Средние линии трапеции

Опубликовано Разетдинова Эльвира Ахнафовна вкл 13.03.2017 - 19:43

Автор:

Базилев Антон

Автор рассматривает определения, доказательства 6 свойств, решение 4 задач,3 собственные задачи и 3 задачи из ОГЭ и ЕГЭ, связанных с объектом исследования. Все доказательства подробны и достаточно проиллюстрированы. Следует отметить, что в заключении автор указывает на практическую значимость проделанной работы. «Таким образом, используя понятие о трех средней линии трапеции, можно значительно расширить круг задач, решаемых в школьном курсе геометрии. Рассмотренные в работе свойства средних линий трапеции позволяют находить новые способы решения многих геометрических задач». Также автор отмечает важность работы для собственного изучения математики. Выделены цели, методы и задачи исследования. Назван предмет и объект изучения. Результаты исследования можно рекомендовать для изучения на факультативных и кружковых занятиях по математике. Работа удостоена дипломом I степени.

Скачать:

Вложение	Размер
vserossiyskiy_konkurs_issledovatelskih_rabot_uchashchihsya.docx	355.72 КБ

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №12

ТЕМА ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ:

Средние линии трапеции

Оглавление

1. Введение 3

2. Основная часть 5

2.1. Первая средняя линия трапеции 5

2.2.Вторая средняя линия трапеции: 6

2.3. Третья средняя линия трапеции 7

2.4.Свойства средних линий трапеции 8

3.. Практическая часть

3.1.Задачи из источников 11

3.2.Собственные задачи 14

3.3.Задачи из ОГЭ И ЕГЭ 15

4. Заключение 18

5. Литература 19

Введение.

Тема моей работы – «Среднии линии трапеции».

На уроке геометрии, изучая тему, средняя линия трапеции мы решали следующую задачу:

Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны и высота равна 10 см.

Сходу решить задачу у нас не получилось, но когда, с помощью учителя мы доказали, что Sравн.трапеции=h2 , если d1 ┴ d2, то ответ оказался очевиден 100см2. Вскользь, учительница математики сказала, что в задачах с таким условием, высота трапеции будет равна средней линии трапеции.

Я заинтересовался о средней линии трапеции.

Во время своих поисков я наткнулся на упоминание о второй и третьей средней линии трапеции. Мне понятия показались чем-то неизведанным: ни мои одноклассники, ни мои знакомые ничего не слышали об этих средних линиях трапеции. В школьном учебнике (Атанасян Л. С. «Геометрия 7 – 9») о второй линии не упоминается, но есть задача (№ 820), а про третью линию - вообще отсутствуют. Тогда я решил собрать сведения об этих таинственных линиях, задачах, связанные с ними, и оформить свою работу в виде доклада. Думаю, он будет интересен тем людям, которые увлекаются геометрией.

Цель работы:

исследование второй и третьи средней линии трапеции, применение их при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.

Задачи:

Собрать информацию о средних линиях трапеции.
Изучить свойства средних линий трапеции.
Решить задачи, имеющиеся в литературе, в Интернете, на сайтах по подготовке к ОГЕ и ЕГЭ.
Составить и решить свои собственные задачи.

Предмет исследования: геометрия.

Объект исследования: среднии линии трапеции.

Гипотеза: Среднии линии трапеции используется в решении задач ОГЭ И ЕГЭ.

Актуальность темы обусловлена тем, что все больше и больше геометрических задач встречается в экзаменационной работе по математике в 9 и 11 классах, материалы данного исследования можно использовать при подготовке к экзаменам, они будут полезны всем ребятам интересующимся геометрией.

Я начал свою работу со сбора информации в Интернете и в имеющихся архивах книг учителя и в справочниках по математике. К моему удивлению, информации оказалось крайне мало. Очень много полезного для себя я почерпнул в статье «Вторая средняя линия трапеции» (Кушнир И. А., журнал «Математика в школе» № 2, 1993) и в учебном пособии для техникумов под автором Лисичкина В.Т, Соловейчик И.Л.,1991год.

Большую часть свойств второй средней линии трапеции я сформулировал на основе задач, представленных в ней. К сожалению, не все задачи были мне понятны, поэтому я решил продолжить поиск. Задачи, связанные со второй средней линией трапеции оказались у авторов: Лидского В. Б., Прасолова В. В., Сивашинского И. Х., Шахно К. У. Так как задач оказалось очень мало, я решил составить собственные. Мне удалось придумать 2 задачи.

Третья средняя линия трапеция в источниках приводиться виде определения и единственного свойство.

Основная часть

Первая средняя линия трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD - трапеция, MN - средняя линия трапеции.

Доказать: МN || AD;

MN || BC; MN = ( AD + BС)

Доказательство.

1. Для доказательства из вершины B через точку N проведём прямую BN до пересечения этой прямой с продолжением основания AD в точке B1.

2. Рассмотрим ∆ BCN и ∆ B1DN.

1=2 (как вертикальные); 3=4 (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и АB1 секущей CD); CN= ND (по построению)

3. ∆BCN = ∆B1DN ( по второму признаку равенства треугольников( по стороне и двум прилежащим к ней углам) => BC = B1D и BN = B1N.

4. По построению MB = AM. Значит, средняя линия трапеции MN является средней линией ∆ ABB1. По теореме о средней линии треугольника MN AB1. => MN II AD, а AD II BC (по определению трапеции), то MN || BC ( следствие 2 из аксиомы параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и отрезок MN= AB1=(AD+BC). Теорема доказана.

2.2.Вторая средняя линия трапеции.

Вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.

В К С

А S D

KS – вторая средняя линия трапеции АВСD

Как известно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований. А есть ли связь между второй средней линией трапеции и её боковыми сторонами? Очевидно, что вторая средняя линия трапеции не равна полусумме боковых сторон, в чём можно убедиться, хотя бы растяжением одного из оснований:

рис.1 В К С

A1 А S D D1

сумма боковых сторон трапеции изменилась, а длина KS осталась прежней. И всё же связь между второй средней линией трапеции и боковыми сторонами есть. Воспользуемся векторным способом:

в трапеции АВСD (рис.1) ВС || АD, КS – вторая средняя линия.

KS = KB + BA +AS, с другой стороны, KS = KC + CD + DS. Сложив оба равенства, получим: 2KS = (KB + KC) + (BA + CD)+ (AS + DS), т.е.

KS = (BA + CD).

Вывод: таким образом, вектор второй средней линии трапеции равен полусумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз).

Это утверждение можно доказать и вторым способом:

рис.2

В К С В трапеции АВСD (ВС || АD) КS – вторая

средняя линия, О – произвольная точка

По формуле для середины отрезка:

А S D ОК = (ОВ + ОС), OS = (OA + OD)

OS – OK = ((OA – OB) + (OD – OC)), KS = (BA + CD)

2.3. Третья средняя линия трапеции

1.Третья средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

2.Третья средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полуразности:

B C RS = (AD–BC). RS||AD; RS||BC;

R S RS-средняя линия

A D

2.4. Некоторые свойства средних линий трапеции.

1. Первая и вторая средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.

рис.3

B K C Для доказательства рассмотрим

треугольники ВСD и ABD: KN -

M N средняя линия треугольника BCD,

O KN || BD и .

A S D MS–средняя линия треугольника ABD, MS || BD, . Аналогично, МК || АС, , NS || AC, . Таким образом, MKNS – параллелограмм, MN и KS – его диагонали, следовательно, KO = OS, MO = ON.

2. Вторая средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей.

рис.4

B K C Дано: ВК = КС

O Доказать: AS = SD

A S D

Доказательство: как накрест лежащие при ВС || AD и секущей BD. как вертикальные. подобен , аналогично, подобен .

. Из этих равенств следует, что , а т.к. BK = KC (по условию), то AS = SD .

3. Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны. (Слайд 4)

рис.5 О Для доказательства рассмотрим треугольники ВОС и AOD.

Они подобны по двум углам,

B K C

A S D ODOC, OBOA, OA =k ·OB, OD = k ·OC.

По формуле середины отрезка:

OK = (ОВ+ОС), OS = (OA+OD), OS = (k ·OB + k ·OC)= k (OB+ OC)= = k ·OK OK коллинеарен OS, ОKS.

Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны и середину одного из оснований, то она проходит и через середину другого основания (является второй средней линией трапеции).

Дано: Прямая OS проходит через середину основания AD трапеции ABCD.

Доказать: ВК = КС

Доказательство: (по рис.6)

∆KOC ~ ∆SOD ∆ВОК ~ ∆AOS

, т.к. АS = SD(по условию), то КС = ВК.

4. В равнобочной трапеции все средние линии перпендикулярны. (Слайд 5)

В K С Дано: ABCD - трапеция, АВ = CD,

MN, KS – средние линии

М N Доказать: MNKS.

А S D Доказательство: ( рис.7)

MK – средняя линия ∆АВС, МК||АС, МК=АС

NS – средняя линия ∆ADC, NS||AC, NS =АС

Если противоположные стороны четырехугольника MKNS равны и параллельны, то по признаку MKNS – параллелограмм Т.к. трапеция ABCD – равнобокая, то AC = BD,

MK = АС, KN = BD, MK = KN, MKNS - ромб

По свойству ромба, диагонали в нем перпендикулярны, MN KS.

Верно и обратное утверждение: если все средние линии трапеции перпендикулярны, то эта трапеция равнобокая.

Доказательство (по рис.7) :

По теореме о средней линии трапеции MN||BC, MN||AD

По условию MNKS, BCKS, ADKS

BK=KC, AS=SD, KS- ось симметрии трапеции ABCD,

AB и CD симметричны относительно KS, AB=CD.

Пользуясь доказанным свойством, можно сформулировать следующее:

5. В равнобочной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям (см. доказательство предыдущего утверждения)

6. Если первая и вторая средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны. (Слайд 6) рис.8

В Е С

Доказательство:

M N МЕNF – параллелограмм, по условию MN=EF.

Если в параллелограмме диагонали равны,

A F D то этот параллелограмм – прямоугольник, ENME,

т.к. EN||BD, ME||AC, то BDAC. Обратное утверждение также верно: если диагонали трапеции перпендикулярны, то средние линии этой трапеции равны.

Доказательство: ACBD, MEEN, MFFN MENF – прямоугольник EF=MN.

Задачи.

Задачи Кушнир И.А., Лидский В. Б., Прасолов В. В., Сивашинский И. Х., Шахно К. У.)

Мне удалось найти очень мало задач, связанных со второй средней линией трапеции (авторы: Кушнир И. А., Лидский В. Б., Прасолов В. В., Сивашинский И. Х., Шахно К. У.). В учебнике «Геометрия 7-9 » (автор Л.С.Атанасян) представлена лишь одна задача (№820). Кроме того, две задачи повторяются у нескольких авторов, правда, с различными формулировками:

Шахно К. У. [5], стр.73, № 859:

Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

Лидский В. Б.[4], стр.60, №347:

Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон трапеции, пройдёт через точку пересечения диагоналей.

Кушнир И. А.[2], стр.57, №8:

Доказать, что точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции и точка пересечения диагоналей трапеции принадлежат прямой, содержащей вторую среднюю линию трапеции.

Прасолов В. В.[6], стр.14, №1.22:

Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, лежат на одной прямой.

Задача 1 (Кушнир И.А.)

Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на диагональ трапеции и на синус угла между ними.

B E C рис.9 Дано: ABCD – трапеция,

EF – вторая средняя линия.

A F D Доказать:

Доказательство. Соединив точки А и E, С и F, получим что площадь трапеции AECF, , где - угол между отрезками EF и AC. и . Значит, площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади трапеции AECF, что и требовалось доказать.

Задача 2 (Кушнир И.А.)

Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции. ( рис.10.)

B E C

N Дано: ABCD – трапеция,

EF – вторая средняя линия,

M СNEF, AMEF.

A F D Доказать:

Доказательство: Рассмотрим треугольники AEF и ECF. , . Тогда . Т. к. , то .

Задача 3 (Атанасян Л. С.)

(№820) Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.

Решение:

В K С Дано: ABCD - трапеция, АВ = CD,

MN, KS – средние линии

М N Доказать: MNKS.

А S D Доказательство: ( рис.7)

MK – средняя линия ∆АВС, МК||АС, МК=АС

NS – средняя линия ∆ADC, NS||AC, NS =АС

MK = АС, KN = BD, MK = KN, MKNS - ромб

По свойству ромба, диагонали в нем перпендикулярны, MN KS.

Задача 4 (Сивашинский И. Х.)

В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90º. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.( рис.11)

M Решение: AF = FD, BN = NC

º, º,

B N C AD – гипотенуза,

MF = AF = FD = AD

А F D

MN = BC , FN = MF – MN, FN = AD - BC = (AD – BC)

Собственные задачи

Задача 1

Верно ли утверждение: если прямая проходит через середину одного основания трапеции и точку пересечения диагоналей, то и другое основание она делит пополам?

Решение: Да, см. свойство 2.

Задача 2

Основания трапеции равны 10 см и 6 см, вторая средняя линия – 4 см, угол между средними линиями 30º. Найти площадь трапеции.

Решение:

B K С

M O N

A H S D

(соответственные), , КН = 2 см

см².

Ответ: 16.

Задача 3.

Чему равна длина отрезка, являющегося частью средней линии трапеции и лежащего между ее диагоналями. Основания трапеции равны 16 и 20 см

В С

М К О Н

А Д

Решение. По свойству третьей средней линии трапеции КО= (20-16) : 2=2.

Ответ:2.

3.3.Задачи из ОГЭ и ЕГЭ.

Задача 1. Досрочный ЕГЭ 26.04.12. Задание C4.

Боковые стороны и и трапеции KLMN равны10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые и пересекаются в точке . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM .

Решение: Возможны два варианта: 1) KN>LM

predc4a-300x223

Так как средняя линия равна 24, а BC=12 , то получим с одной стороны $\frac{LM+KN}{2}=24$ , с другой стороны: $\frac{KN-LM}{2}=12$ Откуда LM=12; KN=36

$\triangle KAN\sim\triangle LAM$ : $\frac{AK}{AL}=\frac{AN}{AM}=\frac{KN}{LM}=3\Rightarrow$

$\frac{AK}{AL}=\frac{AL+LK}{AL}=\frac{AL+10}{AL}=3\Rightarrow AL=5$

$\frac{AN}{AM}=\frac{AM+MN}{AM}=\frac{AM+26}{AM}=3\Rightarrow AM=13$

$S_{ALM}=30$ — по формуле Герона. Следовательно, $r=\frac{S_{ALM}}{\frac{1}{2}P_{ALM}}=2$

2) KN<LM

predc4b1-300x236

В данном случае $S_{ALM}=270$ и $r=\frac{S_{ALM}}{\frac{1}{2}P_{ALM}}=6$ . Ответ: 2 или 6

Задача 2. Р.К.Гордин « ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4.

Задача 3. Сайт решу ЕГЭ-2015( прототипы №№ 50879,50831,50833,50835…)

№ 27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

get_file?id=1425

Решение.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности большего и меньшего оснований. Поэтому он равен (3 − 2) :2 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 3. Сайт: ЕГЭ-2015 MAXIMUM. ru

Основания трапеции равны 12 и 60. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

2we

I способ:

Из предыдущих задач мы уже знаем, что средняя линия трапеции содержит точки – середины диагоналей.

То есть NM – часть средней линии. Более того, RN=MT=BC/2;

RM=NT=AD/2

Итак, NM=NT-MT=AD/2-BC/2=30-6=24.

II способ:

По свойству третьей средней линии трапеции: (60-12) :2=24.

Ответ: 24.

Заключение

В результате проделанной работы я узнал, что такое вторая средняя линия трапеции, какими свойствами она обладает; разобрал решение задач, связанных с этой линией.

Я выяснил, что вторая и третья средняя линии трапеции используется в решении задач мало, видимо, поэтому она не проходится в школе. Но я не жалею, что потратил время на изучение этой темы, т.к. узнал много нового о трапеции.

В ходе исследования я убедился, что изложенные примеры могут быть применены при решении более сложных задач на ЕГЭ как свойства (теоремы), что позволит сэкономить время на их решение.

Литература

Л. С. Атанасян и др. «Геометрия 7-9» Учебник для образовательных учреждений/- М., Просвещение, 2009
Википедия.- ru.wikipedia.org/wiki/средние линии
И. А. Кушнир «Вторая средняя линия трапеции», журнал «Математика в школе» №2, 1993.
Научный форум dxdy. – dxdy.ru/topic20315.html
И. Х. Сивашинский «Задачник по элементарной математике», - М., Наука, 1966.
Р.К.Гордин « ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4.
К. У. Шахно «Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности», - Минск, Высшая школа, 1966.
Лисичкина В.Т, Соловейчик И.Л.,1991год.
Reshuege.ru. Сайт решу ЕГЭ
Egemaximum.ru. ЕГЭ-2015 MAXIMUM.

Одеяльце

Сказка на ночь про Снеговика

Снежная зима. Рисуем акварелью и гуашью

Прекрасная химия

Эта весёлая планета