Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 города Кузнецка

 Изопериметрические задачи

Исследовательская работа по математике

Выполнила:

ученица 8 Б класса                                                                                                                Никонова Анна                                                           Руководитель: Осипова                                                         Оксана Владимировна-учитель математики

Кузнецк, 2017

Оглавление

1. Введение………………………………………………………………………3

2. Изопериметрические задачи в древности ………………………………5

3. Миф о Дидоне ………………………………………………………………..7

4. Метод Якоба Штейнера…………………………………………………….8

5. Исследование площадей плоских фигур………………………………...10

6. Решение задач………………………………………………………………17

7. Заключение………………………………………………………………….22

8. Литература………………………………………………………………….23

1.Введение

На внеурочном занятии «Занимательная математика» учитель предложил мне для решения следующую задачу:

«Из 8 спичек можно составить довольно разнообразные замкнутые фигуры. Некоторые из них представлены на рисунке 1; площади их конечно различны. Задача состоит в том, чтобы составить из 8 спичек фигуру, охватывающую наибольшую площадь».

Рисунок 1.

Для решения данной задачи мне потребовалось рассмотреть фигуры с одинаковым периметром, так как все они состоят из 8 спичек, и изучить их площади. Оказалось, что связь периметра и площади является одной из самых древних задач математики - изопериметрической задачи.

Ее я и выбрала в качестве темы моей научно-исследовательской работы.

Изопериметрические задачи (от изо... (греч.) - постоянный и периметр) – класс задач вариационного исчисления на нахождение наибольшего или наименьшего значения по заданной величине.

 Изопериметрическая задача на плоскости состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром.

 Изопериметрическая задача в пространстве состоит в нахождении среди тел, ограниченных поверхностью данной величины, того тела который заключает наибольший объем.

Выбранную тему считаю актуальной, потому что изопериметрические  задачи  важны не только в математике, но и в  ее приложениях, а также в экономике и технике.

Цель работы: доказательство того, что среди геометрических фигур с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг. Показать применение изопериметрической задачи в повседневной жизни.

Объект исследования: изопериметрическая задача.

Предмет исследования:  приемы решений изопериметрической задачи.

Гипотеза: среди геометрических фигур с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг.

2. Изопериметрические задачи в древности

Попытки строгого доказательства изопериметрических задач предпринимались ещё в древности. Многие выдающиеся мыслители находили различные объяснения максимальности круга и шара.

Вот что  писал Николай Коперник в  своей великой книге «О вращениях небесных сфер»: «Прежде  всего, мы должны заметить, что мир является шарообразным или потому, что эта  форма  совершеннейшая из всех и не нуждается ни в  каких скрепах и вся представляет цельность, или потому, что эта форма среди всех других обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно охватить и сохранить всё». Если шар вмещает в себя весь мир, то он, конечно, имеет максимальный объём!

В книге Пойа Д. «Математика и правдоподобные рассуждения» написано о том, что  «уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра.

Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри неслучайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности.

В -третьих, древние греки считали круг наиболее совершенной фигурой. Именно такую форму имеют небесные тела и их орбиты. Это соображение увеличивало их уверенность в том, что именно круг, помимо других своих интересных свойств, должен также быть решением изопериметрической задачи.

Но вот геометрически древние  греки доказать этого не могли.

Древнегреческий математик Зенодор, живший в II веке до н. э. в Александрии, дал вполне строгое, даже с позиций сегодняшнего дня, обоснование следующего факта: если для данного n существует n-угольник периметра 1, имеющий максимальную площадь, то это — правильный n-угольник.

Зенодор  написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.), в том числе следующие теоремы:

• из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне (отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника);
• при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного;
•  из двух правильных многоугольников с равными периметрами больше площадь того, у которого больше сторон

Таким образом, чем «ближе» многоугольник к кругу, тем, действительно, больше его изопериметрическое частное.

3. Миф о Дидоне

В римской мифологии есть легенда. Согласно преданию  Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса. После того как брат Дидоны  Пигмалион убил ее мужа, позарившись на его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников покинула родной город Тир, спасаясь от преследований своего брата. Ее корабли отправились на запад по Средиземному морю, и плыли пока Дидона, не заметила удобное для поселения место на африканском побережье, в нынешнем Тунисском заливе.

Принцесса попросила вождя местного племени Ярба выделить ей участок земли на берегу для того, чтобы основать там своё поселение. Король местных жителей нумидийцев Ярб согласился продать Дидоне лишь маленький, по его мнению, участок земли, "в пределах воловьей шкуры". Однако Дидона поступила хитрее. Она разрезала шкуру на тонкие ремни и связала их в одну длинную ленту. Затем перед царевной стояла задача, как этой лентой отгородить участок земли наибольшей площади. Дидона успешно справилась с поставленной задачей и на этом месте основала город Карфаген.

Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает... Известно лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок — она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская граница досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в прошлом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером, а ее «карфагенский вариант» — с учетом того, что часть замкнутой кривой представляет собой прямую линию «побережья», — и того позже.

4. Метод Якоба Штейнера

            Решение изопериметрической задачи было найдено выдающимся швейцарским геометром XIX столетия Якобом Штейнером (1796-1863).

Задача звучит следующим образом: Среди всевозможных плоских замкнутых линий заданной длины найдите ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади.

Решение.

1. Фигура наибольшей площади с заданным периметром - выпуклая. В противном случае мы могли бы построить линию той же длины, ограничивающую фигуру большей площади (рис.2).

Рисунок 2

2. Если прямая делит пополам периметр фигуры, то она делит пополам и площадь фигуры. Пусть прямая АВ (А и В — точки на границе, рис.3) делит пополам периметр фигуры, но при этом одна из двух частей имеет большую площадь. Заменим меньшую часть фигурой, симметричной большей относительно прямой АВ. При этом площадь фигуры увеличится, а периметр не изменится.

Рисунок 3

Пусть М- любая точка на границе фигуры, отличная от А и В (рис.4). Докажем, что

Рисунок 4

Предположим, что это не так. Проведем отрезки AM, MB и АВ, они разрежут нашу фигуру на четыре части. Построим новую фигуру :

1) Δ A1M1B1 - прямоугольный, где A1 M1 = AM, М1B1 = MB, 1M1B1 =90°.

Приставим к его катетам сегменты, равные сегментам 1 и 2 (см. рис.4). Отразим все относительно гипотенузы A1B1.

 Получим новую фигуру с тем же периметром и большей площадью.

S Δ A1 M1 B1>S ΔАМВ. Итак, мы доказали, что если прямая АВ делит пополам периметр фигуры с наибольшей площадью, М — произвольная точка на границе, отличная от А и В, то

Якоб Штейнер доказал, что если фигура наибольшей площади среди всех фигур данного периметра существует, то это — круг. В ходе рассуждений  осталось недоказанным одно утверждение, на которое он опирался: что искомая фигура существует. Сам Штейнер этот недостаток доказательства не устранил. Это было сделано позднее другими математиками Ф. Эдлером и Константином Каратеодори.

С изопериметрической задачи по существу начинается одно из важнейших направлений современной математики — вариационное исчисление.

5. Исследование площадей плоских фигур

Для решения задачи со спичками и нахождения фигуры с наибольшей площадью  я провела исследование плоских фигур, изучаемых в 8 классе. Для удобства вычислений периметр приму 120 см.

5.1 Исследование площадей треугольников с одним и тем же периметром 120 см.

1. Произвольный треугольник со сторонами 40 см, 55 см, 25 см.

                             40                       55
                                                        25

Найдем его площадь по формуле Герона:

 S==  == см2, где p = – полупериметр.

2. Прямоугольный треугольник со сторонами 30 см, 40 см, 50см.

                                 40                          50

                                                            30

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

 см2.

3. Равнобедренный треугольник со сторонами 30 см, 30 см, 60 см.

                                                             45                          45

                                                                             30

S==  см2.

4. Равносторонний треугольник со стороной 40 см.

                                                    40                                 40

                                                                       40

 см2.

Вывод: из всех треугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

5.2 Исследование площадей трапеций с одним и тем же периметром равным 120 см.

1. Произвольная трапеция со сторонами 13 см, 20 см, a = 33 см, b = 54 см.

Воспользуемся формулой площади трапеции: . Найдем высоту по теореме Пифагора:

Подставляем под формулу:  см2.

2. Прямоугольная трапеция со сторонами 20 см, 30 см, a = 20 cм, b = 50 см.

 см2.

3. Равнобедренная трапеция со сторонами 26 см, 26 см, a = 24 см, b = 44 см.

                                                                  24

                                  26                                                                 26

                                                                  44

см2.

Вывод: из всех трапеций с одним и тем же периметром наибольшую площадь имеет равнобокая трапеции.

5.3 Исследование площадей параллелограммов  с одним и тем же периметром равным 120 см.

1. Параллелограмм со сторонами 15  и 45 см и острым углом в 30°.

                                                                              45                                          

                                           15                                                 15

30

                                                                        45

,

 см2.

2. Ромб со стороной 30 см и острым углом в 30°.

                                                  30

 см2.

3. Прямоугольник со сторонами 20 и 40 см.

                                                                           40

                              20

 см2.

4. Квадрат со стороной 30 см.

                                            30

 см2.

Вывод: из всех параллелограммов с одним и тем же периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

5.4. Найдем также площади правильного 6-угольника, 8-угольника с периметром 120см и круга, длина окружности  которого 120 см.

6-угольник со стороной 20 см:

                                                                   20

a = R=20

8-угольник со стороной 15см:

                                                                    15

Круг, длина окружности 120см:

  →  →

 см2.

Построим диаграмму по результатам исследования:

В результате моего исследования получилось:

- наибольшую площадь имеют правильные фигуры, и чем больше количество сторон  у этой фигуры, т.е. чем ближе она к кругу, тем площадь тоже больше;

- самой же большой площадью обладает круг, что подтверждает изопериметрическая задача.

6. Решение задач

1. Из 8 спичек можно составить довольно разнообразные замкнутые фигуры. Некоторые из них представлены на рисунке 1; площади их конечно различны. Задача состоит в том, чтобы составить из 8 спичек фигуру, охватывающую наибольшую площадь».

Для решения воспользуемся вывод сделанным в ходе исследования: круг  является фигурой с наибольшей площадью при одинаковом периметре. Из спичек, конечно, не сложить круга; однако, можно составить из 8 спичек фигуру, наиболее приближающуюся к кругу: это – правильный восьмиугольник.

                                              Рисунок 5.

2. Отрывок из романа Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома»:

 «Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянется трос, прикрепленный к трактору. Механики нажали рычаг — и мотор заработал. Машина сама двинулась вперед, описывая окружность вокруг шеста, служившего ее центром.

- Чтобы окончательно усовершенствовать машину, — сказал Грэхем, — вам остается превратить окружность, которую она описывает, в квадрат. Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли. Грэхем произвел некоторые вычисления, затем заметил: Теряется примерно три акра из каждых десяти. —Не меньше».

Решение.

 Расчет неверен: теряется меньше чем 0,3 всей земли. Пусть, в самом деле, сторона квадрата - а. Площадь такого квадрата - а2. Диаметр вписанного круга равен также а, а его площадь .  

                                     а

Пропадающая часть квадратного участка составляет:

Мы видим, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, как полагали герои американского романа, а всего только 22%.

3. В Кузнецкой кузнице «Kovid» один погонный метр кованного забора стоит 3100 рублей. Определить наименьшую стоимость изгороди, если требуется оградить участок площадью  400 м2. Сравнить разные варианты.

Решение.
1. Наименьшая стоимость будет в том случае, если участок будет иметь форму круга.

 .          

 Стоимость составит 69,08·3100 = 214148 рублей.

2. Если ограда будет иметь форму квадрата, то сторона квадрата равна  м, периметр - 20·4=80 м, стоимость 80·3100 = 248 000 рублей.

3. Если ограда будет иметь форму прямоугольника со сторонами 25 м и 16 м, то его периметр 82 м,  а стоимость  82·3100= 254000 рублей.

4. Рассекатель газовой горелки имеет форму круга диаметром 7 см. Рассчитать на сколько процентов увеличится расход газа, если круглый рассекатель заменить

-квадратным ;

-треугольным;

той же площади

Решение.

1.Для круглой формы

С= 21, 98 см.
 38,465 см2 
2. Для квадратной формы
=6,2 см, P= 624,8 см;  

3. Для формы правильного треугольника   ,

P = 9,5·3 = 28, 5 см;

Вывод: если форму рассекателя газовой горелки заменить с круглой на квадратную той же площади, то расход газа увеличится на 13%,а если на треугольную правильной формы- то увеличится на 30%.

5. Почему канализационный люк круглый?

Практически все люки в городе прикрыты специальными крышками круглой формы.

Выясним, приведет ли изменение формы люка к изменению его стоимости.

Диаметр лаза люка в действующих стандартах близкий к 600 мм.

-при круглой форме длина окружности корпуса С=  1,88 м,

-при квадратной форме 2,4 м,

-площадь крышки круглой формы  0,28 м²,

-площадь крышки квадратной формы  0,36 м².

 Таким образом перерасход материалов на производство люка при переходе от круглой к квадратной его форме  составит = 28 %

6. Возвращаясь к задаче царицы Дидоны, рассчитаем территорию, которую заняла Дидона.

В интернете я нашла приблизительную площадь бычьей шкуры-35800 см². Разрежем ее на полоски шириной 0,5 см, тогда длина полуокружности равна будет 71600 см или 716 м.

С=2πR,   = πR,

R=716:3,14 ≈ 228(м)

Sкруга=πR²,

S круга =3,14∙228² ≈ 163230(м²)

S полукруга = Sкруга: 2 = 81615(м²)

На площади 81615 м²  действительно можно построить крепость.

Заключение

Итак, в своей работе для  достижения цели мною были проведены эксперименты, решены задачи и обоснована изопериметрическая проблема: среди геометрических фигур  на плоскости с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг.

В старших классах я могу продолжить изучение данной задачи, исследовать пространственные фигуры и с помощью эксперимента показать, что  из всех тел, ограниченных поверхностью данной величины, наибольший объем у шара.         

Ежедневно в нашей жизни нам встречаются задачи на нахождение наибольших или наименьших значений, потому что разумный человек непременно ищет такой путь, который поможет ему достигнуть наибольшей выгоды. Но при этом мы даже и не подозреваем, что в таком простом бытовом случае мы решаем изопериметрические задачи.

Изопериметрические задачи - это не только пример старинной математики, но и задачи, которые встречаются каждому из нас в реальной жизни.

Литература:

1.  Крыжановский А.Б. «Изопериметры» М. - Л.,Физматлит, 1959 г.

2.  Олехник С. Н., Нестеренко Ю.В., Потапов  М.К.  «Старинные занимательные задачи».- 2-е изд. исправленное,- Москва «Наука»,  1988.

3.  Перельман Я. И.  «Живая математика». Москва «Наука», 1978 г.

4.  Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. для учащихся 5–7   кл. –М.: Просвещение, 2002.

5. Тихомиров В. М.  Рассказы о максимумах и минимумах.  — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

6. Шарыгин Д. Миф о Дидоне и изопериметрическая задача. «Квант» №1, 1997г.

7.  Шарыгин И. Ф.Задачи по геометрии. Планиметрия. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.

Интернет-ресурсы:

1. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010

2. Джек Лондон « Маленькая хозяйка большого дома»