Проектно- исследовательская работа на тему «Лист Мёбиуса».

МБОУ Тюменцевская СОШ

Проектно- исследовательская работа на тему «Лист Мёбиуса».

Автор: Шакуля Даниил, учащийся 7-б класса.

Руководитель: Кексель Г.А., учитель математики.

с. Тюменцево, 2016г.

В 7 классе мы начали изучать предмет «Геометрия», который позволяет  подробно

изучать геометрические фигуры и их свойства. От учителя узнали, что существует

необычная фигура и называется она «Лист Мебиуса» и у нее необычные свойства.

Эта удивительная поверхность, которая имеет только одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Хотя лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни.  Его удивительные свойства использовались и используются в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих писателей и художников. Эта тема не может быть не интересной. Так возникла идея моего проекта. Многие знают, что такое лист (лента) Мёбиуса, но  тем, кто ещё не знаком с ним и его свойствами, я предлагаю вместе со мной провести изучение и исследование.

Цель и задачи проекта.

1) Изучение истории открытия листа Мёбиуса.

2) Изготовление листа Мёбиуса и исследование  его свойств.

3) Нахождение объектов в окружающем мире, имеющих функциональные сходства с листом  Мёбиуса.

4) Применение листа Мёбиуса в повседневной жизни.

1). История открытия листа.

  Таинственный  и  знаменитый  лист  Мёбиуса придумал  в 1858г. немецкий геометр  Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля  математики» Гаусса.   В  возрасте  68 лет  ему удалось  сделать открытие  поразительной  красоты.  Это  открытие  односторонних  поверхностей.   Согласно легенде  открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг. Свою работу он опубликовал на три года раньше Мёбиуса. Но лента получила имя Мёбиуса. Таковы превратности судьбы.

2). Изготовление листа Мебиуса и изучение его свойств.

  Я запасся несколькими листами обычной бумаги, клеем, ножницами и красками.  Самое  удивительное то, что изготовить лист Мёбиуса своими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине (10:1).  

  Я задался вопросом: « Сколько сторон у этого листа бумаги? Две, как у любого другого?»  Попробовал закрасить  это кольцо с одной стороны.

 Моя попытка закрасить только одну сторону листа Мёбиуса была обречена на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона.

   Я  вырезал бумажного человечка и  отправила его  вдоль  пунктира, идущего  посередине  листа  Мёбиуса.  Он  вернулся к  месту  старта. Но  в  каком  виде?  В  перевернутом! А   чтобы  он  вернулся  к  старту  в нормальном  положении,  ему нужно было совершить  ещё  одно «круголистное»  путешествие.                            

Лента Мебиуса обладает любопытными свойствами.

Если разрезать простое кольцо ножницами вдоль, то получится два кольца вдвое меньшей ширины, чем первоначальное.

А что получится, если разрезать ленту Мёбиуса?

Я разрезал ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв. Вместо двух лент Мебиуса получилась одна длинная двусторонняя лента с двумя полными оборотами, которую называют «афганская лента».                       

  Я поставил перед собой вопрос: «Что будет, если разрезать лист Мёбиуса  вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?»

  У меня получилось две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).                                          

- А если разрезать на три части? Я получил  два  сцепленных  кольца.  Одно  из  них  вдвое   длиннее  исходного  и  перекручено  два  раза. Второе -  лист  Мёбиуса,  ширина  которого  втрое  меньше,  чем у исходного.                                  

Я продолжил перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один.

Опыты по исследованию свойств ленты Мёбиуса

Разрез ленты с дополнительными оборотами дал мне неожиданные фигуры.

Я  узнала, что они  называются  парадромными кольцами.

ИТАК, В РЕЗУЛЬТАТЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Я ВЫЯСНИЛА, ЧТО

1.Лист Мёбиуса - односторонняя поверхность                                                          

2. Второе свойство листа  – непрерывность.

3.Третье свойство – связность.

3)Нахождение объектов в окружающем мире, имеющих функциональное свойство с листом Мебиуса.

Вселенная замкнута в  ленту Мебиуса.

  Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в  ленту Мебиуса. Согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта. Это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лента Мёбиуса  - прародитель символа бесконечности.

  Ленту Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Спираль ДНК –фрагмент ленты Мебиуса.

  Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе  является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение или аннигиляция, как подтверждают физики.

Ритмы мёбиусного вихря.

 В ритмологическом ключе знак ленты Мёбиуса приобретает иное наполнение. Мы знаем, что есть ритмы, благодаря которым мы развиваем своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей. Чтобы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» - ритмами и «информо» - ритмами разместились ритмы Мёбиусного вихря. Учёные предполагают, что благодаря им мы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации к энергии, сохраняя при этом баланс между планетарной и человеческой сторонами жизни. Ритмы Мёбиусного вихря позволяют нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот.

4)Применение листа Мёбиуса в повседневной жизни.

Листа Мёбиуса в технике.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами. 

Лист Мёбиуса применяют  в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.

В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это  позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

7)Графическое искусство

Лист Мёбиуса служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

8)Скульптура

В  МОСКВЕ на станции метро «Фрунзенская», напротив кинотеатра «Горизонт», есть памятник «Ленте Мёбиуса».

В качестве примера использования ленты Мебиуса российскими художниками можно привести скульптуру «Лента Мебиуса и шар», созданную Александром Эткало.

9)Архитектура

О ленте Мебиуса ходит очень много легенд, одна из которых заключается в том, что если посмотреть сквозь эту ленту на мир под каким-то особенным углом, можно увидеть его совсем в другом свете. Интересен в этом смысле проект «Дом Мёбиус», построенный по принципу ленты Мёбиуса. Дом возведен в 1992-1998гг. в Голландии. Он представляет собой сосуществование двух параллельных миров (в каждом – офис и спальня), соединяющихся в некоторых общих точках и вновь расходящихся.

Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.

Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

10)Лист Мёбиуса в повседневной жизни

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам.

Более 100 лет она используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Лента Мебиуса  вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мёбиус, словно состоящих из одной хитро свернутой ленты.

Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

11) «Памятники» математику А.Ф.Мёбиусу

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius).

Лист Мёбиуса в литературе.

 Чудесные свойства ленты породили множество фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса.

Листу Мёбиуса посвящены стихи. Одно из стихотворений «Лист Мёбиуса» написано Н. Ю. Ивановой

Лист Мебиуса – символ математики,

 Что служит высшей мудрости венцом…

 Он полон неосознанной романтики:

 В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

                              Что недоступна даже мудрецам:

                              Здесь на глазах преобразилась плоскость

                               В поверхность без начала и конца.              

Как о порог, об этот ноль споткнешься.

Но как бы ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)

Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

 Заключение.

В ходе работы над проектом я узнал много интересного о листе Мёбиуса.  Лист  обладает замечательными свойствами и находит применение  в реальной жизни.Он интересен не только математикам, но и физикам, биологам, писателям, художникам, скульпторам, инженерам и просто школьникам.  Даже мастерицы - рукодельницы изготавливают шарфики,  закрученную в эту чудо-ленту.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета. А, я, гуляя по всемирной паутине, наткнулся на лауреатов конкурса Мёбиуса. Мне стало интересно, за что присуждается эта премия? Конкурс Августа Мёбиуса был учрежден в 1997 году для выявления лучших студенческих и аспирантских работ по математике и для оказания финансовой поддержки их авторам при продолжении их работы в России.

Список используемой литературы

1) В.А.Гусев, А.И.Орлов, А.Л.Розенталь «Внеклассная работа по математике», М., Просвещение, 2006г.

2) Ю.А.Данилова «Математический  цветник» М., Просвещение, 2009г.

 3) Д. Я. Стройк  «Краткий очерк истории математики», М., Просвещение, 2001г.

4) И. Н. Шарыгин  «Наглядная геометрия», М., Дрофа, 2011г.