Исследовательская работа по теме:"Задача о трисекции угла"

Слайд 1

Задача о трисекции угла МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ» Выполнил: Возовиков Павел, обучающийся 9 «Б» класса МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ» Руководитель: Сидорова Татьяна Николаевна, учитель математики I категории

Слайд 2

Задачи: - рассмотреть историю возникновения классических задач древности; - изучить разные методы решения задачи о трисекции угла; - представить чертеж и доказать, что он выполнен правильно. 05.05.17

Слайд 3

Знаменитой была в древности задача о трисекции угла (от латинских слов trio –три и section – рассечение, разрезание), т.е. о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое ограничение вспомогательных приборов было введено знаменитым греческим философом Платоном. 05.05.17 Платон и его школа позволяли для решения геометрических задач на построение пользоваться только циркулем и линейкой Такое требование привело к появлению в геометрии так называемых «невозможных задач», т.е. задач которые невозможно решить только указанными инструментами. Эти задачи древности стали знаменитыми потому, что в течении 2000 лет усилия многих математиков были направлены на их решение.

Слайд 4

Простые формулировки задач: 1. Задача о трисекции угла (деление угла на три равные части); 2. Задача о квадратуре круга (построение квадрата, площадь которого равнялась бы площади данного круга); 3. Задача об удвоении куба (построение куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба). 05.05.17

Слайд 5

05.05.17 Первую кривую для решения тaкой зaдaчи изобрел Гиппий Элидский. B дальнейшем (нaчинaя с Динострaтa) эту кривую тaкже использовaли и для решения квaдрaтуры круга. Лейбниц нaзвaл эту кривую квaдрaтрисой. Гиппий Элидский , знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Рис. 1. Квадратриса. Рис. 2. Трисекция угла при помощи квадратрисы.

Слайд 6

Архимед решил эту задачу с помощью изобретенной самим кривой, так называемой спиралью Архимеда, эту же кривую он использовал для решения задачи квадратуры круга. Спираль Архимеда - это плоская кривая, которую вырисовывает точка, движущаяся с постоянной скоростью от центра окружности по ее радиусу, окружность которого вращается также с постоянной угловой скоростью. 05.05.17

Слайд 7

Некоторые способы трисекции угла, рассматриваемые греками, использовали так называемый метод вставки. Он заключался в том, чтобы найти положение прямой, проходящей через данную точку O, на которой две заданные прямые (или прямая и окружность) высекали бы отрезок даной длины a. Такое построение можно осуществить с помощью циркуля и линейки с двумя делениями, расстояние между которыми равно a. 05.05.17

Слайд 8

Древнегреческий математик Никомед с помощью своей кривой решил задачу трисектрисы угла и дал описание прибора для черчения этой кривой . Эта кривая в честь Никомеда жившего около 250-150 г.г. до н.э. называется "Конхоидой Никомеда" , 05.05.17

Слайд 9

Пусть требуется разделить на три равные части прямой∠ MAN. Построение: 1) Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний ΔAКB. 2) Так как ∠ КAB равен 60⁰, то ∠ МАВ= 30⁰. 3) Строим биссектрису ∠ КАВ, получаем искомое деление прямого ∠MAN на три равных угла. Доказательство: ∠MAN=90⁰. ΔAКB – равносторонний ⇒ ∠ КAB = 60⁰. Значит, ∠ МАВ=∠MAN – ∠ КAB = 30⁰. АР – биссектриса ∠ КАВ ⇒ ∠ КАР=∠ РАВ=30⁰. Получаем, что ∠ КАР=∠ РАВ=∠ МАВ =30⁰, т.е. искомое деление прямого ∠MAN на три равных угла. 05.05.17

Слайд 10

Задача о трисекции угла возникла в Древней Греции примерно в V веке до н.э. из потребностей архитектуры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки. Р. Декарт высказал предположение о неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла при помощи циркуля и линейки без засечек. Это утверждение было доказано в 1837 году Ванцелем . 05.05.17 П. Ванцель Р. Декарт Историческая справка

Слайд 11

В 15 веке самаркандский ученый применил трисекцию угла к составлению весьма точных тригонометрических таблиц. В 16 веке французский математик Ф. Виет на основе трисекции угла нашел тригонометрическое решение квадратного уравнения. Были решены следующие задачи: - трисекция угла в 90 0 , 45 0 , 22,5 0 ,... π /2 n , где n – натуральное число (все эти углы образуют бесконечно малую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1/2). - трисекция угла в 180 0 . - трисекция угла в 360 0 . 05.05.17

Слайд 12

05.05.17

Слайд 13

Все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. 05.05.17

Слайд 14

Спасибо за внимание! 05.05.17