Квадратное уравнение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

АДМИНИСТРАЦИЯ

МЕДВЕНСКОГО РАЙОНА КУРСКОЙ ОБЛАСТИ

МОКУ «ГОСТОМЛЯНСКАЯ   СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
        ШКОЛА »        

307041 Курская область Медвенский район с. Гостомля

Тел. 8(47146)4-61-38

              «   Квадратное уравнение»

                              Творческая работа

                                             Подготовил учащийся 10 класса

                                                            Морозов Иван

                                             Руководитель: Коренева Н.Н.

                                 2014 г

               В 8 классе на уроке алгебры мы познакомились с квадратным уравнением. Изучали его мы долго, но это стоило того. Как много интересного мы узнали! Оказывается, квадратное уравнение умели решать 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Эти уравнения встречаются в их клинописных текстах.  Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.  Правило решения этих уравнений,  изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

    Но… ближе к теме. Квадратным называют уравнение вида  aх2+bх+с=0, где а,b,с-любые действительные числа, причем а≠0. Число а называется первым коэффициентом, b-вторым, с-свободным членом.

Если первый коэффициент равен 1, то уравнение называют приведенным, а если первый коэффициент не равен 1, уравнение называют неприведенным.

Кроме этого еще различают полные и неполные квадратные уравнения. Неполным называется квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b и с равен 0. Если же в уравнении присутствуют все три слагаемых, то оно называется полным.

Как же решить квадратное уравнение?

Оказывается, это сделать совсем несложно.

Для начала рассмотрим решение неполных уравнений.

Пусть b=0, тогда уравнение принимает вид ах2+с=0. Вот пример решения такого уравнения:

Пример 1.      16х2-9=0

                        16х2=9

                       x2=

                      x=± .

Если с=0, то неполное квадратное уравнение выглядит так: ах2+bх=0

Пример 2.          2х2-9х=0

                           x(2х-9)=0

                           x=0 или 2х-9=0

                           2х=9

                           x=4.5

Пусть теперь b=0 и с=0. Тогда неполное квадратное уравнение имеет вид ах2= 0. Решить его проще простого!

Пример 3.         -15х2=0

                          x2=0

                          x=0.

Бывают случаи, когда неполное квадратное уравнение не имеет корней.

Пример 4.                    4х2+17=0

                                       х2=-17

Т.к выражение 4х2 неотрицательно при любых значениях переменной х, то уравнение 4х2-17= 0  действительных корней не имеет.

Рассмотрим теперь полное квадратное уравнение. Для его решения выработан следующий алгоритм.

        Алгоритм решения уравнения ах2+bх+с=0

1.Вычислить дискриминант   D   по формуле D=b2-4ас.

2.Если D<0, то квадратное уравнение  не имеет корней.

3.Если  D=0, то квадратное уравнение имеет один корень:

x=- .

4.Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня:

x1=,

x2=.

   Кстати, дискриминант- это различитель. Он различает квадратные уравнения  по числу корней. Этот алгоритм можно применять для решения любых квадратных уравнений, но все же неполное удобнее решать так, как указано мной выше. А сейчас я покажу, применение алгоритма на конкретных примерах.

Пример 5.                 2х2+3х+1=0

                          D=32-4×2×1=9-8=1

                                х1==-0.5

                                 х2==-1

Пример 6.                   х2-34х+289=0

                           D=1156-4×289=1156-1156=0

                                      х==17.

Пример 7.                  4х2+х+67=0

                          D=1-4×4×67=1-1072=-1071

                        Т.к. D<0, значит корней нет.

     Теперь представьте себе, что второй коэффициент в квадратном уравнении -  четное число. Тогда можно значительно облегчить работу, если воспользоваться формулой:

 , k =

Если   же данное уравнение является еще и приведенным, т. е. а=1, тогда данная формула выглядит еще проще: x1,2=

Воспользуемся и той и другой формулами и решим еще 2 уравнения:

Пример 8.              9х2-20х-21=0

                                       k=-10

                          x1= ==3

                         x2===

Пример 9.              x2 +4х+1=0

                                    k=2

                         x1=-2+=-2+√3

                        x2=-2-=-2-√3.

      И наконец, я расскажу о решении квадратных уравнений по теореме Виета.

Дело в том, что между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами существую очень любопытные соотношения, которые впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет. Он доказал теорему, которая уже несколько веков носит его имя. Вот она:

Теорема Виета:

Пусть х1,х2-корни квадратного уравнения aх2+bх+с=0. Тогда сумма корней равна -, а произведение корней равно :

x1+х2=-

 x1х2=

В случае приведенного квадратного уравнения     x2 + px + q = 0   данные соотношения принимают очень простой вид:

x1 + x2= - p,    

x1× x2 = q

Рассмотрим применение теоремы Виета.

Пример 10.     x2 + 9x + 20 = 0  

                          x1 + x2= - 9,    

                          x1× x2 = 20

                          x1= -5; x2=-4

Пример 11.       x2 – 88 x + 780 = 0  

                              x1 + x2= 88,    

                              x1× x2 = 780

                              x1= 78; x2=10.

      Как известно, часто дробно- рациональное уравнение сводится к решению квадратного уравнения. Кроме этого, нам приходится решать квадратное уравнение, когда находим нули функции при решении квадратных неравенств. Многие задачи решаются с помощью квадратных уравнений. Да, широка область его применения . Советую тем, кто еще не освоил квадратное уравнение, приложить усилие и изучить  то, о чем я рассказал. И, я уверяю, у вас не будет проблем!