Теорема Дирихле.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

 ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

«МОСКОВСКОЕ СРЕДНЕСПЕЦИАЛЬНОЕ УЧИЛИЩЕ

ОЛИМПИЙСКОГО РЕЗЕРВА №1(ТЕХНИКУМ)»

ДЕПАРТАМЕНТА ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ И СПОРТА

 ГОРОДА МОСКВЫ

Реферативный проект по математике:

Теорема Дирихле.

Выполнил

учащийся 7 «А» класса

 Прозоров Иван

Москва,2013 г.

Паспорт проекта:

Актуальность:

         В математике существует множество теорем. Некоторые из них достаточно просты и понятны даже новичку, а некоторые требуют определенных объяснений и доказательств. Однако все они весьма эффективны, и их легко можно применять на практике. Одним из них является теорема Дирихле. В век информационных технологий важным является успешное сохранение важной информации – кодирование. Кодирование при помощи простых чисел одно из самых сильных.

Цель работы:

Выяснить, бесконечно ли много простых чисел и их вид при помощи принципа Дирихле.

Задачи:

• Узнать, формулировку теоремы Дирихле;
• Изучить различные записи простых чисел;
• Познакомить своих одноклассников с принципом Дирихле.

Этапы работы:

• Сбор информации по данной проблеме;
• Обработка полученной информации;
• Оформление результатов;
• Защита работы.

Введение

Теория чисел является одним из древнейших разделов математики. Она возникла как наука, изучающая свойства натуральных чисел. Понятие натурального числа и арифметических действий над числами являются одним из первых математических абстракций, имеющих важнейшее значение для математики и других наук и всей прикладной деятельности человечества.

В дальнейшем круг рассматриваемых в теории чисел вопросов значительно расширился. В ней изучаются свойства различных классов чисел: целых, рациональных, алгебраических, трансцендентных. Но и в настоящее время целые числа являются важнейшим объектом исследования.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число, начиная с 2, единственным способом представляется в виде произведения простых чисел. Таким образом, простые числа – это те элементы, из которых при помощи умножения строятся натуральные числа. Поэтому одной из важнейших задач теории чисел является  изучение свойств простых чисел.

Некоторые результаты о простых числах были получены еще в Древней Греции. В книге Евклида «Начало»(4-3 вв. до н. э) содержит доказательство множества простых чисел. Древнегреческий ученый Эратосфен (276-194 гг. до н.э)  нашел способ составления таблиц простых чисел, названный позднее «решетом Эратосфена».

В 1837 году  Г. П. Лежен-Дирихле (1805-1859) доказал, что в любой арифметической прогрессии, разность и первый член которой взаимно простые числа, содержится бесконечное множество простых чисел. Пусть

mn + l, n=1,2, …,      (1,1)

прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.

Условие (m, l)=1, наложенные на числа m и l в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d=(m, l)>1, все члены прогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.

Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.

Полностью доказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.

В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L (1,χ)≠0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 году Дирихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.

Простейшие случаи теоремы Дирихле.

Следуя доказательству Евклида теоремы о бесконечности множества простых чисел, нетрудно показать, что существует бесконечное множество простых чисел вида 4n+3.

Предположим противное, что множество таких чисел конечно. Перенумеруем их в порядке возрастания:

=3, =7, …,   (1,2)

и рассмотрим число

N=4…-1.

Это число нечетно, и поэтому все его простые делители нечетны. Произведение любых двух чисел вида 4n+1 имеет, как легко можно проверить такой же вид. Отсюда, ввиду того, что  N  имеет вид 4n+3, следует, что у N есть простой делитель вида 4n+3. Обозначим его буквой p. Так как N не делится ни на одно из чисел , …, , то p  отлично от всех чисел (1.2). Это приводит к противоречию с тем, что в совокупности (1.2) содержатся все простые числа вида 4n+3. Тем самым доказано, что множество простых чисел вида 4n+3 бесконечно.

Столь же просто доказывается бесконечность множества простых чисел вида 6n+5.

Элементарное доказательство того, что существует бесконечное множество простых чисел вида 4n+1, несколько сложнее и требует привлечения новой идеи. Предшествующее рассуждения основывались на утверждении:

а) натуральное число вида 4n+3 имеет простой делитель того же вида.

Теперь нужно использовать другое утверждение:

б) пусть a и b – взаимно простые целые числа. Тогда каждый простой нечетный делитель числа + имеет вид 4n+1.

Этот факт будет доказан далее. Но пока воспользуемся им без доказательства.

Предположим, что простые числа вида 4n+1 образуют конечное множество. Обозначим их

=5, =13, …, (1,3)

И рассмотрим число

N=+1.

Если p- простой делитель N, то очевидно, что p- нечетное число и отличное от , …, . В то же время из утверждения б) следует, что простое число p имеет вид 4n+1. Это противоречит тому, что совокупность (1.3) содержит все простые числа вида 4n+1.

Утверждения того же типа, что и а) и б), может использовать совместно и полечить еще ряд результатов, аналогичным  уже доказанным.

Предположим, например, что множество простых чисел вида 8n+5 конечно. Пусть оно состоит из чисел

=5, =18, …, (1,4)

Рассмотрим число

N=.

Квадрат нечетного числа при делении на 8 дает, как легко проверить, в остатке 1. Поэтому число N при делении на 8 дает в остатке 5. Так как произведение нескольких чисел вида 8n+1 есть снова число того же вида, то существует простой делитель числа N, не содержащийся в прогрессии 8n+1. Ввиду утверждения б) число p имеет вид 4n+1 и, значит, содержится в прогрессии вида 8n+5.

Итак, число N имеет простой делитель p вида 8n+5 и не делится ни на одно из чисел совокупности (1.4). Поэтому p отлично от всех чисел (1.4). Но это противоречит тому, что совокупность (1.4) содержит все простые числа вида 8n+5. Тем самым доказано, что в прогрессии 8n+5  содержится бесконечное множество простых чисел.

Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам:

• Простых чисел бесконечно много;
• Выделяются несколько видов простых чисел;
• Простые числа применяются в кодирование информации.

Список использованной литературы:

1.В.Серпинский «Что мы знаем и чего не знаем о простых числах».

2.А.Е.Ингам «Распределение простых чисел».

3.П.Г.Лежен Дирихле «Лекции по теории чисел».