Замечательные точки в треугольнике

Слайд 1

Проектная работа по геометрии на тему « Замечательные точки треугольника » Выполнила ученица 9 «А» класса ГОУ СОШ №1929 Шеина Анастасия Учитель – Гладышева Елена Михайловна

Слайд 2

План 1. Четыре замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, центр вписанной окружности, центр тяжести и ортоцентр. 2. Теорема Чевы. 3. Теорема Менелая. 4. Теоремы о пересечении в одной точке а) медиан треугольника; б) биссектрис треугольника; в) высот треугольника. 5. Прямая Эйлера. Введение. Из истории замечательных точек треугольника.

Слайд 3

Из истории замечательных точек треугольника Фрагмент папируса с текстом "Начал" Евклида

Слайд 4

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

Слайд 5

Центр вписанной в треугольник окружности – точка пересечения биссектрис углов этого треугольника.

Слайд 6

Центр тяжести – это точка пересечения медиан.

Слайд 7

Ортоцентр – это точка пересечения высот треугольника.

Слайд 8

Теоремы Чевы и Менелая Джованни Чева

Слайд 9

Пусть точка А 1 лежит на стороне ВС треугольника АВС , точка B 1 - на стороне АС , а точка С 1 - на стороне AB . Отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 (называемые также чевианами ) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда Теорема Чевы

Слайд 10

Теорема Менелая Пусть точка A 1 лежит на стороне ВС треугольника АВС , точка В 1 - на стороне АС , а точка C 1 - на продолжении стороны AB . Точки A 1, B 1 и C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Слайд 11

Задача В треугольнике АВС А D – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? Решение . Пусть В D = D С=а, АО=О D = m . Прямая ВК пересекает две стороны треугольника ADC и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая Ответ: 1:2

Слайд 12

Теорема о пересечении в одной точке медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Слайд 13

Теорема о пересечении в одной точке биссектрис треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Слайд 14

Теорема о пересечении в одной точке высот треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Слайд 15

Три замечательные точки треугольника – точка пересечения медиан (М), точка пересечения высот (Н) и центр описанной окружности (О) – всегда лежат на одной прямой, которая называется прямой Эйлера, при чем ОМ:МН=1:2.