Простой способ решения непростых геометрических задач

Слайд 1

Исследовательская работа на тему: «Простой способ решения непростых геометрических задач» Выполнила: ученица 8 класса «А» Каратецкая Мария Руководитель: учитель математики Колина Наталья Константиновна «Правильный взгляд на математику открывает не только истину, но и безупречную красоту...» Бертран Рассел

Слайд 2

Задача . На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K . Отрезок CK пересекает медиану AM треугольника в точке P , причем AK =АР. Найти отношение BK : PM . Теорема Фалеса Подобие треугольников Дополнительное построение! Проблема

Слайд 3

Гипотеза: существуют более простые способы решения задач, связанных с отрезками в треугольнике. Актуальность темы: решения задач на отношение длин обычными методами получаются достаточно объёмными и сложными. Алгебраический метод с помощью теорем Менелая и Чевы – наиболее рациональный способ решения подобных задач.

Слайд 4

Цели: «открыть» разные способы решения задач, связанных с нахождением отношений длин отрезков и площадей в треугольниках и четырехугольниках; найти наиболее простой способ решения такого типа задач

Слайд 5

найти, изучить и проанализировать литературу по теме исследования; использовать разные способы для решения задач, связанных с отношениями длин отрезков и площадей в треугольнике; «открыть» теоремы Менелая и Чевы и показать их приложения; повысить уровень культуры решения геометрических задач; научиться решать интересные, сложные геометрические задачи алгебраическим способом. развивать навыки исследовательской работы . Задачи:

Слайд 6

Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC ∆ABC взяты соответственно точки C 1 ,A 1 и B 1 , не совпадающие с вершинами ∆ABC . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство Теорема Менелая

Слайд 7

Пусть в ∆ ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях взяты соответственно точки A 1 , B 1 и C 1 ,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство Теорема Чевы

Слайд 8

Задача1. Доказать, что биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. Задача2. Доказать, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. Задача3. Доказать с помощью теоремы Чевы, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Применение теорем Менелая и Чевы в решении геометрических задач

Слайд 9

Задача 4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N так, что АМ:МВ=2:3, BN : NC =2:1. Отрезки AN и C М пересекаются в точке О. Найдите отношение СО : ОМ. Задача 5 . В АВС точки А ,В ,С лежат соответственно на сторонах ВС, АС,АВ ,причем отрезки АА ,ВВ ,СС пересекаются в точке О. АС:СВ=1:3; ВА :АС=3:2.Найдите отношение АВ :В С. В каком отношении точка О делит отрезок АА ? Какую часть площади АВС составляет площадь АВВ ? Применение теорем Менелая и Чевы в решении геометрических задач

Слайд 10

Задача 6 . На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки N и K так, что AN : NC = m : n , AK BN = Q , BQ : QN = p : q . Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK . Задача7. Через вершину B проведена прямая, параллельная биссектрисе С и пересекающая продолжение стороны АС в точке D . Пусть Е – середина отрезка В D . Определить, в каком отношении прямая АЕ делит площадь , если известно, что АС=5, ВС=10. Применение теорем Менелая и Чевы в решении геометрических задач

Слайд 11

Историческая справка Менелай Александрийский- древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии. Также упоминается как автор книги по гидростатике.

Слайд 12

Джованни Чева — итальянский математик и инженер, доказавший теорем Чевы о геометрии треугольника, положил начало новой синтетической геометрии. Историческая справка

Слайд 13

Итак, я изучала одни из самых интересных теорем: теоремы Менелая и Чевы; научилась с их помощью решать разнообразные задачи, тем самым сокращая и упрощая их решения. Я считаю, что эти теоремы очень полезны для учащихся, особенно тем, кто серьезно занимается математикой и участвует в олимпиадах по предмету. В дальнейшем я хочу ознакомиться с еще одним способом решения задач на отношение длин отрезков - методом геометрии масс, сравнить этот способ с рассмотренным мной в работе. Заключение

Слайд 14

Литература Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2014. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2006. Качалкина Е.Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский дом «Первое сентября», 2004, - №13,№14 Колина Н.К. Теорема Менелая и теорема Чевы в школьном курсе математики. Учебно-методическое пособие.-Н.Новгород,2007г. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб.завед.-М.,Дрофа,2012г Шестаков С.А. Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9-й кл.–М: АСТ:Астрель,2006

Слайд 15

Используемые сайты Математика, которая мне нравится.(Математика для школьников и студентов) http :// hijos . ru /2011/04/20/ teorema - menelaya / https :// ru . wikipedia . org / wiki /% D 0% A 7% D 0% B 5% D 0% B 2% D 0% B 0 http :// dic . academic . ru / dic . nsf / enc _ mathematics /6165/% D 0% A 7% D 0%95% D 0%92% D 0% AB http :// hijos . ru /2011/03/16/ teorema - chevy / http://festival.1september.ru/articles/591871/ Сайт Российской академии наук. http://ranip.ru/matem/298-menelaj-konets-1-vne.html