Построение графиков функций

ГБОУ лицей 1575

Автор работы: Бодров Филипп Александрович учащийся 9«В» класса ГБОУ лицея № 1575

Руководитель: Мардашева Татьяна Павловна,                                                  учитель математики ГБОУ лицея № 1575

г. Москва

2016 г.

Аннотация

Тема: «Построение графиков функций вида»

Автор: Бодров Филипп учащийся 9 «В» класса ГБОУ лицея 1575

Научный руководитель: Мардашева Татьяна Павловна, учитель математики ГБОУ лицея 1575

Актуальность: На данный момент у многих возникает сложность в построении графиков типа , т.к. приходится долгое время просчитывать точки. Мы предлагаем инновационный способ построения подобных графиков

Проблема: Можно ли  построить графики некоторых функций нетрадиционными методами?

 Предмет исследования: Графики функций   и методы их построения.

Гипотеза: Существует упрощённый способ построения графиков функций  

Цель: Найти новый подход к построению графиков функций вида

и поделиться своей находкой с другими людьми, увлекающимися математикой.

Методы исследования: поиск‚ анализ‚ синтез

План выполнения работы: 

1 этап

1. Изучение теории. Познакомиться с понятием функции, свойствами функций и способами построения графиков функций.
2. Проанализировать способы построения графиков различных функций
3. Ознакомиться с основными способами построения графиков 
4. Рассмотреть возможные варианты построения графиков 

2 этап

Собранный материал представить в виде исследования.

Краткое описание работы: В работе описан новый способ построения графиков функций  

Основные выводы и результаты: Проделав данную работу, мы нашли и усовершенствовали  новый способ построения графиков типа  . Этот способ можно использовать при условии, что функция достаточно сложная и найти точки подсчётом будет трудно. К концу работы мы упростили этот способ и теперь попытаемся внедрить его в жизнь.

Содержание

• Введение
• Идея метода
• Примеры построения
• Заключение

Введение

При решении неравенств и уравнений иногда приходится использовать функционально – графический метод. После решения нескольких таких уравнений, я понял, что умения строить графики различных функций и знание их свойств является важным условием решения нестандартных уравнений и неравенства.

        Исследование посвящено проблеме совершенствования умений и навыков построения графиков сложных  функций. Актуальность этой проблемы  определяется тем, что нестандартные уравнения и неравенства часто решаются функционально – графическим методом. В заданиях ЕГЭ (и в части В, и в части С) имеются задания, при решении которых используется функционально – графический метод, свойства функций. Многие задачи с параметрами невозможно решить другим методом.  

В пособиях для поступающих много заданий на построение графиков функций.

 На уроках  математики  мы много времени уделяем теме «Построение графиков функций», меня заинтересовала эта тема и я решил изучить различные методы построения графиков функций .

Построение графиков элементарных функций не составляет труда, в школьном курсе математики они достаточно хорошо описаны. Я предположил: если знаем свойства элементарных функций и умеем строить их графики, то сможем построить  и графики сложных функций.

Идея метода построения графиков функций вида

График функции

График этой функции, как нетрудно догадаться из общих соображений, представляет собой красивую кривую, ординаты которой монотонно убывают от максимального значения, равного единице в точке х=0, нуля при удалении от начала системы координат. Эта кривая получила название : «локон Марии Аньезе» в честь  французского математика XVIII века. Если на этой же координатной плоскости построить ещё график функции у=х2+1, то в глаза бросается «подобие» кривых графиков функций у=х2+1 и

Это «подобие» выражается в «отраженном» характере графика функции , если его рассматривать относительно «оригинала» - графика функции у=х2+1. Закон этого «отражения» в математической записи имеет вид: , т.е. числовое значение ординаты функции-оригинала заменяется на обратное число, например: 2→1/2, 5→1/5 и т.д. Поэтому ясно, что ординаты точек первоначального графика функции у=х2+1, которые удовлетворяли условию: у≥1, при переходе к графику функции  теперь будут удовлетворять обратному условию: 0≤1, т.е. все точки, лежащие выше прямой у=1 перешли по вертикали в соответствующие точки полоски 0≤1.

Заметим, что это преобразование «отражения» носит взаимно обратный характер: график функции у=х2+1 можно рассматривать как «отражение» графика функции . Причем, если точки исходного графика функции y=f(x) имеют ординаты как большие единицы, так и меньшие, то они при преобразовании «отражения» совершат переходы в соответствующие области координатной плоскости.

Рассмотрим небольшое видоизменение начального примера :

На верхнем рисунке стрелочками показаны переходы точек графика функции-оригинала у=х2+0,25 в точки «отраженного» графика функции . Например, точка минимума графика функции у=х2+0,25 с ординатой у=0,25 переходит в точку максимума графика функции  с ординатой у=4.

Выясним природу несимметричного характера рассматриваемого преобразования-«отражения». Нетрудно заметить, что при настоящем симметричном отражении парабола должна принимать уже отрицательные значения для нижележащих точек, но при числовом обратном преобразовании по закону  знак не должен измениться! Поэтому при «отражении» параболе приходится прижимать свои ветви к оси абсцисс сверху.

Ясно, что те же самые рассуждения можно применить и в случае, если графики функций принимают отрицательные значения, которые при «отражении» будут также оставаться в своей нижней части координатной плоскости, только роль «зеркала» будет играть прямая у = -1.

Рассмотрим более общий случай, когда заданная функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, функция  имеет в качестве своего «оригинала» функцию у=х2-1, график которой представляет собой параболу, минимум которой лежит на оси ординат в точке у=-1, а ветви направлены вверх.

Обобщение метода построения графиков функций на случай

Так как оси 0х и 0у равноправны, то можно рассмотреть подобные преобразования-«отражения» графиков функций уже относительно вертикальных прямых х=-1 и х=1, которые связаны с переходом . Рассмотрим пример функции , имеющей свой «образ-оригинал» , имеющий форму графика перевернутой параболы с вершиной в точке у=4 на оси ординат:

На графике стрелками показаны взаимные отражения точек из областей слева от х=-1 и справа от х=1 в узкие полосы –1, когда «отражаемые» части графика не могли пересекать ось абсцисс).

Мы рассмотрели обобщенные приемы преобразования графиков функций при переходе от зависимости y=f(x) к функциям вида  и  на примере квадратичных выражений. Эти обобщенные приемы не зависят от конкретных зависимостей y=f(x), главное, чтобы был известен вид графика функции y=f(x). В качестве общего модельного примера рассмотрим ещё элементарный случай у=х, когда из графика прямой можно получить график гиперболы  при этом можно использовать приемы «отражения» как от пары прямых у=1 и у= -1, так и от другой пары х=1 и х= -1.

Рассмотрим более сложный случай, когда функция y=f(x) задана изначально графиком, а её математическое выражение неизвестно:

Даже не зная математики можно увидеть на последних рисунках «подобие» двух графиков. Особенно бросается в глаза соответствие точек минимума и максимума графиков основной и «отраженной» функций!

Заключение.

Я провел работу по построению графиков функции вида и сделал следующие выводы:

 1.Графики функций  можно построить без использования производных,  особенно этот метод особенно подходит, если f(x) элементарные функции.  

2.Для построения графиков нужно знать свойства функции, уметь читать графики полученных функции, исследовать поведение графиков   в бесконечности.

3. Построение графиков, как и всевозможные другие способы геометрической интерпретации, является весьма эффективным средством для решения  алгебраических задач, в том числе и задач с параметрами. Поэтому научиться строить графики функции, в том числе  и более сложных,  для решения задач просто необходимо. При выполнении этой работы, я выяснил, что есть класс уравнений и неравенств,  при решении которых требуется умения и навыки построения графиков функций и умения их читать. (Многие уравнения  неравенства с параметрами решаются функционально - графическим  методом).

Итак, в результате графических и компьютерных экспериментов, я убедился, что графики сложных функций можно строить не только с помощью производных, но и путём исследования функций, преобразованиями элементарных функций.

При выполнении этой работы:

- повторил  и углубил  знания   свойств и  методов построения графиков элементарных функций;

- приобрел опыт построения графиков таких функций,  как:

. Научился работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений; приобрел опыт выполнения графических работ на компьютере;

- узнал, что тема « Методы построения графиков функций», очень объемная  и интересная, рассмотреть все методы сразу невозможно, т.е. можно дальше продолжать работу по данной теме.

        По моему мнению, умение проводить такие преобразования (построения) графиков функций позволяет ученикам:

1) научиться читать графики различных функций и использовать их при решении уравнений и неравенств;        

2) освоить свойства функций;

3) лучше различать графики различных функций. 

На мой взгляд, использование этого способа  на практике целесообразно, т.к. это поможет успешно и эффективно подготовится к выпускным и вступительным экзаменам. 

При построении графиков функций я использовал программы для построения графиков функций.

Литература.

1. В.Дьяконов.Maple 6: учебный курс.- СПб.:Питер,2001.
2. В.К.Егерев, Б.А.Радунский, Д.А.Тальский. Методика построения графиков функций.- М. : «Высшая школа», 1970 .
3. В.П.Моденов. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2006.
4. А.Г. Мордкович. Алгебра. 7,8,9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений.- М. : «Мнемозина»,2010.
5. Е.М.Родионов, С.Л. Синякова.  Математика. Пособие для поступающих в вузы. –М.: «Ориентир»,2003.