Прикладная геометрия: "Интересные задачи"

Отметим, что
A
– глаз наблюдателя, стоящего на берегу реки, у края обрыва,
MN
– поверхность воды.
Какие звёзды может видеть в воде наблюдатель из точки
A
?
Решение:
опустим из точки
A
перпендикуляр
AD
на прямую
MN
и продолжим его на равное расстояние, до точки
A̕
. Если бы глаз наблюдателя находился в
A
̕, он мог бы видеть только ту часть звёздного неба, которая помещается внутри угла
BA̕ C
. Таково же и поле зрения действительного наблюдателя, смотрящего из точки
A
. Звёзды, находящиеся вне этого угла, не видны наблюдателю; их отражённые лучи проходят мимо его глаз.
Как убедиться в этом? Как доказать, что, например, звезда
S
, лежащая вне угла
BA̕C
, не видна нашему наблюдателю в водном зеркале реки?
Дано:
в 40 метрах одна от другой растут две сосны. Измерив их высоту, одна оказалась 31 метр высоты, другая, молодая, - всего 6 метров.
Вопрос
:
возможно ли вычислить, как велико расстояние между их верхушками
?
Решение:
искомое расстояние между верхушками сосен по теореме Пифагора равно



 

Задача 1
«Две сосны»

Задача 3
«Звёздное небо в реке»
Река и в ночное время предлагает геометру задачи.
У Гоголя в описании Днепра: «Звёзды горят и светят над миром и все разом отдаются в Днепре. Всех их держит Днепр в тёмном лоне своём: ни одна не убежит от него, разве погаснет в небе». В самом деле, когда стоишь на берегу широкой реки, кажется, что в водном зеркале отражается целиком весь звёздный купол.
Вопрос:
но так ли в действительности? Все ли звёзды «отдаются» в реке?
ГБОУ СОШ № 2 с. Обшаровка м. р. Приволжский
Прикладная геометрия:
Интересные задачи
Выполнила:

ученица 9 А класса
Овчинникова
Анастасия
Учитель: Павлова Ольга Владимировна
2015 год
Объясним, как ими пользоваться. Пусть на рисунке
a
и
b –
ваши глаза, точка М – конец пальца вытянутой руки, точка А - первое положение пешехода, В – второе. Треугольники
abM
и
ABM
подобны (вы должны повернуться к пешеходу так, чтобы
ab

было приблизительно параллельно направлению его движения). Значит,
BM
:

bM
= AB
:
ab
–
пропорция, в которой не известен только один член
BM
, всё же остальные можно определить непосредственно. Действительно,
bM
–
длина вашей вытянутой руки,
ab
– расстояние между

зрачками ваших глаз,
AB
измерено шагами пешехода (шаг можно принять в среднем равным
м). Следовательно, неизвестное расстояние от вас до пешехода на противоположном берегу реки
MB = AB ∙
Если, например, расстояние между зрачками глаз
ab
у вас 6 см, длина
bM

от конца вытянутой руки до глаза 60 см, а пешеход сделал от
A

до
B
, скажем, 14 шагов, то расстояние его от вас
MB

= 14 ∙
= 140 шагов, или 105 метров.
Достаточно вам заранее измерить у себя расстояние между зрачками и
bM
– расстояние от глаза до конца вытянутой руки, чтобы, запомнив их отношение , быстро определять удаление недоступных предметов. Тогда останется лишь умножить
AB
на это отношение. В среднем у большинства людей
= равно 10 с небольшими колебаниями.
 
Решение:
у вас нет приборов, но есть глаза и руки. Нужно вытянуть руку вперёд по направлению к пешеходу и смотреть на конец пальца одним правым глазом, если пешеход идёт в сторону вашей правой руки, и одним левым глазом, если пешеход идёт в сторону левой руки. В тот момент, когда отдалённый пешеход покроется пальцем, вы закрываете глаз, которым сейчас смотрели, и открываете другой: пешеход покажется вам словно отодвинутым назад. Сосчитайте, сколько шагов сделает он, прежде чем снова поравняется с вашим
пальцем. Вы получите все данные , необходимые для приблизительного определения расстояния.
Задача 2
«Пешеход на другом берегу»
Дано:

по берегу вдоль реки идет пешеход, с другого берега мы отчётливо различаем его шаги.
Вопрос:
возможно ли вычислить, каково расстояние между вами и другим пешеходом? Если мы не имеем никаких приборов
Проследим за её лучом , падающим близко к берегу, в точку
M
; он отразится, по законам физики, под таким углом к перпендикуляру
MP
, который равен углу падения
SMP

и, следовательно, меньше угла
PMA
(это легко доказать, опираясь на равенство треугольников
ADM
и
A̕ DM
);
Значит, отражённый луч должен пройти мимо
A
. Тем более пройдут мимо глаз наблюдателя лучи звезды
S
, отразившееся в точках, расположенных дальше точки
M
.
Значит, гоголевское описание содержит преувеличение: в Днепре отражаются далеко не все звёзды видимого нами звёздного неба.