянной отрицательной кривизны Псевдосфера

Слайд 9

Содержание Иногда говорят, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Но это не совсем так. Есть только немного другое свойство параллельности: через одну точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Причем параллельность сохраняется только в сторону уменьшения расстояния между прямыми. Этот, казалось бы, простой факт, меняет всю геометрию. Как, например, в геометрии Евклида доказывается, что сумма углов треугольника равна 180 ? Используется свойство углов при накрест лежащих прямых, и выходит, что  1+  2+  3= 180 . Но так как в геометрии Лобачевского параллельность сохраняется только в одном направлении, то для нахождения суммы углов треугольника, нужно провести две прямые, параллельные данной в разные стороны. Теперь сумма углов треугольника меньше 180 . Эта разница была названа Лобачевским дефектом треугольника . Одними из важных объектов на плоскости Лобачевского являются пучки прямых. Но чтобы описать эти пучки, сначала надо уяснить, что в плоскости Лобачевского есть три типа расположения прямых: прямые или параллельны , или пересекаются , или являются расходящимися. Первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка. Пучок расходящихся прямых – это перпендикуляры к одной прямой – оси пучка. Из этого определения выходит интересное и, казалось бы, абсурдное утверждение, что два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, и отличие от геометрии Евклида. И, наконец, пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении.

Слайд 10

Геометрия Лобачевского в реальном мире. Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир – не мир Евклида, как принято считать? 1.Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6. 2.На поверхностях с отрицательной кривизной работает геометрия Лобачевского. Но именно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей! Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского.

Слайд 11

Геометрия Римана В своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 году, немецкий математик Риман замечает, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным. Но что получится, если отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые – суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере. Речь идет по сути о различии между бесконечностью и безграничностью; это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, в то время как другая имеет конечное протяжение. Риман считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку P перемещаться по прямой a все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч AP вообще не будет иметь никакого предельного положения; не существует вообще никакой прямой, проходящей через точку A параллельно прямой a . Таким образом у Римана строится второй вид неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.

Слайд 12

Геометрия Римана имеет много общего с обычной геометрией Евклида. Так, например, здесь также справедливы теоремы о сравнительной длине сторон треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности), о свойствах равнобедренного треугольника, о замечательных точках треугольника, признаки равенства треугольников. Первый и второй признаки равенства треугольников доказываются так же, как и в случае евклидовой геометрии. Третий признак равенства треугольников также может быть доказан с помощью обычного приема - с использованием теорем о равнобедренном треугольнике. Только наряду с "третьим признаком равенства треугольников" в неевклидовой геометрии Римана имеет место еще так называемый "четвертый признак равенства треугольников": два треугольника равны, если углы одного из них соответственно равны углам второго.

Слайд 13

Основные понятия неевклидовой геометрии Римана. Прямые - дуги больших окружностей. Геометрия Римана не знает параллельных, в ней любые две прямые имеют общую точку. В самом деле: на глобусе любые два меридиана пересекаются в полюсах. Сумма углов любого треугольника на сфере всегда больше 180 градусов. Прямая имеет конечную длину, плоскость - конечную площадь и т.д.