Проектная работа "Решение задач ЕГЭ с помощью графов"

Решение задач ЕГЭ с помощью графов.
Презентацию подготовили ученицы 7 классасредней школы № 8 г Аткарска Саратовской области.Савинова Дарья и Курапова Анастасия.Учитель: Юшкова Е.А
1736 год, г. Кёнигсберг. Через город протекает река Прегеля. В городе - семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке. С давних времен жители Кёнигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках - проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.
Разрешить проблему удалось знаменитому математику Леонарду Эйлеру. Причем, он решил не только эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. При решении задачи о Кёнигсбергских мостах Эйлер поступил следующим образом: он "сжал" сушу в точки, а мосты "вытянул" в линии. Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют ГРАФОМ.
Граф – это совокупность непустого множества вершин и связей между вершинами. Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами.
2. Неориентированный граф - это граф, в котором нет направления линий.
3. Взвешенный граф – дуги или ребра имеют вес (дополнительная информация).
Решение задач с помощью графов:Задача 1.
Пятеро ученных, участвовавших в научной конференции, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
1
2
3
4
5
Ответ: 10.
Задача 2 (для самостоятельного решения):В шахматном турнире участвуют 10 шахматистов. Сколько будут сыграно партий, если каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии?
Решение:109:2=45
Задача 3 (для самостоятельного решения):В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?
Решение:1004:2=200
Задача 4.
На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого высокого к самому низкому.
Л
Р
Б
Я
Т
Д
К
С
Задача 5 (для самостоятельного решения): Пять наи­бо­лее длин­ных рек Рос­сии (учи­ты­ва­ет­ся наи­боль­шая длина с при­то­ка­ми) — это Амур, Ени­сей, Иртыш, Лена и Обь. При этом Лена длин­нее Ени­сея, но ко­ро­че Оби, Амур длин­нее и Лены и Ир­ты­ша. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.1) Амур — пер­вая или вто­рая по длине река2) Ени­сей — вто­рая или тре­тья река по длине3) Лена длин­нее Ир­ты­ша4) Амур длин­нее Оби(Образовательный портал по подготовке к экзаменам «Решу ЕГЭ»)Ответ: 1 утверждение
Задача 6.
У Наташи есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?
П
О
А
П
К
Т
П
К
Т
Письмо
Конверт
Марка
Ответ: 6 способов
3
Ю
Ю
4
Т
Т
Т
  При де­мон­стра­ции лет­ней одеж­ды на­ря­ды каж­дой ма­не­кен­щи­цы от­ли­ча­ют­ся хотя бы одним из трёх эле­мен­тов: блуз­кой, юбкой и туф­ля­ми. Всего мо­де­льер при­го­то­вил для де­мон­стра­ции 5 видов блу­зок, 3 вида юбок и 4 вида ту­фель. Сколь­ко раз­лич­ных на­ря­дов будет по­ка­за­но на этой де­мон­стра­ции? (Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2015 г.)
Решение: 345=60
Б
5
Б
Б
Б
Наряд
Задача 7 (для самостоятельного решения):
Задача 8 (для самостоятельного решения):В меню ре­сто­ра­на име­ет­ся 6 видов са­ла­тов, 3 вида пер­вых блюд, 5 видов вто­рых блюд и 4 вида де­сер­та. Сколь­ко ва­ри­ан­тов обеда из са­ла­та, пер­во­го, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать по­се­ти­те­ли этого ре­сто­ра­на? (Образовательный портал по подготовке к экзаменам «Решу ЕГЭ»)
Решение:6354=360

Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 6 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат? (Образовательный портал по подготовке к экзаменам «Решу ЕГЭ»)
Задача 9 (для самостоятельного решения):
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0
-1
1
-2
1
2
3
4
5
6
0
2
Начало координат
Первый прыжок
Второй прыжок
Третий
Четвёртый
Пятый
Шестой прыжок
Если построить граф к данной задаче, то чётко видно, что это точки: : -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6.
Решение:
Примеры взвешенных графов.
Задача 11(для самостоятельного решения): Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Одновременно из пункта А в пункт D выехали грузовик, автобус и легковой автомобиль. Грузовик едет через пункт B со средней скоростью 35 км/ч, автобус едет через пункт C  со средней скоростью 30 км/ч. По третьей дороге — без промежуточных пунктов — едет легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам. Какое транспортное средство доберётся до D позже других? (Открытый банк заданий по математике. ЕГЭ 2015.)
Литература:Березина Л.Ю. Графы и их применение. Пособие для учителей. М.: Наука, 1980 г. Мельников О.И. Теория графов в занимательных задачах. М.: Либроком, 2008 г.Интернет ресурсы:Википедия – https://ru.wikipedia.org Открытый банк заданий по математике – http://mathege.ru Образовательный портал по подготовке к экзаменам «Решу ЕГЭ» - http://math.reshuege.ru Глобальная школьная лаборатория - https://globallab.orgУчимся решать логические задачи - http://logika.vobrazovanie.ru