Нетрадиционные методы вычисления площадей плоских фигур
Границ познанию предвидеть невозможно
Д.И. Менделеев
Необходимость в измерении площадей возникла из жизненных потребностей человечества. Первые приобретенные геометрические знания, связанные с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов (в Древнем Китае мерой площади был прямоугольник). Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции.
На уроках геометрии при изучении темы «Площади многоугольников» в 8 классе меня заинтересовали вопросы, есть ли другие методы и приемы решения задач на нахождение площади плоских фигур, отличные от рассмотренных в учебнике геометрии, в чём заключается особенность таких приемов, к решению каких задач можно их применить. Именно эти и другие вопросы стали основой нашего исследования. Оказывается, задачи, связанные с измерением площади, достаточно разнообразны. Для многих задач нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 stegaylovaa.docx | 355.26 КБ |
 stegaylovaa.pptx | 1.33 МБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» Д. Пойя
Актуальность и практическая значимость : материалы исследования оригинальные, востребованные и полезные, могут использоваться на уроках геометрии при изучении тем, связанных с вычислением площадей фигур на плоскости, при подготовке к экзаменам по математике в 9 и 11 классах, на факультативных занятиях и элективных курсах.
Цель: раскрыть содержание нетрадиционных методов и приёмов решения задач на вычисление площади фигур, сравнить и показать их преимущество. Задачи: подобрать необходимую литературу; отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию; проанализировать и систематизировать полученную информацию; создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.
Объект исследования : задачи на вычисление площади фигур на плоскости. Предмет исследования : нетрадиционные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур. Гипотеза : нетрадиционные методы и приемы вычисления площади фигур позволяют решать многие геометрические задачи более эффективным способом, с меньшей затратой времени и без знаний формул планиметрии.
Нетрадиционные методы вычисления площадей плоских фигур Координатный метод вычисления Универсальная формула Симпсона Формула Пика А H E C M D F B
Евклид Рене Декарт Герон Александрийский Георг Пик Пьер Ферма
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырехугольни к. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика S1= 1/2ab =1/2 х 7 = 3,5 S2= 1/2ab =1/2 х 7 х 2=7 S3= 1/2ab =1/2 х 4 х 1=2 S4= 1/2ab =1/2 х 5 х 1=2,5 S5=a²=1²=1 Sкв.= a²=7²=49 S=49-3.5-7-2-2,5-1=32см² S= B + Г /2 - 1 Г= 4 ; В=31. S=31+ 4/2 -1=32 см²
Методы исследования сравнение , обобщение , анал из , изучение литературных и Интернет-ресурсов , классификация информации .
Новизна исследования заключается в выявлении и поиске новых подходов и методов решения планиметрических задач на нахождение площади плоских фигур, отличных от рассмотренных в школьном курсе геометрии.
Первые приобретенные геометрические знания, связанные с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.
Что такое площадь? Площадь — численная характеристика плоской или искривлённой геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой, а фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой .
N P K M
Формула Пика Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В + Г /2 − 1 , где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. A C D B
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен восьмиугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика S1= =1/2ab=1/2x2x 4=4 S2=1/2ah=1/2x4x4=8 S3=1/2ah=1/2x8x2=8 S4=1/2ah=1/2x4x1=2 S пр .=a x b=6 x 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 см ² S= B + Г /2 - 1 Г=16; В=17. S= 17 + 16 /2 – 1=24 см²
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика S1=1/2ab=1/2x3x3=4,5 S2=1/2ab=1/2 6 6=18 S3=1/2ab=1/2 3 3=4,5 S4=1/2ab=1/2 6 6=18 S кв .=9²=81 см ² S=81-4 ,5-18-4,5-18=36см² S= B + Г /2 - 1 Г=18;В=28. S=28+ 18 /2-1= 36см²
Координатный метод вычисления площадей Метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Р. Декартом (1596-1650) и П. Ферма (1601-1665), является мощным аппаратом, позволяющем переводить геометрические понятия на алгебраический язык. В основе этого метода лежит понятие – система координат.
Найдите площадь треугольника по заданным координатам вершин Рисунок По формуле геометрии Коорди-натный метод F 3 = 4 х 8+3 х 14+10 х 4-14 х 8-3 х 10-4 х 4= -44 см ²
Универсальная формула Симпсона С помощью формулы Симпсона можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника. Она имеет вид: Где b1 - длина нижнего основания, b2 - длина среднего основания, b3 - длина верхнего основания, h – высота фигуры.
Универсальная формула Симпсона для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) A B C D b1 h b2 b3
Универсальная формула Симпсона для трапеции A B C D b1 h b2 b3
Универсальная формула Симпсона для треугольника b1 b2 b3 A B C
Заключение Подводя итог нашей работы можно сделать вывод: гипотеза оказалось верной : нетрадиционные методы и приемы вычисления площади плоских фигур позволяют решать многие геометрические задачи более эффективным способом, с меньшей затратой времени и без применения формул школьного курса планиметрии
Спасибо за внимание
Как представляли себе будущее в далеком 1960-м году
Рыжие листья
Ломтик арбуза. Рисуем акварелью
Н. Гумилёв. Жираф
Мост из бумаги для Киры и Вики