Вероятность сдачи ЕГЭ.

МБОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи города Ростова-на-Дону

Донская академия наук юных исследователей им Ю.А.Жданова

Красносулинский филиал

Наименование секции: «Математика»

Исследовательская работа

Тема: «Вероятность сдачи  ГИА и ЕГЭ»

Автор работы:

Аванесов Артем, 10 класс,

МБОУ СОШ №3 г.Красный Сулин

Руководитель:

Чернышев Эдуард Николаевич,

учитель МБОУ СОШ №3

г.Красный Сулин

2013 г.

Оглавление

1.Введение.                                                                                                                                                                                

2.Основные понятия теории вероятностей.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

3.История возникновения и развития теории вероятностей.          

4. О математике Якобе Бернулли.  

5. Формула Бернулли.

6.Мои исследования.

7. Заключение.    

8. Список литературы.          

9. Приложение.                                                                                  

1.Введение.

И случай, бог  изобретатель

А.С.Пушкин

… не верю, что Бог играет в кости

А.Эйнштейн[11]

Я заметил, что мужчин и женщин примерно одинаково, а ведь когда рождается человек нельзя сказать, кто родится – мальчик или девочка. Почему же так получается?

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка, угадал или не угадал правильный ответ в тесте,  результаты выборов и референдумов.…Этот ряд можно продолжить и дальше. Казалось бы, тут нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь вездесущая царица наук – математика – может обнаружить интересные закономерности и спрогнозировать результат

Актуальность избранной темы определяется следующими факторами:

В 2009 году введён в штатный режим ЕГЭ в 11 классе и скоро – в 2013г. - будет введён в штатный режим  ГИА в 9 классе. Цель, которую я поставил перед собой, никто ещё не ставил, т.е.  конкретно вычислить вероятности для различных предметов и сравнить их.

Объектом моего  исследования являются случайные события, для которых применима схема Бернулли, а предметом – вероятности рассмотренных мною случайных событий – угадывание верных ответов по всем предметам ЕГЭ и ГИА.

Цель моей работы – доказать с помощью математики, что вероятность угадать верные ответы на ЕГЭ и ГИА очень мала, а значит практически невозможно сдать экзамены без подготовки.  

Чтобы достигнуть этой цели, мне понадобилось решить задачи:

1)познакомиться с основами науки о случайном – теории вероятностей;

2) вычислить вероятности событий, используя формулу Бернулли;

3) изучить программу Excel и в ней функции: ЦЕЛОЕ, СЛЧИС,  БИНОМРАСП

4) провести опыты по моделированию ответов по информатике в 9классе в программе EXCEL;

5) подтвердить мою гипотезу: данные теории и практики согласуются  в мире случайных событий (т.е. вероятность в п.2  и относительная частота в п.4 мало отличаются друг от друга)

2.Основные понятия теории вероятностей.

«Изучение теории вероятностей благоприятно сказывается и на характере учащихся,

например, развивает смелость, поскольку позволяет понять, что при определённых

обстоятельствах неудачи можно просто отнести к случайностям и, следовательно,

потерпев неудачу, отнюдь не следует отказываться от борьбы за достижение намеченной цели.» А. Реньи [11]

Как и во всякой науке в ней есть основные понятия. К основным понятиям в теории вероятности относят случайное событие и вероятность. Слово “событие” в быту применяют к значительным явлениям, а в математике – ко всем возможным исходам рассматриваемой ситуации. Так в случае бросания игральной кости событие – это выпадение той или иной грани. Все события делятся на невозможные, достоверные и случайные.

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.

Пример: при бросании игральной кости появилось 7 очков.

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт.

Пример: при бросании игральной кости выпало число очков, меньше 7.

Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Пример: При бросании игральной кости выпало 2 очка. Событие обозначают большими буквами: А, В, С…

У вероятности есть несколько определений. Мы рассмотрим два определения (а всего их 3, но 3 сложное и я не буду его рассматривать)

   Классическое определение.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов, к общему числу возможных исходов.

Пример: Пусть событие А – выпадение четного числа очков при бросании кубика. Всего возможных исходов 6, а благоприятствующих данному событию – три исхода, это выпадение 2, 4, 6. Значит вероятность события А, обозначается p(А), вычислим так:   p(А) = 3/6 = 1/2.

   Статистическое определение.

Пусть в серии n испытаний событие А появилось m раз. Относительной частотой события А называют числоW = m/n.Статистической вероятностью называют число около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.

Я хочу в своей работе и показать на действительно проведённых испытаниях, что вероятности, вычисленные теоретически,  т.е. по классическому определению вероятности и статистическая будет тем меньше отличатся  друг от друга, чем больше будет проведено опытов.    

3.История  возникновения  и  развития  теории  вероятности

Замечательно, что эта наука,

началом которой были

рассуждения об азартных играх,

должна стать одним из  

   важнейших предметов

человеческого знания

П.Лаплас [11]

Развитие теории вероятности как самостоятельной науки началось с писем Паскаля к Ферма в 1654 году. В это время шевалье де Мере задал Паскалю два вопроса, касающихся азартных игр. Этим вопросам и посвящены письма Паскаля к Ферма.

Первая задача де Мере состояла в  следующем: сколько раз надо бросить две игральные кости, чтобы вероятность выпадения двух шестёрок была больше половины? С этой задачей де Мере справился,  Паскаль, обсудив его решение, признал его правильным. Вторая задача оказалась более сложной. Два игрока играют в азартную игру до n выигрышей. Как следует разделить между ними ставку, если игра прервана, когда первый игрок выиграл a партий, а второй b партий, a, b < n? Для решения этой задачи Паскаль ввёл основные понятия теории вероятностей. Он отчётливо сознавал, что открыл новую область науки. Это видно из письма Паскаля в Парижскую академию, где он, в частности, писал: “Это учение, объединяющее точность математических доказательств с неопределённостью случая и примиряющее эти, казалось бы, противоречивые элементы, с полным правом может претендовать на титул – математика случайного.”

Первая книга, посвящённая теории вероятностей, была написана в 1656 году Христианом  Гюйгенсом, знатным голландским дворянином, красавцем, пренебрегавшим развлечениями света ради физики и математики. Она представляла из себя “ рассуждение о приложении теории вероятностей к азартным играм “ и содержала множество изящных и точных расчётов. [4]

В дальнейшем теорию вероятностей развивали: Якоб  Бернулли, английский математик Абрахам де Муавр (1667 - 1754);  в 1764 году были посмертно опубликованы работы малоизвестного английского священника Томаса Байеса, увековечившие его имя. Бюффон, автор знаменитой 36-томной “ Естественной истории ”, расширил область применения теории, построив пример геометрической вероятности (“Игла Бюффона”). Но только в 19 веке теория вероятностей вновь привлекает внимание крупнейших современных математиков, первым из которых следует назвать Лапласа.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с великим именем Карла Фридриха Гаусса (1777 - 1855) и Симеона Дени Пуассона (1781 - 1840).

Во второй половине 19 века появилась блестящая плеяда русских математиков. Ведущим среди них были П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов. Исследования П.Л.Чебышева продолжили его ученики А.А.Марков и А.М.Ляпунов. Их трудами теория вероятностей стала достаточно строгой и разработанной областью науки.

Но ещё в ХХ веке большинство учёных не признавало её равноправной ветвью математики. По выражению одного из них, теория вероятностей нечто среднее между математикой, физикой и шаманством. Причиной этого было отсутствие аксиоматического обоснования. В 1900 году на Международном съезде математиков Гильберт составил список важнейших нерешённых проблем математики. Это было своеобразное завещание ХХ веку. В этот список он включил проблему аксиоматического обоснования теории вероятностей.

Наиболее интересные попытки решить эту задачу предпринимались русским математиком Бернштейном(1917) и эмигрантом из Германии Мизесом, а удалось это сделать в 1933 году советскому математику Андрею Николаевичу Колмогорову. [7] Система аксиоматического обоснования А.Н.Колмогорова стала общепринятой и служит твёрдой основой для дальнейшего развития теории вероятностей.    

4. О математике Якобе Бернулли

Вероятность есть утончённый здравый смысл

Лаплас[11]

Я́коб Берну́лли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, — 16 августа 1705, там же) — швейцарский математик, старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале учился богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В 1677 году совершил поездку во Францию для изучения идей Декарта, затем в Нидерланды и Англию, где познакомился с Гуком и Бойлем.[9]

Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем. В 1684 году женился на Юдит Штупанус (Judith Stupanus), у них родились сын и дочь. С 1687 года — профессор физики (позже — математики) в Базельском университете. 1684: штудирует первый мемуар Лейбница по анализу и становится восторженным адептом нового исчисления. Пишет письмо Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года (Лейбниц тогда был в командировке в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступает в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират — Лейбниц и братья Бернулли — 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ. 1699: оба брата Бернулли избраны иностранными членами Парижской Академии наук.

В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер Bernoulli на Луне.

Научная деятельность

Первое триумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решает задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовал доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин «интеграл». [13]

Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли. Он исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль. Последнюю из перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; по невежеству там изобразили спираль Архимеда. Согласно завещанию, вокруг спирали выгравирована надпись на латыни, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливать свою форму после различных преобразований.

Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числа Бернулли».

Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под названием «Искусство предположений». Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применении, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли.

Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.

5. Формула Бернулли

Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рn(m) того, что в результате n испытаний событие А наступило ровно m раз. Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.  Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. Пусть в результате n  независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие  с вероятностью q . Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Если в результате  опытов событие А наступает ровно m   раз, то остальные n - m раз это событие не наступает. Событие А может появиться m  раз в n  испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n  элементов по m . Это количество сочетаний находится по формуле:  

     Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:  pmqn-m

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли: Рn(m)=Сnmpmqn-m  [4]. Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей. [17]

6.Мои исследования

Опросы.

Я провёл  опрос среди  учеников  8-11классов: можно ли практически угадать 8 заданий из 10, т.е. сдать ГИА по математике без подготовки.

Результаты такие: ученики  8 класса (100%) считают, что можно угадать 8 заданий из 10, 9кл- 50%, 10кл - 50%, 11кл -  50%.

Опыты.

1.Провёл опыты по зачёркиванию одного из 4х ответов в 10 заданиях в бумажном варианте (привлекал  одноклассников, друзей).

2.Провёл опыты по моделированию ответов по информатике в 9классе.

Почему в моём случае можно применить формулу Бернулли? 

У меня событие А – угадал один из четырёх ответов в одном задании. Значит ,вероятность p появления события А равна ¼. Тогда В - событие, состоящее в том, что я не угадал. Эти события противоположные, поэтому р(В)=1-1/4=3/4=q. Вероятность события А равна ¼  в каждом задании. Вероятность появления события А в каждом из заданий  не зависит от результатов остальных заданий, т.е. от того - угадал или нет ответ в предыдущем задании. Итак, все условия для применения формулы Бернулли выполнены.

Использование программы Excel для вычисления вероятностей

Конечно, можно было вычислить вероятности вручную, но это долго. Поэтому я использовал программы Excel, с которой познакомился на уроках информатики.

Различные функции вводятся с помощью диалогового окна, называемого Мастером функций. Он вызывается командой Вставка-Функция или кнопкой  fx  на панели инструментов Стандартная. В первом диалоговом окне Мастера функций приведены категории функций по тематическому принципу (рис.1).В списке справа находятся имена тематических групп. Щёлкнув на нужной категории функций – Статистические, в правой части можно вывести список имён функций, содержащихся в данной категории (или найти в списке Полный алфавитный перечень).  Вызов функции осуществляется двойным щелчком по её имени. Также можно вызвать функцию, выделив её и щёлкнув на кнопке ОК.

Рис.1. Мастер функций

С помощью полос прокрутки можно просматривать списки функций. Итак, вызываем функцию  БИНОМРАСП (Рис.2).  

Рис.2. Диалоговое окно функции  БИНОМРАСП

Аргументы функции: число успехов – это минимальное количество заданий для получения «3».; число испытаний  - это количество заданий с выбором ответа из четырёх возможных; вероятность успеха для любого испытания одна и та же -0,25; в строке интегральная всегда пишем ложь. После нажатия кнопки ОК в ячейке выводится результат.

Итак, у меня получились такие результаты:

9класс:

   Предмет                                    Вероятность

(Данные о ГИА 2011 и ЕГЭ 2011 взяты из сайтов № №13-16).

2-ой столбец означает, например, 7 из 8 – это значит, что всего заданий с выбором ответа 8, а чтобы получить оценку «3» (минимальную), надо верно угадать 7 ответов (с 7 начинается оценка «3»).

Или более наглядно с помощью диаграммы:

Как видно из полученных данных, легче всего сдать в 9 классе физику, далее идут история, математика, информатика, география  и труднее всего общество.

11класс:

 Предмет                     Вероятность                                                        Вероятность

 Или более наглядно с помощью диаграммы:

Как видно из полученных данных, легче всего сдать в 11 классе физику, далее идут  информатика, химия, история, биология, география, иностранный язык, русский язык, и труднее всего обществознание. Математики нет здесь, т.к. на ЕГЭ нет заданий с выбором ответа.

Моделирование ответов по информатике в 9классе

Я взял информатику потому, что в ней меньше всего заданий с выбором ответа.

Используем для этой цели электронную таблицу  EXCEL.  В этой таблице используем функцию СЛЧИС, которая даёт случайное число от 0 до 1 в виде десятичной дроби, и функцию ЦЕЛОЕ – округляет число до ближайшего меньшего целого.

Рис.3. Диалоговое окно функции  СЛЧИС

Рис.4. Диалоговое окно функции ЦЕЛОЕ  

Я разработал алгоритм моделирования ответов по информатике в 9классе. Вот он.

1)Выделяем ячейку

2)Щёлкаем вверху f(x), появляется окно «Мастер функций». Выбираем в нем функцию СЛЧИС, щёлкаем ОК. 3)Появляется окно «Аргументы функции» - щёлкаем ОК .

4) Появляется в ячейке число , меньшее 1 и около него жирный чёрный крест (если не появился, то подвести к правой нижней вершине ячейки курсор и он появится, но не путать с двумя другими крестами). Протягиваем крест столько, сколько надо провести опытов, они все заполнятся случайными числами и весь столбец будет выделен.

5) Щелкаем правой кнопкой по выделенному столбцу, Щелкаем копировать, опять щелкаем правой кнопкой по выделенному столбцу , Щелкаем «Специальная вставка», в ней щелкаем на флажок «значения», потом на ОК.

6)Щелкаем по пустому полю и нажимаем пробел на клавиатуре.

7)Щелкаем по первой  пустой ячейке правее заполненного столбца. Щёлкаем вверху f(x), появляется окно «Мастер функций». Выбираем в нем функцию Целое (щелкаем по ней) и ОК.

8) Появляется окно «Аргументы функции». Выделяем первую ячейку в столбце полученных ранее случайных чисел. В окне «Аргументы функции» с клавиатуры набираем *4+1, потом на ОК (на 4 умножаем потому, что должно появиться число 1,2,3 или 4;  прибавляем 1 потому, что не должно быть 0)

9)Появляется в выделенной ранее пустой ячейке1,2,3 или4. Подводим к этой ячейке курсор так, чтобы появился жирный чёрный крест. Протягиваем до нужного количества ячеек. Щелкаем по пустому полю и нажимаем пробел на клавиатуре. Смоделированные ответы приведены  в Приложении 1.

Я сравнил смоделированные ответы с верными. Всего смоделировал 1930 ответов. С 7 верными из 8  - только один -23334234, т.е. относительная частота равна 1/1930 = 0,000518. Итак, вероятность, вычисленная по формуле Бернулли - 0,000366 - и относительная частота 0,000518  мало отличаются друг от друга.

7. Заключение

                Я думаю, что цель моей работы – математически  доказать, что вероятность угадать верные ответы на ЕГЭ и ГИА очень мала,  - достигнута. Опытным путём подтверждена гипотеза: вероятность и относительная частота мало отличаются друг от друга. А значит к экзаменам надо готовиться, а не рассчитывать на авось. Некоторые думают: наудачу сдам. Моя работа совершенно разбивает их надежды полученными мною результатами. Надеюсь, что не только я, но и мои одноклассники, друзья и сидящие здесь в зале  более ответственно отнесутся к предстоящим экзаменам в форме тестирования.   На примере моей работы можно сделать и более общие выводы:  подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.

8.Список литературы.

1.Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В.Введение в теорию вероятностей. – Москва: Наука, 1982

2.Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. -   Москва: Прсвещение,1975

3.Крупкина Т.В., Гречкосеев А.К. Теория вероятностей, математическая статистика. – Красноярск, 1997

4.Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7 – 9кл. общеобразовательных учреждений. – Москва: Просвещение, 2005

5.Математика для школьника. – 2006 - №3. – С.40 – 58.

6.Математика. Учебное пособие для 6кл. общеобразовательных учреждений. В 2ч. 4.2 Москва: Просвещение, 2005

7.Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7 – 9кл. для образовательных учреждений. – Москва: Мнемозина, 2003

 8.Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7 – 9кл. /Авторское составление В.Н.Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2005

9.Ткачёва М.В. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7 – 9кл. общеобразовательных учреждений. – Москва: Просвещение, 2004

10.Федосеев В.Н. Решение вероятностных задач. – 4-е издание, дополнение. Москва: Авангард, 2006

11.Ходкова С.В. Математика в афоризмах  //http://festival.1september.ru/articles/310815/

12.Хургин Я.И. Как объять необъятное. – Москва: Знание, 1979

 Сайты:

13.http://www.ctege.info/content/view/2123/39/ -  данные о минимальных первичных баллах на ЕГЭ 2011

14.http://ege49.ru/GIA9/2011/Shkala-perevoda-perv-balla-v-5-nuyu-otmet

по 9кл - шкала перевода баллов в отметки в  2011

15.http://www1.ege.edu.ru/demovers - демонстрационные ЕГЭ 2011

16. http://www1.ege.edu.ru/gia/demogia     - демонстрационные ГИА 2011

17. http://ru.wikipedia.org/wiki/Бернулли,_Якоб – о Якобе Бернулли

18. http://clubmt.ru/lec4/lec4.htm - о формуле Бернулли

9.Приложение 1

                Каждый столбец, состоящий из 8 элементов – это смоделированный результат ответов по информатике в 9классе. Верные ответы:

и др.