В мире рациональных уравнений

РЕГИОНАЛЬНЫЙ КОНКУРС ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ И ПРОЕКТОВ ШКОЛЬНИКОВ «МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС»         

Направление: «Математика в моей жизни»

Тема: «В мире рациональных уравнений»

Автор: Лавренникова Анастасия Алексеевна,

учащаяся 9 класса ГБОУ СОШ № 2 п.г.т. Усть–Кинельский

Научный руководитель: Фролова Елена Юрьевна,

учитель математики ГБОУ СОШ № 2 п.г.т. Усть–Кинельский

г. Самара, 2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах.

Г. Цейтен

Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». Время не стоит на месте, но по-прежнему непрерывное образование является реальной необходимостью, которая требует полноценной общеобразовательной подготовки, в том числе и математической, и в наши дни.

        «Рациональное уравнение» – важнейшее базовое понятие математики [1, с.177]. Прочное его освоение создаёт условия для осознанного понимания изложения теории и решения разнообразных задач путём отбора оптимального метода решения. Проблема заключается в том, что известных из школьного курса алгебры способов решения таких уравнений явно недостаточно, чтобы на должном уровне уметь решать конкурсные задачи по математике. Именно поэтому приобретение новых сведений о рациональных уравнениях можно рассматривать как подспорье в решении большого класса алгебраических задач.

Компенсировать недостаток знаний по данной теме удалось за счёт изучения дополнительной  научной литературы и знакомства с новыми типами рациональных уравнений, а также приёмами для их решения. Приобретенные при этом навыки в дальнейшем позволят решать достаточно широкий круг текстовых задач, что является актуальным при изучении математики и смежных дисциплин.

Исходя из этого, поставлена цель исследования – систематизировать методы решения рациональных уравнений и показать их применение при решении нестандартных уравнений.

Следуя поставленной цели, в работе определены основные задачи:

1. отобрать научную литературу по данной теме;
2. научиться решать квадратные уравнения различными методами;
3. познакомиться с понятием симметрических, возвратных и однородных уравнений;
4. изучить методы решения рациональных уравнений;
5. научиться выбирать оптимальные способы решения рациональных уравнений при решении нестандартных задач по математике;
6. создать банк заданий по теме исследования.

Характер исследования обуславливает необходимость применения комплекса следующих общенаучных методов исследования: теоретический анализ литературы по данной проблеме, сравнительный анализ, наблюдение, синтез, моделирование.

Рациональные уравнения служат объектом исследования, а изучение приёмов решения нестандартных задач, основанных на использовании основных методов решения рациональных уравнений, является предметом исследования.

Теоретическая значимость исследования заключается в систематизации основных приемов решения рациональных уравнений и применении теории рациональных уравнений к решению нестандартных задач.

Практическая значимость состоит в приобретении навыков решения рациональных уравнений различными способами и возможном  их использовании при подготовке к математическим олимпиадам и основному государственному экзамену.

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1. Из истории уравнений

С давних времён для однотипных задач в разных странах пытались отыскать общие правила решения. В этих правилах содержался некий алгоритм для нахождения неизвестной величины через данные числа. Так возник один из разделов математики – алгебра, в которой изначально в основном рассматривались вопросы, связанные с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью в умении делить доходы и имущество, вычислять площади земельных участков и стоимость товара, находить объёмы фигур определённой формы, проводить земельные работы военного характера, а также развитием астрономии и самой математики.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны около 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. В клинописных текстах встречаются решения как неполных, так и полных квадратных уравнений с применением алгебраической записи. Правила решения этих уравнений совпадают по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне не использовалось понятие отрицательного числа, и отсутствовали общие методы решения квадратного уравнения.

Не меньшую роль, чем квадратные уравнения, играют в математике и ее приложениях уравнения третьей и более высоких степеней.

Известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал-джабар» описал способы решения различных уравнений, в том числе и уравнений высших степеней. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней уравнений.

Известны вавилонские клинописные таблички, в которых встречаются решения некоторых кубических уравнений. Несмотря на то, что этим вопросом занимались очень давно, основные сведения об уравнениях высших степеней были получены только в XIX веке.

1.2. Основные понятия в теории рациональных уравнений

Рациональное выражение с одной переменной – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую  степень [7, с.129].  

Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения [1, с.223]. При этом если f(x) и g(x) – целые выражения, то уравнение называют целым. Целое рациональное уравнение может быть записано в виде , где  – некоторые числа. К простейшим целым рациональным уравнениям относятся линейные и квадратные уравнения.  

Рациональное уравнение f(x) = g(x) называется дробным, если хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) является дробным. Для решения такого уравнения нужно:

1. перенести все члены уравнения в одну часть;
2. найти общий знаменатель всех имеющихся дробей и преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби , где Р(х) и Q(х) – многочлены;
3. заменить уравнение целым, умножив обе части на общий знаменатель;
4. решить полученное целое уравнение;
5. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель [7, с.131].

1.3. Методы решения рациональных уравнений

Множество рациональных уравнений можно разделить по методу решения. Перечислим основные из них.

1. Простейшие преобразования

Для решения некоторых рациональных уравнений не требуется знание особых приёмов. Достаточно выполнить обычные упрощения: приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и т.д. Главное – не попасться в какую-нибудь ловушку, связанную с областью допустимых значений переменной.

Пример 1. Решите уравнение  [9, с.96].

Решение.  О.Д.З.   (1)

Приводим уравнение к виду , затем раскрываем скобки.

х = 0 или

D = 932  – 4·11·190 = 289.
 

Найденные значения переменной х удовлетворяют соотношениям (1).

Ответ: 0; ; 5.

2. Подстановка 

Иногда при решении рациональных уравнений имеет смысл ввести новую переменную, заменив ею некое повторяющееся рациональное выражение.

Например, в уравнении aP2(x) + bP(x) + c = 0, где P(x) – многочлен, вводим новую переменную P(x) = y.

Решаем квадратное уравнение ay2 + by + c = 0 (2)   относительно y и возвращаемся к решению уравнений P(x) = yi, где yi – решения уравнения (2).

Метод подстановки упрощает вид уравнения, понижает его степень. В некоторых случаях замена переменных сразу очевидна, но в более сложных примерах подстановка видна лишь после нескольких преобразований.

Пример 2. Решите уравнение  [9, с.98].

Решение.

Применим формулу сокращённого умножения:

Сразу можно увидеть подстановку

Вернёмся  к замене:

1)                                                        2)

D1 < 0 ⇒ действительных корней нет;                

Ответ: – 4; 2.

Пример 3. Решите уравнение  [2, с.43].     

        Решение. О.Д.З.

Делая замену x2 + x = y, получаем уравнение, которое сводится к квадратному:

2у2  + 3у – 14 = 0,

y1 = – 3,5,  y2 = 2.

Имеем два квадратных уравнения:

x2 + x = 2 или  x2 + x = – 3,5.

Корнями уравнения x2 + x – 2 = 0 являются числа – 2 и 1, второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: – 2; 1.

3. Распадающееся уравнение

Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно представить в виде P(x)Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) – целые рациональные функции [12, с.12]. Далее приходим к решению более простых уравнений: P(x) = 0 или Q(x) = 0.

Пример 4. Решите уравнение   [11, с.1].      

Решение. Преобразуем уравнение с использованием формул сокращённого умножения.

Левую часть уравнения удалось разложить на множители, значит, осталось решить два квадратных уравнения:

1)  

    D < 0.

    Действительных корней нет.

2)  

     D = 32  + 4 = 13.            

Ответ:

Пример 5. Решите уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Левую часть разложим на множители с помощью формулы «Разность кубов» и вынесения общего множителя за скобки.

После приведения подобных слагаемых во второй скобке получаем распадающееся уравнение:

          или

Ответ: – 4; – 1; 2.

Разложение на множители позволило свести решение кубического уравнения к решению линейного и квадратного уравнений.

1.4. Классификация рациональных уравнений

Среди рациональных уравнений можно выделить несколько основных видов.

1. Биквадратное уравнение – это уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0.

Для его решения используем замену x2 = t, где t > 0. После подстановки новой переменной получаем уравнение at2 + bt + c = 0, решая которое приходим к уравнению x2 = ti, где ti – корни квадратного уравнения [12, с.1].

2. Однородное уравнение второго порядка: aP2(x) + bP(x)Q(x) + cQ2(x)=0.

Для его решения рассматривают два случая:

1) если Q(x) = 0, тогда уравнение примет вид: P(x) = 0;

2) если же Q(x) ≠ 0, тогда исходное уравнение можно поделить на Q2(x).

Полученное при этом уравнение a+ b + c = 0 сводится к квадратному с помощью замены  = t.

Решения каждого из двух случаев включаются в ответ.

3. Симметрическое уравнение.

Уравнение вида  в котором коэффициенты членов, равноудалённых от начала и конца, равны, называется симметрическим.

Докажем, что симметрическое уравнение нечетной степени всегда имеет корень, равный –1. Доказательство проведём методом группировки на примере кубического уравнения , где .

  или  

Очевидно, что корнями симметрического уравнения третьей степени являются число – 1 и корни полученного квадратного уравнения, что и требовалось доказать.

Симметрическое уравнение четвёртой степени  () решается делением на выражение х2 (поскольку х = 0 не является его корнем) и заменой .

Если , тогда  

Используя указанную замену, приходим к уравнению . Оно сводится к квадратному  относительно переменной t:

После его решения возвращаемся к исходной переменной x.

4. Возвратное уравнение четвёртого порядка: (все коэффициенты отличны от нуля).

После почленного деления на х2 получаем:

Пусть  тогда  а уравнение примет вид:

Если это уравнение имеет корни у1 и у2, то остаётся решить два уравнения:   [8, с.28].

5. Уравнение вида , где  и .

Введём новую переменную t = x2 – (a + d)x и получим квадратное уравнение (t + ad)(t + bc) = l. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

6. Уравнение вида  [12, с. 1].

Сделаем замену , тогда исходное уравнение примет вид:  Умножив обе части уравнения на t  получим квадратное уравнение at2 + ct + b = 0. Находим его корни и переходим к переменной х.

7. Уравнение вида   [3, с.210].

Для его решения, используя метод симметризации, делаем замену  В результате преобразований уравнение приводим к биквадратному.

8. Уравнение вида

Поскольку х = 0 не является корнем данного уравнения  то разделив его почленно на выражение х2, получим:  Замена  сведёт уравнение к виду  Получив корни квадратного уравнения, возвращаемся к замене.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Решение рациональных уравнений с использованием основных методов

Самое трудное при решении рациональных уравнений – правильно определить, к какому виду оно относится. Если идентификация состоялась, тогда метод решения становится очевиден, если же классифицировать уравнение затруднительно, то необходимо придумать, как свести уравнение к более простому. В этом случае бывает полезно сделать замену неизвестного, которая упрощает вид уравнения.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 6. Решите уравнение  [5, с.27].  

        Решение. Заметим, что выражения  и  отличаются на 2, поэтому удобно сделать замену переменных  Тогда заданное уравнение примет вид:     

Вернёмся к замене:

1)  

Полученное уравнение не имеет действительных корней.

2)

Ответ: .

В рассмотренном примере метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.

Пример 7. Решите уравнение  [10, с.317].

Решение. Возведём двучлен в квадрат, а линейные множители перемножим.

Выполненные преобразования приводят к замене:. Уравнение принимает вид:

Вернёмся к замене:

.

Действительных корней нет;

Ответ: – 1,5;

Пример 8. Решите уравнение [6, с. 165].

Решение. Дано уравнение вида , где  и . В этом случае удобная подстановка уже известна: t = x2 – (a + d)x, а уравнение с помощью неё сводится к виду (t + ad)(t + bc) = l.

Имеем: значит, x2 + 6x = t. Далее остаётся решить уравнение (t + 5)(t + 8) = 10 и вернутся к замене.

Иногда для уравнений такого вида используют другой подход.

Перегруппируем множители

Получим:

Пусть , тогда

Вернемся к замене:

D1 < 0.

               Действительных корней нет;

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение х(х - 1)(x - 2)(x - 3) = 24 [8, с.24].

Решение. Имеем: значит, x2 – 3x = t. Получаем уравнение:

Имеем:   
Возвращаясь к замене, получаем два уравнения:

D < 0.

               Действительных корней нет;

Ответ: – 1; 4.

Пример 10. Решите уравнение  [6, с.165].

Решение. Квадратные трёхчлены в скобках отличаются вторыми коэффициентами. Значит, имеем уравнение вида:

Оно решается делением обеих частей  на выражение , поскольку  не является его корнем.

Произведём замену  которая сводит уравнение к квадратному:

Вернёмся к замене:

Уравнение не имеет действительных корней, так как  при любом х. 

Ответ: – 1; – 2.

Пример 11. Решите уравнение [6, с. 166].

Решение. Уравнение аналогично предшествующему, поэтому решаем по тому же алгоритму, но немного «подкорректируем» замену переменных.

Пусть , тогда уравнение примет вид:

Имеем два уравнения:

1.                                                       2)  

Ответ: .

Пример 12. Решите уравнение  [9, с.99].

Решение. Данное уравнение приведено к виду , где А=16, а = –3, b = –5. Замена  в нашем случае такова: .

В результате преобразований уравнение приводим к биквадратному:

 или  

 – корни первого уравнения, второе – действительных корней не имеет. Вернёмся к замене:

         или

Ответ: – 5; – 3.

Пример 13. Решите уравнение  [6, с. 154].

Решение. Заметим, что уравнение симметрическое третьей степени. Значит, одним из его корней является число . Остальные корни находим из квадратного уравнения  Имеем:   Квадратное уравнение  не имеет действительных корней, так как .

Ответ: – 1.

Пример 14. Решите уравнение  [6, с. 154].

Решение. Это симметрическое уравнение четвёртой степени. Решаем его почленным делением на выражение , получаем:  

Если , тогда  

Используя указанную замену, приходим к квадратному уравнению относительно переменной t:

Вернёмся к замене:

1)                                                  2)    

Ответ: 1; .                                          

2.2. Решение нестандартных уравнений с использованием особых приёмов

Трудность решения в какой-то мере   входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

                                                                                                                           Д. Пойа

Искусством решать задачи овладеть далеко не просто. Тут требуется интуиция, большой опыт и, как в каждом искусстве, умение свободно применять различные «технические» приёмы.  

1. Приём комбинирования

Зачастую встречаются рациональные уравнения, которые нельзя вписать в рамки строго очерченной классификации, хотя элементы того или иного вида в них присутствуют. В таких ситуациях надо комбинировать решение, исходя из накопленного арсенала методов и приёмов.

Пример 15. Решите уравнение  [6, с.166].

Решение. Перегруппируем множители, стоящие в левой части:

Получим уравнение, у которого квадратные трёхчлены отличаются вторыми коэффициентами.  

Убеждаемся, что х = 0 не является корнем уравнения, и делим обе части на выражение

Вводим замену , тогда:

Вернёмся к замене:  

1)  

              . Действительных корней нет;

              2)

        Ответ:

Пример 16. Решите уравнение  [10, с.315].     

Решение. Преобразуем уравнение к виду:

Так как  не является корнем исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на выражение х2.

Пусть, тогда .

Имеем два уравнения:

.

Действительных корней нет;

Ответ: ; .

2. Приём выделения квадрата двучлена

При решении некоторых рациональных уравнений хороший эффект даёт формула «Квадрат двучлена». В результате её выделения «вырисовывается» нужная замена переменных, позволяющая свести уравнение к квадратному.

Пример 17. Решите уравнение  [4, с.14].

Решение. О.Д.З.

Заметим, что в левой части уравнения стоят квадраты выражений х и

К сумме квадратов этих выражений прибавим и отнимем их удвоенное произведение и выделим формулу «Квадрат разности двух выражений».

«Проявилась» замена  которая понижает степень уравнения.

Далее получаем два уравнения:

                   .

                   Действительных корней нет.

Ответ:

3. Приём почленного деления

Упростить уравнение нередко помогает почленное деление на выражение с переменной. В этом случае необходимо убедится, что значение переменной, при котором выражение обращается в ноль, не является корнем исходного уравнения.

Такой приём используется в отдельных видах рациональных уравнений. Например,  для решения возвратного или симметрического уравнений четвёртой степени приходится выполнять почленное деление на выражение  Но не всегда данное уравнение можно соотнести с конкретным видом. Математическая  интуиция и наблюдательность «подскажет», на какое выражение надо делить.

Пример 18. Решите уравнение   [10, с.320].

Решение. Поделим обе части уравнения на выражение  Эта операция возможна, так как  не является корнем уравнения. Имеем:

Получаем уравнение, аналогичное разобранному в примере 17, и выделяем квадрат двучлена.

Заменой  сводим уравнение к квадратному:  Отсюда

Вернёмся к замене:

1)                                         2)  

                                                          действительных корней нет.

Ответ:

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В процессе написания работы обобщены научные сведения  по теме  «Рациональные уравнения»:

• приведена классификация рациональных уравнений;
• сформулированы основные понятия, связанные с симметрическими, возвратными и однородными уравнениями;
• рассмотрены основные способы решения рациональных уравнений;
• выявлены приёмы, позволяющие понизить степень уравнения и тем самым упростить процесс решения;
• скомплектован банк задач с решениями в соответствии с рассмотренной классификацией,  представленный в приложении.

В ходе проведённого исследования намечены перспективы: необходимо более детальное изучение приёмов и методов решения отдельных видов рациональных уравнений.

В связи с этим планируется продолжить научные изыскания в данной области с целью нахождения наиболее рациональных способов решения таких уравнений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над данной темой:

• было задействовано большое количество математической литературы, освоение которой, позволило повысить уровень знаний;
• изучены различные способы решения квадратных уравнений;
• приобретены навыки решения рациональных уравнений, которые в дальнейшем могут быть использованы при изучении математики в старших классах и подготовке к математическим олимпиадам и основному государственному экзамену;
• освоен редактор формул и усовершенствованы компьютерные навыки, в результате чего исчезли трудности в наборе дробей, дробных выражений и математических символов.

Мир рациональных уравнений огромен и многогранен, в нём существуют уравнения достаточно сложные по своей структуре, решить которые можно только благодаря умению находить нестандартные приёмы.

Исходя из выше сказанного, мы предлагаем использовать тему, изложенную в данной работе, как основу для создания программы предпрофильного элективного курса «Рациональные уравнения и способы их решения» и надеемся, что знания, полученные в результате изучения курса, помогут учащимся в дальнейшем самоопределении.

Надеемся, что работа будет полезна всем тем, кто увлекается математикой, кто желает знать свыше программного материала, углубить свои знания и связать свою будущую профессию с математикой.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аксенова М. Д. Энциклопедия для детей Аванта +. Т.11. Математика.
2. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – 2-е издание, перераб.– М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976. – 96 с.
3. Вавилов В.В. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 432 с.
4. Горнштейн П.И., Поляк Н.Н., Тульчинский В.К. Решение конкурсных задач по математике. / Из сборника под редакцией М.И. Сканави. Группа В–М.:» Инфролайн», 1995. – 232с.
5. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена / С.И Колесникова. – 3-е изд.   М.: Айрис-пресс, 2007. – 272 с. – (Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ).
6. Максютин А.А. Математика – 10. Учебное пособие для 10-х математических классов, лицеев и гимназий. – 2-е изд., перераб. и доп. – Самара, 2002. – 588 с.
7. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2013. – 215 с. : ил.
8. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – 4-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 287 с. : ил.
9. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. – Москва, Издательство «Айрис», 2005. – 136 с. : ил.
10. Кушнир И. Шедевры школьной математики. Задачи с решениями в двух книгах. Книга 1. – Киев: «Астарта», 2005. – 576 с.
11. http://mmetodika.narod.ru/page/urav2.htm
12. http://easymath.com.ua/show_material.php?subp=contest&type=methods

ПРИЛОЖЕНИЕ

Банк заданий по теме «Рациональные уравнения»

1. Решите уравнение  [9, с.98].

Решение.

Обозначим, тогда ,

Вернемся к замене:

D < 0, следовательно, действительных корней нет.

Ответ: ; .

2. Решите уравнение  

Решение. Приведём данное уравнение к виду .

.

В нашем случае  А = 16, а = 6, b = 8. Сделаем замену

В результате преобразований получается биквадратное уравнение:

 или  

 – корни первого уравнения, второе – действительных корней не имеет. Вернёмся к замене:

         или

Ответ: 6; 8.

3. Решите уравнение

Решение. Квадратные трёхчлены в скобках отличаются вторыми коэффициентами. Значит, имеем уравнение вида:

Оно решается делением обеих частей  на выражение , поскольку  не является его корнем.

Произведём замену , которая сводит уравнение к квадратному:

Вернёмся к замене:

Уравнение не имеет действительных корней, так как  при любом х. 

Ответ: 1; 6.

4. Решите уравнение  [9, с.98].

Решение. Это симметрическое уравнение четвёртой степени. Разделим обе части на выражение поскольку х = 0 не является корнем исходного уравнения.

Получаем:

Пусть , тогда

   

 
Отсюда имеем:

1)                                     2)

Ответ: 

5. Решите уравнение

        Решение. Имеем возвратное уравнение четвёртого порядка, где  . Значение  не является корнем уравнения.

/   

Замена: .

, .

Вернёмся к замене:

Ответ:, , .

6. Решите уравнение  

Решение. Знаменатель дроби не обращается в ноль, так как  при любом х. В числителе выделим квадрат двучлена, затем разложим его на множители с помощью формулы «Разность квадратов».

Ответ: .

7. Решите уравнение  [11, с.1].

Решение. Применим алгоритм решения для симметрического уравнения четвёртой степени.

Пусть , тогда  Получаем квадратное уравнение:

Ответ: