Теорема Чевы и Менелая.

  Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

                              Средняя образовательная школа №655

                              Приморского района Санкт-Петербурга

                           Научно-исследовательская конференция

                                                 «ОТКРЫТИЕ»

«Теоремы Менелая и Чевы»

Номинация: математика, информатика, программирование.

                                                                 Подготовили ученицы 9 «В» класса

                                                                Лунева Дарья, Чакирова Дарья

                                                                 Научный руководитель

                                                                  Мороз Юлия Владимировна,

                                                                  учитель математики.

                                   Санкт-Петербург

                                         2015-2016 гг.

                                                   Содержание:

1.Введение …………………………………………………………………..4                                                                                                          

2.Теорема Менелая:                                                                                          

  − Историческая справка……………………………………………………5

  − Первый случай……………………………………………………………5

  − Второй случай  …………………………………………………………...6                                                                                                                      

  − Теорема, обратная теореме Менелая……………………………………6

  − Решение задач …………………………………………………………….7                          

4. Теорема Чевы:                                                                                                

  − Историческая справка……………………………………………………8

  − Формулировка и доказательство теоремы Чевы……………………….8

  − Решение задач ……………………………………………………………9

6.Заключение…………………………………………………………………11                                                                                                

7.Список используемой литературы………………………………………..12

                                                     Введение

     В геометрических задачах важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи.

     Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии считается геометрия треугольника. Треугольник, несмотря на то, что является, чуть ли не простейшей фигурой, имеет множество важных и занимательных свойств, к которым сводятся свойства более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть множество теорем, которые помогают нам расширить круг решения геометрических задач. С их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой для дальнейших выводов при решении задач. К таким теоремам относятся: Теорема Пифагора, теорема синусов и косинусов и т.п.

     Но в геометрии есть множество таких теорем, которые редко используются при решении задач и авторы которых, смогли остаться в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах   —  теореме Менелая и Теореме Чевы, в которых нам сегодня предстоит разобраться.

Актуальность:

Теоремы Чевы и Менелая не входят в школьный курс математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач «Задачи по планиметрии», предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы и  в заочные математические школы.

Цель:

Целью нашей исследовательской работы является изучить теорему Менелая и теорему Чевы, а также рассмотреть применение этих теорем при решении планиметрических задач.

Задачи:

  -   Изучить литературу по данной теме

  -   Применить теоремы в решении задач

  -   Сравнить эффективность решения задач с использованием и без использования данных теорем.

           Историческая справка и изучение теоремы Менелая.

Менелай Александрийский -  математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведенными в "Алмагесте" Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Р. Х. Менелаем были написаны два сочинения: "О вычислении хорд", в 6 книгах, и "Сферика", в 3 книгах. Из них первое совсем не дошло до нас. Утрачен также и греческий оригинал второго, содержание которого известно современной науке по его латинским переводам, составленным по взаимно подтверждающим друг друга арабским и еврейским переводам того же сочинения.

       Теперь перейдем к самой «Теореме Менелая», которая гласит:

Если на сторонах ∆ABC или на их продолжениях отмечены точки X, Y, Z так, что X лежит на AB, Y – на BС, Z – на CA, то эти точки будут лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено условие:

Первый случай:

Второй случай:

Теорема, обратная теореме Менелая:

Пусть на сторонах ∆ABC или на их продолжениях отмечены точки X, Y, Z так, что X лежит на AB, Y – на BС, Z – на CA, тогда если:

         То точки X,Y,Z лежат на одной прямой.

Обратная теорема Менелая:

                    Решение задач с помощью теоремы Менелая.

Задача № 1. I способ (без использования теоремы)

Пусть AD – медиана ∆ABC. На медиане AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая BK разбивает ∆ABC на два треугольника: ∆ABP и ∆CBP, причём BK∩AC=P. Найти отношение S∆ABP:S∆CBP .

Ответ:3/2

 Задача 1. II способ (c использованием теоремы Менелая)

                                    Историческая справка

                                                       и

       Изучение теоремы «О  взаимнопересекающихся  прямых»

    Со временем, ставшую знаменитой, теорему «О взаимно пересекающихся прямых», опубликовал в 1678-м году Джованни Чева. Он родился в 1647 году в Италии, окончил Иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентов в Университете в Пизе, где позже и стал работать профессором математики. Известно, что Джованни был инженером-гидравликом, а также экономистом. Ему несколько раз довелось поработать на правительство Мантуи, он был правительственным комиссаром Мантуанского Герцогства. Джованни Чева умер 15 июня в 1734, в возрасте 85 лет, во время осады Мантуи франко-сардинскими войсками.

Чева и сегодня считается не только выдающимся математиком, но и талантливым автором в области экономики – именно он применил математику в экономике и стал первым математическим писателем по этому предмету.

Теперь перейдем к самой теореме «О взаимнопересекающихся прямых», которая гласит:

Если через вершины ∆ABC проведены прямые AА1, BВ1, CС1, пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках А1, В1, С1, то для того чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:  

Рассмотрим доказательство данной теоремы:

SAOB : SBOC  =  AB1 : B1C, т.к.

Рассмотрим треугольники АВВ1 и ВВ1С:

SABB1 =   , а  SBB1C =   .Тогда SAOB1 =  и

SB1OC =    →  SAOC =  SABB1 – SAOB1 ; SВOC =  SВBС1 – SВ1ОС  →   SAOC : SBOC = SABB1 – SAOB1  : SВBС1 – SВ1ОС   →  SAOC : SBOC =

h1 × AB – h2 × AB : h1 × B1C – h2 × B1C = AB(h1-h2) : B1C(h1-h2) = AB: B1C – то же самое с остальными.Тогда:

,что и требовалось доказать!

            Решение задач с использованием теоремы Чевы.

Задача №1.

На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС взяты точки А1,В1,С1 так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке. Отрезки А1В1 и А1С1 пересекают прямую, проходящую через вершину А параллельно стороне ВС, в точках С2 и В2 соответственно. Докажите, что АВ2=АС2. 

Рассмотрим треугольники АВ2С1 и А1ВС1:

Треугольники подобны по трем углам → АВ2 × ВС1 = АС1 × ВА1      и   АС2 × СВ1 = А1С × В1А, тогда АВ2 = АС1 × ВА1 : ВС1   и  АС2 = А1С × В1А : СВ1 → АВ2 = АС2 = АС1 × ВА1 : ВС1 = А1С × В1А : СВ1 → АС1 × ВА1 × СВ1 = А1С × В1А × ВС1,теперь осталось применить теорему Чевы:

АВ2 : АС2 =  

=  → АВ2=АС2,что и требовалось доказать.

Задача № 2.

В треугольнике АВС проведены медианы АА1, ВВ1, СС1,где А1В1 является средней линией. Докажите, что АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 2:1.

Решение задачи, без применения теоремы:

(соответственные стороны 2-х подобных треугольников)

  (медианы,пересекающиеся в одной точке и делящиеся в соотношении 2:1)

Решение задачи с применением теоремы Чевы и Менелая:

 — по теореме Чевы.

— по теореме Менелая.

Заключение

• Теоремы Чевы и Менелая не включены в общеобразовательный курс геометрии. Но вся сложность освоения этих теорем, оправдана их применением в решении задач.
• Решение задач с помощью этих теорем, рациональней чем решение другими, не всегда очевидными, способами.

Список используемой литературы.

1.Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» №11, 1976г.И. Шарыгин  «Теорема Чевы и Менелая»

2. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. 2005 г.

3. Качалкина  Е. Применение теорем Чевы  и Менелая/Математика.                   Издательский дом «Первое сентября», 2004, -  №13.

4. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека

«Математическое просвещение» - М.: Издательство Московского центра

непрерывного математического образования, 2002.

5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, 2013.