исследовательская работа "Калькулятор или мозг?"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Троицкая основная общеобразовательная школа»

Секция «Математика»

Исследовательская работа по математике

«Калькулятор или мозг?»

Выполнил:

ученица 7 класса

Степанова Вероника

Руководитель:

учитель математики

Зубова А.Н.

с. Троицкое, 2016 г

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………..3

Основная часть

    Как люди начали считать..................................................................................4

    Опрос учащихся.................................................................................................5

    Диагностика навыков быстрого счета учащихся………………………….....6

    Упрощённые приёмы устных вычислений

            Способы быстрого сложения чисел.........................................................7

            Способы быстрого вычитания чисел.......................................................7

            Способы быстрого умножения чисел......................................................8

            Способы быстрого деления чисел............................................................10

    Повторная диагностика навыков быстрого счета............................................11

Заключение………………………………………………………………………..12

Литература……………….………………………………………………………...13

Введение.

В наш век высоких технологий для современного человека умение считать в уме остается полезным навыком, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, устный счет — это настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

Но имея соблазн получить готовый ответ, сэкономить время и умственные усилия при выполнении практических вычислений у многих ребят рука  так и тянется к калькулятору. При этом они не понимают, почему нельзя им пользоваться, к каким последствиям эта сегодняшняя «экономия» приведет?

Я решила выбрать эту тему,  потому что  увидела неоднозначное отношение ребят к использованию калькулятора в школе.

С  введением обязательного ЕГЭ и ГИА по математике каждому школьникупросто необходимо научиться  быстро и качественно решать задачи, производя многие действия в уме, так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор и таблицы. Именно поэтому данная тема актуальна.

Объектом исследования являются алгоритмы вычислений.

Предмет исследования: нестандартные методы и приёмы быстрого счета.

Гипотеза исследования: если учащиеся освоят  методы и  приемы быстрого счета, то они смогут отказаться от использования калькулятора.

Цель: изучить рациональные методы и приемы быстрого счета и показать возможность их использования для улучшения качества вычислений.

Исходя из этой цели, мною были поставлены следующие задачи:

• Изучить  литературу по данной теме.

• Выяснить отношение учащихся к калькулятору.  
• Провести диагностику навыков быстрого счета у учащихся.
• Освоить различные приемы быстрого счета и научиться их использовать.
• Провести мастер-класс «Приемы быстрого счета».
• Провести  повторную диагностику навыков быстрого счета у учащихся.
• Проанализировать все результаты и сделать выводы.

Методы исследования:изучение научной литературы,опрос,диагностика, анализ, сравнение, обобщение.

Результатом моего исследования является подбор комплекса упражнений«Приемы быстрого счета»  для умственной гимнастики.

Как люди начали считать.

Трудно сказать, когда появились числа, и как человек научился считать. Однако наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Люди научились считать потому, что это было необходимо для жизни и ведения хозяйства. Самым древним инструментом счета у всех цивилизаций были собственные пальцы. Мы до сих пор, когда просим объяснить что-нибудь простым языком, говорим – «объясни на пальцах».  

Древние люди изобрели так называемый «пальцевой счет» - когда не только числа до нескольких сотен изображались на пальцах рук, но даже арифметические действия выполнялись с помощью пальцев. Именно развитие навыков счета у древнего человека привело к развитию абстрактного и логического мышления, сделало его мозг более гибким, развило воображение, позволило увидеть общие принципы и методы решения разных на первый взгляд задач.

Но уже тысячи лет назад люди стали использовать также и другие предметы: кости животных с зарубками, узлы на веревке, бусины, камушки, «бирки».

С появлением государства хозяйственная деятельность древних людей усложнилась, что привело и к усложнению расчетов. Именно в этот исторический период появились первые счетные приспособления. Сами навыки счета были развиты уже настолько хорошо, что древние инженеры могли создавать удивительные механизмы, а древние астрономы делали вычисления, которые даже сегодня поражают своей точностью.

       В V веке  до нашей эры в Египте  и Греции получил распространение  абак. Абак – это греческое слово, которое переводится как счетная доска. Вычисления   на абаке  производились перемещением камешков по желобам на мраморной доске.  Каждая полоска назначалась для откладывания тех или иных разрядов чисел.  Так как у римлян камешек называли калькулюс, то счет на абаке получил название калькуляция. Отсюда и слово калькулятор.

  Подобные счетные инструменты распространились и развивались по всему миру. «Потомком» абака можно назвать и русские счеты. На Руси счеты появились в шестнадцатом веке. Счеты были первым механическим приспособлением в России.

Появление идеи создания счетных устройств связано с развитием науки и техники и относится к XV веку. К этому времени в Средневековой Европе были построены несколько университетов и высших технических школ. Ученые – математики, физики, инженеры - остро нуждались в устройстве, выполняющем точные расчеты. Развитие счетных устройств сопутствовало развитию точных наук и экономических расчетов, они использовались, в основном, в профессиональной деятельности.

Наиболее совершенное приспособление для ручного счета было изобретено только в начале XVII-го века. Это логарифмическая линейка. Изобрели ее математик и педагог Уильям Отред и учитель математики Ричард Деламейн.  Этот инструмент был вычислительным средством инженеров.

В XIX веке широко использовался арифмометр – счетное устройство, в основе которого лежали идеи Паскаля.  Для производства вычислений было необходимо крутить ручку - один раз для сложения или вычитания, и несколько раз для умножения и деления. Арифмометры стали настолько популярны, что стали неотъемлемой частью оснащения рабочего места бухгалтера, инженера, банковского клерка, товароведа. Но они были довольно громоздки, дороги, а брать их с собой в поездку и вовсе было затруднительно.

В 1846 году появился счислитель Куммера (Петербургский учитель музыки), который серийно выпускался более 100 лет - до семидесятых годов XX века.

Идея создания калькулятора была столь плодотворна, что дала развитие идее счетно-обрабатывающих устройств и даже идее компьютера.

В 1961 году на выставке промышленных достижений в Англии демонстрировался первый в мире полностью электронный калькулятор Anita MK 8.

С него началась эра всеобщейкалькуляторизации.  Калькуляторы вставлялись в столы, портмоне, наручные часы, а затем их вытеснил калькулятор Windows.

Сейчас у всех есть мобильные телефоны со встроенным калькулятором, и мы не задумываемся о том, какой сложный многовековой путь был пройден этим привычным для нас устройством. Чаще всего мы используем калькулятор в быту, чтобы быстро и точно что-то посчитать. С появлением электронных счетов и пластиковых карт это стало нам просто необходимо. Обилие различных видов калькуляторов говорит о том, что они занимают важное место в профессиональной деятельности инженеров, бухгалтеров, экономистов, врачей и специалистов других профессий.8

Отношение учащихся к калькулятору. Опрос учащихся.

Я провела опрос среди учащихся 6-9 классов нашей школы, с целью выяснения положительного или отрицательного отношения к использованию калькулятора в школе. Были предложены следующие вопросы:

- Нужен ли в школе калькулятор?Ответы распределились следующим образом:

Основная часть учащихся считает, что калькулятор необходим в школе.

- Есть ли у вас калькулятор?Ответ «да» я получил в следующих процентах:

- С какого возраста вы начали пользоваться калькулятором?

Основная часть учащихся начинает пользоваться калькулятором в 5- 6 классах

- Хорошо ли ты считаешь устно?

Для того, чтобы подтвердить или опровергнуть ответы на последний вопрос мной была проведена диагностика навыков устного быстрого счета.

Диагностика навыков быстрого счета у учащихся.

Учащимся 6-9 классов были предложены задания одинаковой сложности. Результаты показаны в диаграмме:

Практика показала, что многие учащиеся не владеют прочными вычислительными навыками, допускают различные ошибки. Особенно учащиеся старших классов, давно не упражнявшиеся в устном счете, потеряли навык устных вычислений и некоторые из них не имеют возможности сделать простые расчёты без помощи калькулятора.

Упрощённые приёмы устных вычислений

Способы быстрого сложения чисел

Поразрядное сложение чисел

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.):

• 16+38+27+86=(10+30+20+80)+(6+8+7+6)=140+27=167.
• 8,4+6,51=(8+6)+(0,5+0,4) +0,01=14,91.

Сложение путем округления

Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

• 3916+991+1998=(4000+1000+2000)–(84+9+2)=7000–95=6905.

Сложение с использованием свойств действий с числами

Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:

• 12+63+28=(12+28)+63=40+63=103. (сочетательный закон)

Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:

• 549+94=549+(100–6)=549+100–6=643.

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

• 504+497=500+4+500–3=1001.

Способы быстрого вычитания чисел

Поразрядное вычитание

• 574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого:

• 647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

Вычитание с использованием свойств действий с числами

•  (973+747)-873=(973-873)+747=100+747=847;
• 1093-(1494-907)=(1093+907)-1494=2000-1494=506.

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

• 67-48=(67+1)-48-1=(68-48)-1=20-1=19;

• 453-316=453–(313+3)=(453-313)-3=140-3=137.

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих

Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

• 824-396=824–(400-4)=(824-400)+4=424+4=428;

• 395–98=(400–5)–(100–2)=400–100–5+2=297.

Способы быстрого умножения чисел

Умножение на 4, 8,16 и т.д.

Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:

• 213*8=(213*2)*4=(426*2)*2=852*2=1704.

Умножение на 5, 50, 0,5

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:

• 138*5=(138*10):2=1380:2=690.

Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2:

• 87*50=(87*100):2=4350.

Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить на 2:

• 360*0,5=360:2=180.

Умножение на 25, 2,5, 0,25

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4:

• 348*25=348*100:4=8700.

Чтобы умножить число на 2,5, нужно умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 4:

• 96*2,5=96*10:4=240.

Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить его на 4:

• 196*0,25=196:4=49.

Умножение на 125, 12,5, 1,25, 0,125

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

• 32*125=32:8*1000=4000.

Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:

• 24*12,5=24:8*100=300.

Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:

• 64*1,25=64:8*10=80.

Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.

• 16,8*0,125=16,8:8=2,1.

Умножение на 1,5 и на 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:

• 24*1,5=24+12=36.

Чтобы умножить число на 15, нужно  исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

• 129*15=129*10+1290:2=1290+645=1935.

Умножение на 11

 Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:

• 34*11=374, т.к. 3+4=7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,
• 68*11=748, т.к. 6+8=14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

Умножение двузначного числа на 101 и на 10101

Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды/трижды:

• 57*101=5757,

• 89*10101=898989.

Умножение на 9, 99 и 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель:

• 286*9=2860–286=2574,

• 23*99=2300–23=2277,
• 18*999=18000–18=17982.

Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания ко множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности

• 8*318=8*(300+10+8)=2400+80+64=2544,

• 7*196=7*(200-4)=1400–28=1372.

Способы быстрого деления чисел

Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:

• 720:45=(720:9):5=80:5=16,
• 9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.

Деление на 0,5, 5, 50 и 500

Чтобы число разделить на 0,5; 5; 50 или 500, надо это число разделить на 1; 10; 100 или 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2:

• 21600:50=21600:100*2=432,

• 42400:5=42400:10*2=8480,
• 214000:500=214000:1000*2=428,
• 218:0,5=1218:1*2=436.

Деление на 25, 2,5, 0,25 

Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4:

• 12100:25=12100:100*4=484.

Чтобы число разделить на 0,25, надо это число умножить на 4:

• 31:0,25=31*4=124.

Чтобы число разделить на 2,5, надо это число разделить на 10 и умножить на 4:

• 240:2,5=240:10*4=24*4=96.

Деление на 125, 12,5, 1,25, 0,125

Чтобы число разделить на 125; 12,5; 1,25; 0,125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000; 100; 10; 1 соответственно:

• 4000:12,5 =4000:100*8=320,

• 90:125 =9000:1000*8=72,
• 18:1,25=144:10*8=14,4,
• 11:0,125=11*8=88.

                Повторная диагностика навыков быстрого счета  учащихся

В данной работе  рассмотрены  лишь некоторые нестандартные приёмы устных вычислений.Я  провел мастер-класс «Приемы быстрого счета» для своих одноклассников, учеников7  класса. Ребята познакомились с  алгоритмами  ускоренных  вычислений. После чего была проведенаповторная диагностика навыков быстрого счета у учащихся.

                         Результаты получились следующими:

На диаграмме видно, что количество учащихся, допустивших ошибки, стало гораздо меньше. Навык устного счета увеличился, а значит - повод для пользования калькулятором снизился.

   Заключение.

    Тщательно изучив различные литературные источники, мнения учащихся   и результаты  диагностик,  я подтвердила первоначальное свое предположение.

    Не стоит на уроках математики пользоваться калькулятором. Ум начинает лениться. В уме становится трудно сложить несколько чисел, забывается таблица умножения.  Человек должен думать и считать сам, а не превращаться в робота, нажимающего на клавиши.

 Простейшими приемами, ускоряющими вычисления, может овладеть любой  человек. Знание и использование таких приемов позволит существенно  увеличить скорость и качество счета, добиться успехов в изучении не только математики, но и других школьных предметов. Главное — это постоянная тренировка.

Литература:

1. Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия. М.: Наука, 2003г.
2. Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г.
3. Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1989 г.
4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1989 г.
5. Фирсова Л.С.Игры и развлечения. Кн.I – Ь.: Мол. Гвардия, 1989 г.
6. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Екатеринбург, Тезис, 1994 г.
7. Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996 г.
8. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989 г.

Интернет-источники:

www.school.edu.ru

www.wikipedia.ru

http://matema.ucoz.ru

http://portfolio.1september.ru