Исследовательская работа по математике "Лист Мёбиуса и его свойства"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15» г.Заволжье

Городецкого района Нижегородской области

Исследовательский проект

на тему

«Лист Мёбиуса и его свойства»

Выполнил:

 Кудряшов Никита

Ученик 8 «А» класса 

e-mail: nicolos99@mail.ru

Руководитель:

учитель математики и информатики

Ярцева Ксения Юрьевна

e-mail: ksenechka_zorina@mail.ru

Адрес ОУ:

606524, Нижегородская область, Городецкий район,

г.Заволжье, ул.Пушкина,д.4, МБОУ СОШ №15

 e-mail: school15-zav@mail.ru

2013-2014 учебный год

Введение        

1. Историческая справка.        

2. Лента Мёбиуса - начало новой науки топологии.        

3. Как изготавливают лист Мёбиуса.        

4. Опыты с листом Мебиуса.        

4.1. Изучение свойств листа Мёбиуса с помощью окрашивания.        

4.2. Изучение свойств листа Мёбиуса с помощью разрезания.        

5. Топологические свойства листа Мёбиуса.        

6. Применение листа Мёбиуса.        

Заключение        

Список используемых источников и литературы.        

Приложение        

Введение

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стола, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может. Лист Мёбиуса является объектом науки топологии. В школьном курсе топологические объекты не изучаются.

Целью данной работы является изучение топологического объекта – лист Мёбиуса.

Задачи проекта:

• Изучить историю открытия листа Мёбиуса.
• Изготовить лист Мёбиуса.
• Изучить свойства данной поверхности и проверить их на опыте.
• Выяснить применение листа Мёбиуса в разных областях деятельности человека.
• Собрать материал по данной теме и создать мультимедийную презентацию.

Актуальность проекта, на мой взгляд, в том, что топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии. К тому же самостоятельное изучение дополнительных тем по геометрии развивает пространственное мышление, логику, интерес к предмету.

1. Историческая справка.

Всякий знает, что такое кривая, пока не
выучится математике настолько, что вконец
запутается в бесконечных исключениях.

Феликс Клейн

Пожалуй, самую первую необычную фигуру придумал в середине ХIX столетия Август Мёбиус – немецкий  геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета.

А. Ф. Мёбиус  родился  в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством  К. Гаусса изучал  астрономию. Начал вести  самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором.  В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Став профессором Лейпцигского университета, с 1816 года Мёбиус впервые ввёл в проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования; установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии. Он получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса) и стал одним из крупнейших геометров своего времени.

Его  открытие так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция. Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты.

Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.

2. Лента Мёбиуса - начало новой науки топологии.

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин “топология” может быть отнесён к двум разделам математики. Нас интересует комбинаторная топология – раздел геометрии. «Геометрия» - слово  греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», («гео» - по – гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы.

1. Планиметрия (лат. слово, «планум» - поверхность + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

З. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если  их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях^[1]. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

3. Как изготавливают лист Мёбиуса.

Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВCD, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и CD, т.е. так что совместятся точки А и D  и точки C и В.

          А                                                                                        C

          B                                                                                        D

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь.

4. Опыты с листом Мебиуса.

4.1. Изучение свойств листа Мёбиуса с помощью окрашивания.

Опыт № 1. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности две стороны. Будем раскрашивать лист Мёбиуса, не переворачивая его.

Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью.(рис.1)

Вывод: Лист Мёбиуса имеет одну сторону.

«Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?».

Опыт №2. У исходной бумажной ленты 4 края. После склеивания должны были остаться 2 края. Будем окрашивать край листа Мёбиуса без отрыва.

Результат. Окрашенная линия обогнула всю поверхность и замкнулась.(рис. 2)

Вывод: Лист Мёбиуса имеет один край.

4.2. Изучение свойств листа Мёбиуса с помощью разрезания.

Опыт №3. Разрезание посередине вдоль.

Вывод: Лист Мёбиуса в отличие от кольца двусвязен, т.к. при первом разрезании получаем один объект.

Опыт №4. Лист Мёбиуса, полученный в опыте №3, разрезаем посередине вдоль.

Результат. Получилось 2 сцепленных друг с другом листа Мёбиуса той же длины, но уже в 2 раза и перекрученные 2 раза. (рис. 5)

Вывод: Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. два объекта мы получили только при втором разрезании.

Опыт №5. Листы Мёбиуса, полученный в опыте №4, каждый разрезаем посередине вдоль.

Результат. Получилось 4 сцепленных друг с другом листа Мёбиуса той же длины, но уже исходного в 4 раза.  (рис. 6)

Вывод: Дважды перекрученный лист Мёбиуса односвязен, т.к. два объекта мы получили уже при первом разрезании.

Опыт №6. С лентой Мёбиуса можно продолжить интересные эксперименты и дальше. Сделайте заготовку из листа бумаги, как показано на рисунке. Разрежьте по линиям, а затем каждую из получившихся полосочек, не отделенных от основной части, сверните в лист Мёбиуса.

Результат. Получилась «фракталообразная»^[2] многоэтажная фигура. (рис. 7)

5. Топологические свойства листа Мёбиуса.

По результатам опытов можно сформулировать следующие топологические свойства листа Мёбиуса:

1. Лист Мёбиуса имеет одну сторону и один край.
2. Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.
3. Связность – чтобы располовинить кольцо, потребуется 1 разрез. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д.
4. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

6. Применение листа Мёбиуса.

• При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

М. Эшер «Муравьи»                                                М. Эшер «Невозможный мир»

• Лист  Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.
• Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.
• Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.
• Лента Мебиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Лента Мебиуса наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств, ременной передачей, а магнитофонная лента, расположенная в кассете по ленте Мебиуса, будет проигрываться в два раза дольше. В технике так же применяется резистор Мебиуса, прокатный стан, подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы.

• Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса. Например, аттракцион «Американские горки», являющийся  подобием  «необыкновенного листа», многих людей приводили в восторг.

Грандиозная библиотека в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом, внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены.

В Германии находится лестница в форме петли, а в Китае – буддийский храм с похожей конфигурацией.

Восхищают своей формой башни «Absolute towers» в Торонто.

Существуют также несколько памятников, посвященных этой удивительной поверхности.

         .

                В г. Вашингтон.                                В г. Минск.                            В г. Рига

                                     В г. Москва

• Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках.

Эмблема мехмата МГУ                                                   Переводчик PROMT      

• Лист Мёбиуса можно увидеть в работах ювелиров,

дизайнеров одежды,

и даже в элементах интерьера.

Заключение

Лист Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыли учёные. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.

Итак, подведем итоги:

• Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
• Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
• Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, одежды, мебели и в изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.
• Уникальные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений.

Наиболее интересным мне показалось то, что такой необычный геометрический объект, как лист Мёбиуса, оказывается, широко применяется в жизни. Также в ходе работы над проектом я познакомился с новой наукой топологией. А всем, кто заинтересовался данной темой, я советую самостоятельно проверить все свойства листа Мёбиуса и возможно открыть новые.

Список используемых источников и литературы.

1.  «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002.
2. В. В. Трошин «МАГИЯ ЧИСЕЛ И ФИГУР «Занимательные материалы по математике»»: М.: «Глобус»,  2007.
3.  «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998.
4. Газета «Математика». № 3, 2007г. Изд. «Первое  сентября»
5. Депман  И.Я. «За  страницами  учебника  математики». Москва,  изд.  «Просвещение»,  1989г.
6. Александрова Н.В. «История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник». Изд. 3, испр. М.: Изд. ЛКИ, 2008 г.
7. Сайты  сети  Интернет:

http://www.kvant.info/ 

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/ 

http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/mmebius.htm 

http://le-savchen.ucoz.ru/publ/1-1-0-31

Приложение

Рис.1

Рис. 2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7