В работе приведен оригинальный метод решения стереометрических задач из заданий ЕГЭ 2016 года. В данной работе указаны широкие возможности применения координатного метода при решении стереометрических задач. Этим методом легко решаются задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями, расстояния от прямой до плоскости, расстояния между двумя прямыми. Приведены различные задачи, подтверждающие рациональность данного метода.
Данная работа вызовет интерес и у учителей, и у учеников выпускных классов.
Вложение | Размер |
---|---|
rabota.docx | 228.19 КБ |
Муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 1»
«Решение задач 14
из заданий
ЕГЭ – 2016
методом координат»
Автор:
Шахмарданова Наиля Тимуровнва
Россия, Республика Дагестан,
г. Каспийск
МБОУ «СОШ № 1», 10 «А» класс.
Научный руководитель:
Шахмарданова Роза Санидиновна,
учитель математики
МБОУ «СОШ №1», г. Каспийск.
Каспийск – 2017
«Решение задач 14 из заданий ЕГЭ – 2016 методом координат»
Автор: Шахмарданова Наиля Тимуровна, Россия, Республика Дагестан,
г. Каспийск, МБОУ «СОШ № 1», 10 «А» класс.
Наука не является и никогда не будет
являться законченной книгой.
А. Эйнштейн
Шахмарданова Наиля Тимуровна – ученица 10 «А» класса «СОШ № 1» г. Каспийска.
Представляю Вашему вниманию проект на тему «Решение задач 14 из заданий ЕГЭ – 2016 методом координат».
Аннотация.
Целью моего проекта является определить виды стереометрических задач, включённых в Единый Государственный Экзамен, и методы их решения.
Объектом исследования являются сами стереометрические задачи.
Предмет исследования: методы решения этих задач.
Планируемый результат: найти более рациональный метод решения стереометрических задач и научиться его применять.
При написании проекта я изучала различную литературу для подготовки к итоговой аттестации и выяснила, что задачи по стереометрии встречаются в ЕГЭ в блоке повышенного уровня сложности, т.е. в задании 14.
Решать такие задачи – по сути задачи аналитической геометрии – можно методом координат.
Введение.
Немного из истории координатного метода.
В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей науки имеют представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.
Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.
Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.
Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.
В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ.
Основная часть.
Итак, задачи 14 из ЕГЭ – 2016. Какие же это задачи?
Я бы хотела показать Вам разбор задач типа 14 двумя методами: вычислительно-аналитическим и векторно-координатным.
• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.
• 0˚ < ∠(a;b)≤ 90˚ .
• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.
• Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90˚ .
• Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.
• При нахождении угла между прямыми используют:
1) формулу cosφ = для нахождения углаφ между прямыми m и l , если стороны а и b треугольника АВС соответственно параллельны этим прямым;
cosφ =
для нахождения угла φ между прямыми m и l , если векторы (х1;у1;z1) и (х2;у2;z2) параллельны соответственно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы = 0 или x1·x2 + y1·y2+z1·z2 = 0.
Пример.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1D и D1E , где Е – середина ребра CC1 .
Решение.
1-й способ.
Пусть F – середина ребра ВВ1 , а –ребро куба, φ - искомый угол.
Так как A1 F ǁ D1 E , то φ - угол при вершине A1 в треугольнике A1FD.
Из треугольника BFD имеем
FD2 = BD2 + BF2 = 2a2 + = ,
а из треугольника A1B1F получаем
A1 F 2 = A1B12 + B1F 2 = a2 + = , откуда
A1F =
Далее в треугольнике A1FD используем теорему косинусов
FD2 = A1D 2 + A1F 2 –2 A1D · A1Fcosφ,
= 2а2 +- 2 · · cosφ , откуда
cosφ = и φ = arccos .
Ответ: arccos .
2-й способ.
Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.
Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.
Тогда А1(0; а; а), D(а; а; 0), D1(а; а; а),
Е(а; 0; ).
Найдём координаты направляющих векторов прямых A1D и D1E
= , = .
Тогда
сosφ = = = .
cosφ = и φ = arccos .
Ответ: arccos .
2) Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью.
• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
• 0˚ < ∠(a;α ) < 90˚ .
• Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90˚ .
• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0˚ .
Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:
1) если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов;
2) по формуле sinφ = или в координатной форме
sin φ = , где
(x1 ; y1 ; z1) - вектор нормали плоскости α ,
(x2 ; y2 ; z2) - направляющий вектор прямой l;
• прямая l и плоскость α параллельны тогда и только тогда, когда
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
Пример.
В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 точка Е – середина ребра A1 В1 . Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВDD1 .
Решение.
1-й способ.
Угол между прямой АЕ и плоскостью ВDD1 будем искать как угол между данной плоскостью и прямой DЕ1, параллельной прямой АЕ.
Из точки Е1 опустим перпендикуляр Е1Е2 на прямую В1D1.
Искомый угол – это угол между прямыми DE2 и DE1.
Пусть сторона куба равна а.
А1С1 = а.
Е1Е2 = · А1С1 = · а = .
DE1 = = .
= = : = = = .
Ответ: .
2-й способ.
Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.
Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.
За вектор нормали плоскости ВDD1 возьмем вектор
Найдём координаты нужных точек.
А(0; 0; 0), Е(0; ; а), С(а; а; 0).
Тогда = , = .
sin φ = = = .
Ответ: .
3) Задача на нахождение угла между двумя плоскостями.
• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
• Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0˚ ;180˚ ).
• Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚ ;90˚ ].
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚ .
Угол между пересекающимися плоскостями можно вычислить:
1) как угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения;
2) как угол треугольника, если удается включить линейный угол в некоторый треугольник;
3) как угол между перпендикулярными им прямыми;
4) по формуле
или в координатной форме
где (
Пример.
Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 - прямоугольник ABCD, в котором АВ = 12, AD = . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.
Решение.
1-й способ.
Решение этой задачи вычислительно-аналитическим методом очень громоздкое и сложное, даже выполнить чертеж к этой задаче крайне сложно, поэтому я его не привела, а методом координат эта задача решается легко и просто.
2-й способ.
Легко видеть, что этот угол равен углу между нормалями к этим плоскостям.
Вектор – вектор нормали плоскости основания.
А вектором нормали плоскости, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD1 будет вектор.
Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.
Найдём координаты нужных точек, т.е. точек А, А1, В, D1.
А (0; 0; 0), А1(0; 0; 5), В(0; 12; 0),
D1(; 0; 5).
Тогда = , = .
= = =
= = .
Ответ: .
Заключение.
Я прорешала множество задач типа 14 из литературы, для подготовки к Единому Государственному Экзамену, и выяснила, что стереометрические задачи на нахождение углов в пространстве можно разделить на три группы:
Так как, я считаю, что векторно-координатный метод является более рациональным, то я сформулировала алгоритмы решения стереометрических задач данным методом по озвученной теме.
Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми:
1) мы ввели прямоугольную систему координат,
2) нашли координаты нужных точек,
3) затем нашли координаты направляющих векторов прямых и
4) вычислили косинус угла между ними.
Следующий алгоритм несущественно отличается от предыдущего.
Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью.
Третьим шагом мы должны ввести нормальный вектор к плоскости и найти его координаты, а затем вычислить синус искомого угла. Он равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости.
При решении задачи на нахождение угла между двумя плоскостями, необходимо найти координаты нормальных векторов к заданным плоскостям и вычислить по формуле модуль косинуса угла между этими векторами.
Таким образом, я определила виды стереометрических задач на нахождение углов в пространстве, включённых в ЕГЭ. Выявила и освоила более рациональный метод их решения.
С этой работой я выступила перед учителями нашего города на заседании городского методобъединения. Многих учителей эта работа заинтересовала.
Изучив различную литературу для подготовки к ЕГЭ, я выяснила, что в блоке задач 14 встречаются задачи на нахождение расстояния между геометрическими фигурами. В дальнейшем я планирую применить векторно-координатный метод к решению задач данного типа. Так как считаю, что этот способ решения более рациональный из изученных мною.
Написание проекта стало своеобразной подготовкой к итоговой аттестации. Я думаю, что результатом проделанной работы будет верное решение задания повышенного уровня сложности такого типа на итоговой аттестации.
Собственные достижения:
Литература
Яблоко
Любимое яичко
Шелковая горка
Хитрый коврик
Как я избавился от обидчивости