"Рациональное уравнение" - важнейшее базовое понятие математики. Прочное его освоение создаёт условия для осознанного понимания теории и решения задач. Известных из школьного курса алгебры способов явно недостаточно, чтобы на должном уровне решать конкурсные задачи. Исходя из этого поставлена цель - систематизировать методы решения рациональных уравнений и показать их применение при решении нестандартных уравнений.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 1010.5 КБ |
![]() | 2.68 МБ |
РЕГИОНАЛЬНЫЙ КОНКУРС ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ И ПРОЕКТОВ ШКОЛЬНИКОВ «МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС»
Направление: «Математика в моей жизни»
Тема: «В мире рациональных уравнений»
Автор: Лавренникова Анастасия Алексеевна,
учащаяся 9 класса ГБОУ СОШ № 2 п.г.т. Усть–Кинельский
Научный руководитель: Фролова Елена Юрьевна,
учитель математики ГБОУ СОШ № 2 п.г.т. Усть–Кинельский
г. Самара, 2016
СОДЕРЖАНИЕ
Введение | 3 | ||
1. | Основная часть | 5 | |
1.1. | Из истории уравнений | 5 | |
1.2. | Основные понятия в теории рациональных уравнений | 6 | |
1.3. | Методы решения рациональных уравнений | 7 | |
1.4. | Классификация рациональных уравнений | 11 | |
2. | Практическая часть | 14 | |
2.1. | Решение рациональных уравнений с использованием основных методов | 14 | |
2.2. | Решение нестандартных уравнений с использованием особых приёмов | 20 | |
3. | Результаты исследования | 25 | |
Заключение | 26 | ||
Библиографический список | 27 | ||
Приложение «Банк заданий по теме «Рациональные уравнения» | 28 |
ВВЕДЕНИЕ
Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах.
Г. Цейтен
Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». Время не стоит на месте, но по-прежнему непрерывное образование является реальной необходимостью, которая требует полноценной общеобразовательной подготовки, в том числе и математической, и в наши дни.
«Рациональное уравнение» – важнейшее базовое понятие математики [1, с.177]. Прочное его освоение создаёт условия для осознанного понимания изложения теории и решения разнообразных задач путём отбора оптимального метода решения. Проблема заключается в том, что известных из школьного курса алгебры способов решения таких уравнений явно недостаточно, чтобы на должном уровне уметь решать конкурсные задачи по математике. Именно поэтому приобретение новых сведений о рациональных уравнениях можно рассматривать как подспорье в решении большого класса алгебраических задач.
Компенсировать недостаток знаний по данной теме удалось за счёт изучения дополнительной научной литературы и знакомства с новыми типами рациональных уравнений, а также приёмами для их решения. Приобретенные при этом навыки в дальнейшем позволят решать достаточно широкий круг текстовых задач, что является актуальным при изучении математики и смежных дисциплин.
Исходя из этого, поставлена цель исследования – систематизировать методы решения рациональных уравнений и показать их применение при решении нестандартных уравнений.
Следуя поставленной цели, в работе определены основные задачи:
Характер исследования обуславливает необходимость применения комплекса следующих общенаучных методов исследования: теоретический анализ литературы по данной проблеме, сравнительный анализ, наблюдение, синтез, моделирование.
Рациональные уравнения служат объектом исследования, а изучение приёмов решения нестандартных задач, основанных на использовании основных методов решения рациональных уравнений, является предметом исследования.
Теоретическая значимость исследования заключается в систематизации основных приемов решения рациональных уравнений и применении теории рациональных уравнений к решению нестандартных задач.
Практическая значимость состоит в приобретении навыков решения рациональных уравнений различными способами и возможном их использовании при подготовке к математическим олимпиадам и основному государственному экзамену.
1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1.1. Из истории уравнений
С давних времён для однотипных задач в разных странах пытались отыскать общие правила решения. В этих правилах содержался некий алгоритм для нахождения неизвестной величины через данные числа. Так возник один из разделов математики – алгебра, в которой изначально в основном рассматривались вопросы, связанные с решением разнообразных задач при помощи уравнений.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью в умении делить доходы и имущество, вычислять площади земельных участков и стоимость товара, находить объёмы фигур определённой формы, проводить земельные работы военного характера, а также развитием астрономии и самой математики.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны около 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. В клинописных текстах встречаются решения как неполных, так и полных квадратных уравнений с применением алгебраической записи. Правила решения этих уравнений совпадают по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне не использовалось понятие отрицательного числа, и отсутствовали общие методы решения квадратного уравнения.
Не меньшую роль, чем квадратные уравнения, играют в математике и ее приложениях уравнения третьей и более высоких степеней.
Известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал-джабар» описал способы решения различных уравнений, в том числе и уравнений высших степеней. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней уравнений.
Известны вавилонские клинописные таблички, в которых встречаются решения некоторых кубических уравнений. Несмотря на то, что этим вопросом занимались очень давно, основные сведения об уравнениях высших степеней были получены только в XIX веке.
1.2. Основные понятия в теории рациональных уравнений
Рациональное выражение с одной переменной – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень [7, с.129].
Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения [1, с.223]. При этом если f(x) и g(x) – целые выражения, то уравнение называют целым. Целое рациональное уравнение может быть записано в виде , где
– некоторые числа. К простейшим целым рациональным уравнениям относятся линейные и квадратные уравнения.
Рациональное уравнение f(x) = g(x) называется дробным, если хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) является дробным. Для решения такого уравнения нужно:
1.3. Методы решения рациональных уравнений
Множество рациональных уравнений можно разделить по методу решения. Перечислим основные из них.
Для решения некоторых рациональных уравнений не требуется знание особых приёмов. Достаточно выполнить обычные упрощения: приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и т.д. Главное – не попасться в какую-нибудь ловушку, связанную с областью допустимых значений переменной.
Пример 1. Решите уравнение [9, с.96].
Решение. О.Д.З. (1)
Приводим уравнение к виду , затем раскрываем скобки.
х = 0 или
D = 932 – 4·11·190 = 289.
Найденные значения переменной х удовлетворяют соотношениям (1).
Ответ: 0; ; 5.
Иногда при решении рациональных уравнений имеет смысл ввести новую переменную, заменив ею некое повторяющееся рациональное выражение.
Например, в уравнении aP2(x) + bP(x) + c = 0, где P(x) – многочлен, вводим новую переменную P(x) = y.
Решаем квадратное уравнение ay2 + by + c = 0 (2) относительно y и возвращаемся к решению уравнений P(x) = yi, где yi – решения уравнения (2).
Метод подстановки упрощает вид уравнения, понижает его степень. В некоторых случаях замена переменных сразу очевидна, но в более сложных примерах подстановка видна лишь после нескольких преобразований.
Пример 2. Решите уравнение [9, с.98].
Решение.
Применим формулу сокращённого умножения:
Сразу можно увидеть подстановку
Вернёмся к замене:
1) 2)
D1 < 0 ⇒ действительных корней нет;
Ответ: – 4; 2.
Пример 3. Решите уравнение [2, с.43].
Решение. О.Д.З.
Делая замену x2 + x = y, получаем уравнение, которое сводится к квадратному:
2у2 + 3у – 14 = 0,
y1 = – 3,5, y2 = 2.
Имеем два квадратных уравнения:
x2 + x = 2 или x2 + x = – 3,5.
Корнями уравнения x2 + x – 2 = 0 являются числа – 2 и 1, второе уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: – 2; 1.
Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно представить в виде P(x)Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) – целые рациональные функции [12, с.12]. Далее приходим к решению более простых уравнений: P(x) = 0 или Q(x) = 0.
Пример 4. Решите уравнение [11, с.1].
Решение. Преобразуем уравнение с использованием формул сокращённого умножения.
Левую часть уравнения удалось разложить на множители, значит, осталось решить два квадратных уравнения:
1)
D < 0.
Действительных корней нет.
2)
D = 32 + 4 = 13.
Ответ:
Пример 5. Решите уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде:
Левую часть разложим на множители с помощью формулы «Разность кубов» и вынесения общего множителя за скобки.
После приведения подобных слагаемых во второй скобке получаем распадающееся уравнение:
или
Ответ: – 4; – 1; 2.
Разложение на множители позволило свести решение кубического уравнения к решению линейного и квадратного уравнений.
1.4. Классификация рациональных уравнений
Среди рациональных уравнений можно выделить несколько основных видов.
Для его решения используем замену x2 = t, где t > 0. После подстановки новой переменной получаем уравнение at2 + bt + c = 0, решая которое приходим к уравнению x2 = ti, где ti – корни квадратного уравнения [12, с.1].
Для его решения рассматривают два случая:
1) если Q(x) = 0, тогда уравнение примет вид: P(x) = 0;
2) если же Q(x) ≠ 0, тогда исходное уравнение можно поделить на Q2(x).
Полученное при этом уравнение a+ b
+ c = 0 сводится к квадратному с помощью замены
= t.
Решения каждого из двух случаев включаются в ответ.
Уравнение вида в котором коэффициенты членов, равноудалённых от начала и конца, равны, называется симметрическим.
Докажем, что симметрическое уравнение нечетной степени всегда имеет корень, равный –1. Доказательство проведём методом группировки на примере кубического уравнения , где
.
или
Очевидно, что корнями симметрического уравнения третьей степени являются число – 1 и корни полученного квадратного уравнения, что и требовалось доказать.
Симметрическое уравнение четвёртой степени (
) решается делением на выражение х2 (поскольку х = 0 не является его корнем) и заменой
.
Если , тогда
Используя указанную замену, приходим к уравнению . Оно сводится к квадратному относительно переменной t:
После его решения возвращаемся к исходной переменной x.
После почленного деления на х2 получаем:
Пусть тогда
а уравнение примет вид:
Если это уравнение имеет корни у1 и у2, то остаётся решить два уравнения:
[8, с.28].
Введём новую переменную t = x2 – (a + d)x и получим квадратное уравнение (t + ad)(t + bc) = l. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.
Сделаем замену , тогда исходное уравнение примет вид:
Умножив обе части уравнения на t
получим квадратное уравнение at2 + ct + b = 0. Находим его корни и переходим к переменной х.
Для его решения, используя метод симметризации, делаем замену В результате преобразований уравнение приводим к биквадратному.
Поскольку х = 0 не является корнем данного уравнения то разделив его почленно на выражение х2, получим:
Замена
сведёт уравнение к виду
Получив корни квадратного уравнения, возвращаемся к замене.
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1. Решение рациональных уравнений с использованием основных методов
Самое трудное при решении рациональных уравнений – правильно определить, к какому виду оно относится. Если идентификация состоялась, тогда метод решения становится очевиден, если же классифицировать уравнение затруднительно, то необходимо придумать, как свести уравнение к более простому. В этом случае бывает полезно сделать замену неизвестного, которая упрощает вид уравнения.
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 6. Решите уравнение [5, с.27].
Решение. Заметим, что выражения и
отличаются на 2, поэтому удобно сделать замену переменных
Тогда заданное уравнение примет вид:
Вернёмся к замене:
1)
Полученное уравнение не имеет действительных корней.
2)
Ответ: .
В рассмотренном примере метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.
Пример 7. Решите уравнение [10, с.317].
Решение. Возведём двучлен в квадрат, а линейные множители перемножим.
Выполненные преобразования приводят к замене:. Уравнение принимает вид:
Вернёмся к замене:
.
Действительных корней нет;
Ответ: – 1,5;
Пример 8. Решите уравнение [6, с. 165].
Решение. Дано уравнение вида , где
и
. В этом случае удобная подстановка уже известна: t = x2 – (a + d)x, а уравнение с помощью неё сводится к виду (t + ad)(t + bc) = l.
Имеем: значит, x2 + 6x = t. Далее остаётся решить уравнение (t + 5)(t + 8) = 10 и вернутся к замене.
Иногда для уравнений такого вида используют другой подход.
Перегруппируем множители
Получим:
Пусть , тогда
Вернемся к замене:
D1 < 0.
Действительных корней нет;
Ответ:
Пример 9. Решить уравнение х(х - 1)(x - 2)(x - 3) = 24 [8, с.24].
Решение. Имеем: значит, x2 – 3x = t. Получаем уравнение:
Имеем:
Возвращаясь к замене, получаем два уравнения:
D < 0.
Действительных корней нет;
Ответ: – 1; 4.
Пример 10. Решите уравнение [6, с.165].
Решение. Квадратные трёхчлены в скобках отличаются вторыми коэффициентами. Значит, имеем уравнение вида:
Оно решается делением обеих частей на выражение , поскольку
не является его корнем.
Произведём замену которая сводит уравнение к квадратному:
Вернёмся к замене:
Уравнение не имеет действительных корней, так как при любом х.
Ответ: – 1; – 2.
Пример 11. Решите уравнение [6, с. 166].
Решение. Уравнение аналогично предшествующему, поэтому решаем по тому же алгоритму, но немного «подкорректируем» замену переменных.
Пусть , тогда уравнение примет вид:
Имеем два уравнения:
Ответ: .
Пример 12. Решите уравнение [9, с.99].
Решение. Данное уравнение приведено к виду , где А=16, а = –3, b = –5. Замена
в нашем случае такова:
.
В результате преобразований уравнение приводим к биквадратному:
или
– корни первого уравнения, второе – действительных корней не имеет. Вернёмся к замене:
или
Ответ: – 5; – 3.
Пример 13. Решите уравнение [6, с. 154].
Решение. Заметим, что уравнение симметрическое третьей степени. Значит, одним из его корней является число . Остальные корни находим из квадратного уравнения
Имеем:
Квадратное уравнение
не имеет действительных корней, так как
.
Ответ: – 1.
Пример 14. Решите уравнение [6, с. 154].
Решение. Это симметрическое уравнение четвёртой степени. Решаем его почленным делением на выражение , получаем:
Если , тогда
Используя указанную замену, приходим к квадратному уравнению относительно переменной t:
Вернёмся к замене:
1) 2)
Ответ: 1; .
2.2. Решение нестандартных уравнений с использованием особых приёмов
Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.
Д. Пойа
Искусством решать задачи овладеть далеко не просто. Тут требуется интуиция, большой опыт и, как в каждом искусстве, умение свободно применять различные «технические» приёмы.
Зачастую встречаются рациональные уравнения, которые нельзя вписать в рамки строго очерченной классификации, хотя элементы того или иного вида в них присутствуют. В таких ситуациях надо комбинировать решение, исходя из накопленного арсенала методов и приёмов.
Пример 15. Решите уравнение [6, с.166].
Решение. Перегруппируем множители, стоящие в левой части:
Получим уравнение, у которого квадратные трёхчлены отличаются вторыми коэффициентами.
Убеждаемся, что х = 0 не является корнем уравнения, и делим обе части на выражение
Вводим замену , тогда:
Вернёмся к замене:
1)
. Действительных корней нет;
2)
Ответ:
Пример 16. Решите уравнение [10, с.315].
Решение. Преобразуем уравнение к виду:
Так как не является корнем исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на выражение х2.
Пусть, тогда
.
Имеем два уравнения:
.
Действительных корней нет;
Ответ: ;
.
При решении некоторых рациональных уравнений хороший эффект даёт формула «Квадрат двучлена». В результате её выделения «вырисовывается» нужная замена переменных, позволяющая свести уравнение к квадратному.
Пример 17. Решите уравнение [4, с.14].
Решение. О.Д.З.
Заметим, что в левой части уравнения стоят квадраты выражений х и
К сумме квадратов этих выражений прибавим и отнимем их удвоенное произведение и выделим формулу «Квадрат разности двух выражений».
«Проявилась» замена которая понижает степень уравнения.
Далее получаем два уравнения:
.
Действительных корней нет.
Ответ:
Упростить уравнение нередко помогает почленное деление на выражение с переменной. В этом случае необходимо убедится, что значение переменной, при котором выражение обращается в ноль, не является корнем исходного уравнения.
Такой приём используется в отдельных видах рациональных уравнений. Например, для решения возвратного или симметрического уравнений четвёртой степени приходится выполнять почленное деление на выражение Но не всегда данное уравнение можно соотнести с конкретным видом. Математическая интуиция и наблюдательность «подскажет», на какое выражение надо делить.
Пример 18. Решите уравнение [10, с.320].
Решение. Поделим обе части уравнения на выражение Эта операция возможна, так как
не является корнем уравнения. Имеем:
Получаем уравнение, аналогичное разобранному в примере 17, и выделяем квадрат двучлена.
Заменой сводим уравнение к квадратному:
Отсюда
Вернёмся к замене:
1) 2)
действительных корней нет.
Ответ:
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В процессе написания работы обобщены научные сведения по теме «Рациональные уравнения»:
В ходе проведённого исследования намечены перспективы: необходимо более детальное изучение приёмов и методов решения отдельных видов рациональных уравнений.
В связи с этим планируется продолжить научные изыскания в данной области с целью нахождения наиболее рациональных способов решения таких уравнений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При работе над данной темой:
Мир рациональных уравнений огромен и многогранен, в нём существуют уравнения достаточно сложные по своей структуре, решить которые можно только благодаря умению находить нестандартные приёмы.
Исходя из выше сказанного, мы предлагаем использовать тему, изложенную в данной работе, как основу для создания программы предпрофильного элективного курса «Рациональные уравнения и способы их решения» и надеемся, что знания, полученные в результате изучения курса, помогут учащимся в дальнейшем самоопределении.
Надеемся, что работа будет полезна всем тем, кто увлекается математикой, кто желает знать свыше программного материала, углубить свои знания и связать свою будущую профессию с математикой.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ПРИЛОЖЕНИЕ
Банк заданий по теме «Рациональные уравнения»
Решение.
Обозначим, тогда
,
Вернемся к замене:
D < 0, следовательно, действительных корней нет.
Ответ: ;
.
2. Решите уравнение
Решение. Приведём данное уравнение к виду .
.
В нашем случае А = 16, а = 6, b = 8. Сделаем замену
В результате преобразований получается биквадратное уравнение:
или
– корни первого уравнения, второе – действительных корней не имеет. Вернёмся к замене:
или
Ответ: 6; 8.
3. Решите уравнение
Решение. Квадратные трёхчлены в скобках отличаются вторыми коэффициентами. Значит, имеем уравнение вида:
Оно решается делением обеих частей на выражение , поскольку
не является его корнем.
Произведём замену , которая сводит уравнение к квадратному:
Вернёмся к замене:
Уравнение не имеет действительных корней, так как при любом х.
Ответ: 1; 6.
4. Решите уравнение [9, с.98].
Решение. Это симметрическое уравнение четвёртой степени. Разделим обе части на выражение поскольку х = 0 не является корнем исходного уравнения.
Получаем:
Пусть , тогда
Отсюда имеем:
1) 2)
Ответ:
5. Решите уравнение
Решение. Имеем возвратное уравнение четвёртого порядка, где
. Значение
не является корнем уравнения.
/
Замена: .
,
.
Вернёмся к замене:
Ответ:,
,
.
6. Решите уравнение
Решение. Знаменатель дроби не обращается в ноль, так как при любом х. В числителе выделим квадрат двучлена, затем разложим его на множители с помощью формулы «Разность квадратов».
Ответ: .
7. Решите уравнение [11, с.1].
Решение. Применим алгоритм решения для симметрического уравнения четвёртой степени.
Пусть , тогда
Получаем квадратное уравнение:
Ответ:
Слайд 1
Автор работы : Лавренникова Анастасия , ученица 9 «А» класса ГБОУ СОШ № 2 п.г.т . Усть – Кинельский Научный руководитель: Фролова Елена Юрьевна , учитель математики ГБОУ СОШ № 2 п.г.т . Усть – Кинельский Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 В мире рациональных уравнений РЕГИОНАЛЬНЫЙ КОНКУРС ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ И ПРОЕКТОВ ШКОЛЬНИКОВ « МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС »Слайд 2
Приобретенные при изучении дополнительной научной литературы навыки в дальнейшем позволят решать достаточно широкий круг текстовых задач, что является актуальным при изучении математики и смежных дисциплин. систематизировать методы решения рациональных уравнений и показать их применение при решении нестандартных уравнений. Актуальность исследования Цель исследования: Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 Введение
Слайд 3
отобрать научную литературу по данной теме; научиться решать квадратные уравнения различными методами ; познакомиться с понятием симметрических, возвратных и однородных уравнений ; изучить методы решения рациональных уравнений ; научиться выбирать оптимальные способы решения рациональных уравнений при решении нестандартных задач по математике . Объект исследования: рациональные уравнения изучение приёмов решения нестандартных задач, основанных на использовании основных методов решения рациональных уравнений Задачи: Введение Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 Предмет исследования:
Слайд 4
Известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге « Ал- джабар » описал способы решения различных уравнений, в том числе и уравнений высших степеней. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней уравнений. Из истории рациональных уравнений Ал-Хорезми Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 Необходимость решать уравнения в древности была вызвана потребностью в умении делить доходы и имущество, вычислять площади земельных участков и стоимость товара, находить объёмы фигур, и определялась развитием астрономии и самой математики.
Слайд 5
Рациональное выражение с одной переменной – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным , если f(x) и g(x) – рациональные выражения. Если f(x) и g(x) – целые выражения, то уравнение называют целым. Рациональное уравнение f(x) = g(x) называется дробным , если хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) является дробным. Основные понятия Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2
Слайд 6
Простейшие преобразования . Достаточно выполнить обычные упрощения: приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и т.д. 2. Подстановка . Иногда при решении рациональных уравнений имеет смысл ввести новую переменную, заменив ею некое повторяющееся рациональное выражение . 3. Распадающееся уравнение . Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно представить в виде P(x)Q(x) = 0 , где P(x) и Q(x) – целые рациональные функции. Методы решения рациональных уравнений Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2
Слайд 7
Биквадратное уравнение: Однородное уравнение 2-ого порядка: Симметрическое уравнение 4-ого порядка: Возвратное уравнение 4-ого порядка: Уравнение вида: Классификация рациональных уравнений x 2 = t, t > 0 Замена: Замена: Замена: Замена: Замена: Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2
Слайд 8
Уравнения вида Классификация рациональных уравнений Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 Замена: Замена: t = x 2 – (a + d )x Замена:
Слайд 9
Вернёмся к замене: Действительных корней нет. Ответ: ; 2 Пусть тогда 1) 2) Решение нестандартных уравнений с использованием особых приемов Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 Решение . Решите уравнение: Приём почленного деления
Слайд 10
Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 Решение нестандартных уравнений с использованием особых приемов Решение . Решите уравнение: Приём выделения квадрата двучлена Пусть тогда 1) 2) Корней нет.
Слайд 11
Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 Решение нестандартных уравнений с использованием особых приемов Решение . Решите уравнение: Пусть тогда Вернёмся к замене: Корней нет. 1) 2) Приём комбинирования
Слайд 12
В ходе исследования обобщены научные сведения по теме «Рациональные уравнения»: Результаты исследования приведена классификация рациональных уравнений; сформулированы основные понятия , связанные с симметрическими, возвратными и однородными уравнениями; рассмотрены основные способы решения рациональных уравнений; выявлены приёмы , позволяющие понизить степень уравнения и тем самым упростить процесс решения; скомплектован банк задач с решениями в соответствии с рассмотренной классификацией, представленный в приложении. Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2
Слайд 13
задействовано большое количество математической литературы , освоение которой, позволило повысить уровень знаний ; изучены различные способы решения квадратных уравнений; приобретены навыки решения рациональных уравнений , которые в дальнейшем могут быть использованы при изучении математики в старших классах и подготовке к математическим олимпиадам и основному государственному экзамену ; освоен редактор формул и усовершенствованы компьютерные навыки , в результате чего исчезли трудности в наборе дробей, дробных выражений и математических символов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 При работе над темой:
Слайд 14
1. Аксенова М. Д. Энциклопедия для детей Аванта +. Т.11. Математика. 2. Башмаков М.И. «Уравнения и неравенства». Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 3. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1987. – 432 с. 4. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена / С.И Колесникова. – 3-е изд. М.: Айрис-пресс, 2007. – 272 с. – (Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ). 5. Максютин А.А. Математика – 10. Учебное пособие для 10-х математических классов, лицеев и гимназий. – 2-е изд., перераб . и доп. – Самара, 2002. – 588 с. 6. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб . – М.: Мнемозина, 2007. – 215 с. : ил. 7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – 4-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 287 с. : ил. 8. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. Издательство «Айрис», г. Москва, Милютинский пер., 18. 9. http :// mmetodika.narod.ru/page/urav2.htm 10. http://easymath.com.ua/show_material.php?subp=rat_equat&type=methods БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2
Слайд 15
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Лавренникова Анастасия, ГБОУ СОШ №2 РЕГИОНАЛЬНЫЙ КОНКУРС ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ И ПРОЕКТОВ ШКОЛЬНИКОВ « МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС »
О путнике
Марши для детей в классической музыке
Любимое яичко
Сторож
За еду птицы готовы собирать мусор