Способы решения задач на логическое мышление.

Балданова Арюна

Россия, Агинский Бурятский округ. с.Чиндалей.

МБОУ «Чиндалейская средняя общеобразовательная школа». 6 класс.

АННОТАЦИЯ

    В нашей работе мы ознакомились с понятиями «логика», «логическая задача», «мышление», выделили типологию логических задач, рассмотрели основные способы их решения, разработали систему логических задач для 5-6 кл. Нами была проделана исследовательская работа по изучению способов решения логических задач из различных источников и на наглядных примерах.

Актуальность.  В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Таким образом данная работа является весьма актуальной.

         Цель исследования: Основной целью данного исследования является изучение различных способов решения логических задач.

        Для достижения указанной цели предпринята попытка решить следующие задачи:

• Изучить научную литературу;
• Ознакомление с понятиями «логика» и «логическая задача»
• Изучить основные способы решения логических задач;
• Рассмотреть практическое применение;
• Создать систему логических задач для учащихся 5-6 классов

Объект исследования: Логические задачи

Предмет исследования: способы решения задач  на логическое мышление

Методы исследования:

1. Изучение научной литературы по данной теме и сбор информации
2. обобщение теоретического и  практического материала

В результате исследования я пришла к выводу:

 Несмотря на то, что решение логических задач имеет глубокие корни, оно популярно и в наши дни:

• У математиков идут дальнейшие исследования;
• У школьников – очень интересно решать логические задачи;
• У учителей – есть еще один способ заинтересовать учеников математикой;
• Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, логические и экономические задачи. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту.
• Появляются новые профессии, связанные с логистикой

Способы решения задач на логическое мышление.

Балданова Арюна

Россия, Агинский Бурятский округ. с.Чиндалей.

МБОУ «Чиндалейская средняя общеобразовательная школа». 6 класс.

План исследований

Я очень люблю математику и поэтому каждый год я участвую в школьных и различных  дистанционных олимпиадах по математике.  В них  предлагаются такие задачи, которые обычно на уроках мы не решаем. И самые неожиданные трудности возникают именно при решении задач, в которых не предполагается никаких вычислений, но требуется правильно уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно.

     В этом году на дистанционной олимпиаде была предложена такая задача:

     «Мальчики собирали в лесу грибы. Ваня подсчитал, что больше всего грибов собрал Петя. Петя подсчитал, что больше грибов у Коли. Коля сообщил после своего подсчёта, что больше всех собрал грибов Ваня. Кто из мальчиков больше всех собрал грибов, если известно, что только один из них опередил всех и известно, что один из мальчиков сообщил верные сведения, а двое других сказали неправду?».

      И, неожиданно для себя,  я очень много времени потратила на решение этой задачи. Тогда я подошла с вопросом к своему учителю математики: «А существуют ли способы для быстрого решения данной задачи?», на что она мне ответила, что «Да, существуют. Это логическая задача».  

        Таким образом, у меня появилась идея изучить этот способ решения логической задачи (или способы).

Гипотеза: Если знать способы решения задач на логические мышление, то можно успешно участвовать в математических олимпиадах.

    Мною была проделана работа по изучению различной литературы, много часов провела в Интернете, рассмотрела много примеров на решение логических задач. Открыла для себя много нового и интересного.  Например, что одной из современных профессий является менеджер по логистике. Изучая этот материал, также я узнала о существовании теории графов, области применения теории графов и сделала вывод, что этот раздел математики является одним из важнейших, который используется в нашей повседневной жизни часто незаметно для нас.

Способы решения задач на логическое мышление.

Балданова Арюна

Россия, Агинский Бурятский округ. с.Чиндалей.

МБОУ «Чиндалейская средняя общеобразовательная школа». 6 класс.

Введение

    Сделав для себя одно маленькое, но очень интересное открытие, мы проделали большую работу по изучению способов решения логических задач. Некоторые способы изучали на наглядных примерах, затем применяли их на новых задачах. Пробовали классифицировать задачи по способам их решения, хотя допускаем, что деление это условное. В процессе работы увидели некоторые практические применения теории графов.

1. Логическая задача.

1.1. Понятие «логическая задача».

Логика - одна из древнейших наук. Точно установить, кто, когда и где впервые обратился к тем аспектам мышления, которые составляют предмет логики, в настоящее время не представляется возможным. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в Индии, в конце II тысячелетия до н. э.

Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Он впервые разработал теорию дедукции, то есть теорию логического вывода.  

ЛО́ГИКА1 (греч. λογική – наука о мышлении, от λόγος – слово, речь, разум, рассуждение) – наука о законах, формах и приемах познания мира на ступени абстрактного мышления, а также о языке как средстве такого познания.

   ЛОГИКА 2 (от греч. logos – логос)  - способность правильно, т.е. логически, мыслить;  учение о тождестве и его отрицании (Г. Якоби), учение о последовательности и методах познания (наука логики).  

  ЛОГИКА 3 - это наука о законах мышления и его формах.

     Мышление является высшим познавательным процессом. Мышление человека- это творческое преобразование имеющихся в памяти представлений и образов. Мышление всегда направлено на решение какой-либо задачи.

Мышление - сложная форма психической деятельности. В процессе мыслительной деятельности человек познает окружающий мир с помощью особых умственных операций. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переходящие друг в друга стороны мышления. Основными мыслительными операциями являются анализ, синтез, сравнение, абстракция, конкретизация и обобщение.

Анализ — это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений.

Синтез — это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Операция синтеза противоположна анализу.

Сравнение — это установление сходства или различия между предметами и явлениями или их отдельными признаками.

Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных.

Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть содержание.

Обобщение — мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам. Все указанные операции не могут проявляться изолированно вне связи друг с другом. На их основе возникают более сложные операции, такие как классификация, систематизация и прочие.

Задача мышления заключается в том, чтобы выявить существенные, необходимые связи, основанные на реальных зависимостях, отделив их от случайных совпадений. Всякое мышление совершается в обобщениях. Мышление — это движение мысли, раскрывающее связь, которая ведет от отдельного к общему и от общего к отдельному.

К логическим задачам отнесём такие, при решении которых главное, определяющее – это отыскание связи между фактами, сопоставление их, построение цепочки рассуждений для достижения цели. Профессор Е. С. Канин, не ставя цель определить понятие «логическая задача», относит к ним такие задачи, которые на первый взгляд не являются математическими, но в то же время требуют для своего решения формулирования суждений (высказываний), построения умозаключений и их цепочек. Поскольку при решении логических задач строятся умозаключения, то при этом приходится применять и общие методы решения математических задач, такие как метод выведения, метод исчерпывающих проб, метод сведения к противоречию и др. [4, c.17–18].

К логическим задачам отнесём такие, при решении которых используются законы логики, например, закон двойного отрицания, закон противоречия (не может быть сразу А и не А), закон исключённого третьего (или А или не А, третьего быть не может).

От обычных задач они отличаются тем, что не требуют вычислений; в них мы не находим ни чисел, ни геометрических фигур; чаще всего в таких задачах создается ситуация, выход из которой может быть найден, если мы тщательно изучим ситуацию и сделаем ряд выводов, иначе говоря логическим методом, с помощью логических рассуждений. Можно сказать, что логическая задача — это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Но в учебниках, сборниках задач и в других учебных пособиях не дается точного определения логической задачи. В работе мы будем называть логическими следующие задачи: на упорядочивание множества; на нахождение соответствия между элементами различных множеств; задачи с ложными высказываниями; задачи на переправы и взвешивание, турнирные задачи.

________________________________

1 - Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.

2 - Философский энциклопедический словарь. 2010

3 - С.И. Ожегов Словарь русского языка. – М.: Советская энциклопедия, 1972. – 848 с

1.2. Способы решения логической задачи.

     Надо отметить, что решение и составление логических задач способствуют развитию мышления гораздо в большей степени, чем решение тривиальных задач, которые в основном развивают память.

При решении логических задач можно использовать различные методы. В данной работе рассмотрели следующие методы:

• метод «здравых рассуждений»;
• с помощью таблиц;
• с помощью алгебры высказываний;
• построением графов.

В соответствии с использованным методом решения выделим следующие типы логических задач:

1) Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»;

2) Задачи, решаемые с помощью таблиц;

3) Задачи, решаемые с помощью алгебры высказываний;

4) Задачи, решаемые построением графов.

Заметим, что эта классификация весьма условна, потому, что многие задачи могут решаться несколькими способами одновременно, как правило, это задачи, которые можно решить с помощью таблицы и с помощью графов.

1.2.1.  Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»

Многие логические задачи решаются методом «здравых рассуждений». Процесс решения представляет собой анализирование рассуждений  всевозможных ситуаций, выбор подходящих и отбрасывание ненужных. В результате решения мы находим выход из создавшегося, затруднительного положения.

Метод «Здравых рассуждений» применим при решении задач на переправу (задача о волке, козе и капусте), на взвешивание и т. д. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример. Задача о переправе козы, волка и капусты.

Через реку надо перевезти козу, волка и капусту. На лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Каким образом их можно перевезти, чтобы коза не съела капусту, а волк – козу.

Решение. Рассмотрим различные варианты переправы.

Если сначала перевезти волка, то коза съест капусту. А если капусту, то волк съест козу. Следовательно, вначале надо перевезти козу. Затем перевезем волка, но если оставим его там, то он съест козу. Значит, надо перевезти козу обратно и привезти капусту. И уже после козу.

Можно поступить иначе: не волка, а капусту. Но коза ее съест. Значит, козу обратно. Теперь волка и снова козу.

Ответ: сначала козу, затем волка (капусту). Потом вернем козу, перевезем капусту (волка). Затем козу.

Не одним способом можно решать и задачи на взвешивание, в частности задачи с весами.

Пример. Из восьми колец одно легче других. Каково число взвешиваний на чашечных весах для определения более легкого кольца?

Решение: 

 Способ 1. Разобьем восемь колец по четыре. Взвесим ту группу колец, которая легче, разобьем ее по два кольца. Взвесим повторно. Кольца из более легкой пары подвергнем сравнительному взвешиванию. Таким образом, потребовались три взвешивания для выявления легкого кольца.

Способ 2. Разобьем восемь колец на три группы: 3, 3 и 2.

Первое взвешивание: если группы по три кольца весят одинаково, то легкое находится среди оставшихся двух колец.

Второе взвешивание: взвесим оставшиеся два кольца и найдем легкое кольцо.

Если группы по три кольца весят по-разному, то легкое содержится среди той группы, которая весит меньше. Из этой группы возьмем два кольца и взвесим, если они весят одинаково, то третье-легкое. Если же весят по-разному, то легкое кольцо найдено.

Ответ: способ 1 — три, способ 2 - два взвешивания.

1.2.2.   Задачи, решаемые с помощью таблиц

Часто при решении логических задач используют таблицы, в связи с тем, что задачи могут содержать много условий, которые все сразу трудно удержать в голове. Поэтому мы должны составить таблицу. Она составляется при внимательном прочтении и анализе условии задачи, после чего вся содержащаяся информация в задаче отображается в таблице. Такая обработка условия данных задачи значительно облегчает ее решение, а иногда является единственным способом решения.

С помощью таблиц можно решать различные типы задач, например: задачи на соответствие между элементами различных множеств, задачи на упорядочение множеств, задачи с ложными высказываниями, турнирные задачи  и т. д.

1)  Задачи     на     установление     соответствия     между     элементами  различных множеств

Данный тип логических задач связан с рассмотрением нескольких конечных множеств, как правило, между элементами которых имеются некоторые зависимости.

Самым простым является случай, когда даны два множества с одинаковым числом элементов и требуется установить взаимно однозначное соответствие между ними. В более сложных случаях рассматривается большее число множеств, число элементов у которых одинаково и требуется установить взаимно однозначное соответствие между элементами каждой пары множеств. И, наконец, рассматривается несколько конечных множеств, между элементами которых имеются зависимости, но нет взаимно однозначного соответствия.

При решении перечисленных классов задач используются различного рода таблицы. В случае двух множеств с одинаковым числом элементов удобно пользоваться квадратной таблицей, состоящей из n х n клеток (n-число элементов в множестве). Данные задачи вносятся в соответствующие клетки таблицы, например: положительный результат знаком «+», а отрицательный - знаком «-». После использования всех условий задачи клетки, которые остались пустыми, заполняются знаком «+» или «-» путем логических рассуждений.

Если множеств более двух, то приходиться рассматривать несколько квадратных таблиц или одну прямоугольную таблицу.

1. Пример двух множеств:

Задача 1. Аня, Женя, Нина спросили, какие оценки им поставили за контрольную работу по математике. Учитель ответил: «Плохих оценок нет. У вас троих оценки разные. У Ани не «3». У Нины не «3» и не «5». Кто какую оценку получил?

Решение: В задаче можно выделить два множества: множество оценок и множество имен. Каждое множество состоит из трех элементов. Это «3», «4», «5» с одной стороны и Аня, Женя, Нина с другой. Составим таблицу исходных данных. Согласно тому, что у Ани не «3»,  значит в пересечение столбца «Аня» и строки «3» ставим знак «-».

Согласно тому, что У Нины не «3» и не «5», значит, поставим в пересечении столбца «Нина» и строк «3» и «5» знак «-».

Из таблицы видно, что у Нины «4», значит, ставим в соответствующей ячейке знак «+». А также ставим знак «-» в пересечении строки «4» и столбцов «Аня» и «Женя».

Таким образом, у Ани не «3», но и не «4», значит у Ани «5», ставим соответствующие знаки в соответствующие ячейки.

Тогда, очевидно, у Жени «3» (не «4» и не «5»).

О т в е т: у Ани «5», у Жени «3», у Нины «4».

3адача 2. Коля, Боря, Вова, Юра заняли первые четыре места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили: Коля - не 1-е, не 4-е; Боря - 2-е; Вова - не 4-е. Какие места заняли мальчики?

Решение: Как и в предыдущей задаче, имеем два множества, каждое из которых состоит из трех элементов. Составим таблицу исходных данных.

Между множеством имен мальчиков и множеством завоеванных мест должно быть взаимно однозначное соответствие.

У Бори 2-е место, значит, поставим в пересечении строки «2-е» и  столбцов «Коля», «Вова», «Юра» знак «-».

У Коли ни 1-е, ни 4-е, но и ни 2-е (оно у Бори), следовательно, у него 3-е место, значит,  в пересечении столбца «Коля» и строки «3-е»  знак «+». Поставим соответствующие знаки.

У Вовы ни 4-е, ни 3-е, ни 2-е, значит, - 1-е место. Поставим знаки.

Следовательно, у Юры 4-е место.

Ответ: У Коли 3-е, у Бори 2-е, У Вовы 1-е, у Юры 4-е.

2. Пример трех множеств:

Задача: Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто, чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Решение: Выделяем в задаче три множества (имя — профессия — увлечение). Каждое множество состоит из трех элементов.  Множество имен содержит - Влад, Тимур и Юра. Множество профессий - врач, физик и юрист. А множество увлечений - туризм, бег и регби.

Из слов Юры ясно, что он не врач и он не увлекается туризмом. Из слов врача следует, что он турист.

     Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно, врач - это Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", значит, второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра. Юра не юрист и не регбист, потому что в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем:

Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.

Частным случаем задач на нахождение соответствия межу элементами различных множеств являются задачи на упорядочение множеств. В задачах такого рода надо установить соответствие между элементами данного множества и элементами N. Такие задачи можно решать с помощью таблицы.

Пример: В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Катя, Ваня, Ира и Галя. Сколько лет каждому, если одна девочка ходит в детский сад, Катя старше Вани, и сумма лет Кати и Иры делится на три?

Решение:

Если одна девочка ходит в детский сад, то есть ей пять лет, то Ване не пять лет. Ставим знак минус в соответствующей графе. Так как Катя старше Вани, то Ване не 15 лет, ставим знак минус в соответствующей графе.

Сумма лет Кати и Иры делится на три - это возможно в двух случаях: когда одной девочке 8 лет, а другой - 13 лет, или когда одной - 5 лет, а другой - 13 лет. Значит Ване не 13 лет, а 8. Заполним соответствующие графы.

Сумма лет Кати и Иры делится на три и это возможно в случае, когда одной девочке 5 лет, а другой 13. Но по условию задачи Катя старше Вани, поэтому, Кате 13 лет, а Ире - 5. Тогда Гале 15 лет. Заполним оставшиеся ячейки.

 Эту задачу можно решить и с помощью прямой.

Младше                  И         В           К            Г        Старше

       ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Правее расположим точки, соответствующие детям более старшим по возрасту.

Отметим на прямой точку В. Девочка ходит в детский сад, поэтому ставим точку левее В. Так как Катя старше Вани, то точку К поставим правее точки В.

Так как Катя старше Вани, то ему не 15 лет, значит, ставим точку правее В. Определим нахождение этой точки. Она может находиться между  В и К или правее К.

Сумма лет Кати и Иры делится на три и это возможно в случае, когда одной девочке 5 лет, а другой 13. Но согласно условию задачи Катя старше Вани, поэтому, Кате 13 лет,  Ире - 5.  Значит Гале 15 лет. Отметим на прямой, что левее  В стоит точка И; точка К находится сразу после В; крайняя правая точка -  это Г.

Ответ: Кате 13 лет,  Ире  5 лет, Гале 15 лет, Ване 8 лет

2) Задачи с ложными высказываниями

Пример: Задача «Дело Брауна, Джонса и Смита». Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления:

Браун: 1.Я не преступник. 2.Джонс - тоже.

Джонс: 1. Браун не преступник. 2. Преступник - Смит.

Смит: 1. Преступник - Браун. 2. Я не преступник.

В процессе следствия было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий - один раз солгал и один раз - сказал правду. Кто совершил преступление?

Решение: Предположим, что оба высказывания Брауна верны, тогда Джонс не преступник и сам Браун - тоже, отображаем  это в таблице, в соответствующих  ячейках. Тогда возможно, что Джонс один раз солгал и один раз - сказал правду, значит, Смит оба раза солгал. Из слов Джонса получаем: Браун-преступник и Смит-преступник, а по свидетельству Смита: Браун не является преступником – преступником является он сам. Отобразим полученные данные в соответствующих ячейках таблицы.

   Итак, мы пришли к тому, что двое из них совершили преступление одновременно, чего не может быть. Рассмотрим другой вариант.

Допустим теперь, что Джонс ни разу не солгал, то есть Браун не преступник, а  преступник – Смит; Смит солгал оба раза, то есть Браун не преступник, преступником является Смит; тогда Браун солгал и сказал правду, то есть преступником является он сам, а Джонс - нет. Отметим результат в таблице.

    Получили аналогичный первому варианту результат. Рассмотрим следующий случай.

Пусть в этот раз оба раза солгал Джонс, Браун - солгал и сказал правду, а Смит дважды не соврал. По мнению Джонса получаем: Браун преступник, Смит - нет. Из свидетельства Брауна: Браун преступник, Джонс – нет. Из слов Смита: Браун преступник, а сам он нет. Отметим данные в таблице.

Итак, пришли к тому, что преступником является Браун.

        Ответ: преступление совершил Браун.

3) Турнирные задачи.

 Турнирные задачи - логические задачи, связанные с выяснением итогов турниров. В таких задачах приводятся неполные данные об итогах спортивных встреч. Путем логических рассуждений требуется получить полные данные о проведенных турнирах.

 Решению турнирной задачи способствует оформление турнирной таблицы по данным, приведенным в условии задачи,  затем по данным, полученным логическим путем.

Естественно, решая задачу (о шахматном, футбольном или хоккейном турнире), нужно знать основные положения о таких турнирах.

В футбольном (хоккейном) турнире команда - победитель матча получает два очка. Ничейный исход оценивается для каждой команды в одно очко, а поражение оценивается в ноль очков. При распределении мест в футбольном турнире в случае равенства очков у двух команд во внимание принимается разница забитых и пропущенных голов.

Рассмотрим пример задачи о футбольном турнире.

Пример: В первенстве по футболу, который проводился по круговой системе, участвовали четыре команды: «Юниор», «ЦСК», «Динамо», «Спартак». Последняя встреча окончилась неожиданно: «Юниор» проиграл «Динамо», но это не улучшило турнирного положения Динамо», а «Юниору» не помешало стать чемпионом. Каков был исход игры между «Спартаком» и «ЦСК»?

Решение:

        По условию задачи «Юниор» занял первое место, проиграв последний матч «Динамо». Максимально число очков,  которое могла набрать команда в этом турнире, равно 6.

«Юниор» набрал не более, чем 4 очка. Но и меньше 4 очков он набрать не мог, потому что уже при 3 очках нашлась бы команда с не меньшим числом очков, чем у «Юниора», значит,  команда «Юниор» выиграла у команд «ЦСК» и «Спартак».

По условию задачи «Динамо», выиграв у «Юниора», не улучшил своего турнирного положения. Значит, если бы «Динамо» до последней встречи имел бы не менее 2 очков, то после выигрыша у «Юниора» он оказался бы победителем. Если бы «Динамо» до последней встречи имел бы 1 очко, то после победы над «Юниором» он имел бы 3 очка, это давало ему право на второе место, то есть улучшило бы его турнирное положение. Так как «Динамо» не улучшил своего турнирного положения, то он перед последней встрече имел бы 0 очков. Значит, «Динамо» проиграл и «ЦСК», и «Спартаку». Но турнирное положение «Юниора» и «Динамо» зависело от встречи «Спартака» и «ЦСК». При выигрыше одной из них, например «ЦСК», первое и второе места делили бы «Юниор» и «ЦСК», а третье и четвертое места делили бы «Спартак» и «Динамо». Турнирное положение команды «Динамо» не меняется, если «ЦСК» и «Спартак» сыграли вничью.

1.2.3. Задачи, решаемые с помощью высказываний

Решая задачи этим методом, мы используем элементы алгебры высказываний.

Под  высказыванием  понимают  повествовательное предложение, относительно которого  можно  сказать,  истинно  оно  или  ложно. Не всякое предложение является высказыванием, например: восклицательные,  вопросительные  предложения («Который час?»). Не являются высказываниями  и такие предложения, которые являются определениями чего-либо, например: «Квадратом  называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Нас будут интересовать только свойство высказывания: ложь или истина. Сопоставим число 1 – истинное высказывание, 0 –  ложное высказывание.

        Пусть имеется некоторая совокупность высказываний, называющихся элементарными (исходными). Исходя из этих высказываний, с помощью, так называемых логических операций,  строят новые (сложные) высказывания.

Перейдем к точному описанию этих операций.

1. Отрицательные высказывания.

 Отрицательным высказыванием A называется новое высказывание, обозначаемое  Ā (неверно, что A), которое истинно, если A ложно, и ложно, если A – истинно.

Пример: для высказывания А: “5 является делителем числа 30”, построенное указанным способом высказывание Ā: “Число 5 не является делителем числа 30.”

2. Конъюнктивные высказывания.

Конъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание, обозначаемое  P ۸ Q (и),  которое истинно, если истинны оба  высказывания P и Q, и ложно во всех остальных случаях.

Пример: Высказывание «Число 376 четное и трехзначное» - конъюнкция двух высказываний: «Число 376 четное»  и  «Число 376 трехзначное». Так как оба  высказывания – истинны, конъюнкция - истинна.

3. Дизъюнкция  высказывания.

Дизъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание, обозначаемое  P ۷ Q (или), которое истинно в тех случаях, если истинно хотя бы одно из  высказываний P или Q, и ложно, если ложны оба высказывания P и Q.

Пример: Высказывание  «Шесть - число кратное трем или 19>37» - является дизъюнкцией двух высказываний: «6 - число кратное 3» и «19> 37». Дизъюнкция истинна, так как одно из высказываний истинно.

4. Импликация.

Импликацией высказываний P и Q,  называется новое высказывание, обозначаемое P => Q

(« если P, то Q»; из  Р следует Q»), которое ложно лишь в том  случае, если P – истинно, а Q – ложно.

Пример: Высказывание  “Если число n  делится на 4 , то оно делится на 2” –импликация высказываний «число n делится на 4» и «число n делится на 2». Оно истинно, так как истинны оба последовательные высказывания.

5. Эквивалентность.

Эквивалентностью высказываний P и Q,   называется   новое  высказывание,  обозначаемое P <=> Q, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания P и Q одновременно истинны или одновременно ложны.

Пример: Высказывание «Число 15 делится на 3» эквивалентно высказыванию  «сумма цифр числа 15 делится на 3». Оно истинно, так как оба высказывания истнны.

При решении логических задач с помощью алгебры высказываний мы будем использовать некоторые формулы – тавтологии (тавтологией называется тождественно истинная  формула).

            Основные тавтологии,  используемые при решении логических задач:

Пример: Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу.

• Кто испачкал скатерть? - спросила бабушка.
• Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша. - Это сделал Боря.
• Ну, а ты, что скажешь? - спросила бабушка Борю.
• Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря. - А Алеша не пачкал
  скатерть.
• Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась
  бабушка. - Ну, а каков твой ответ? - спросила она Витю.
• Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог это сделать. А я сегодня
  не готовил уроки, - сказал Витя.

Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

Решение: Пусть буква а обозначает, что Алеша поставил кляксу, тогда ā означает, что Алеша кляксу не ставил. Аналогичный смысл символов e,  ē  и u,  ū.

Запишем теперь высказывания мальчиков формулами. Алеша сказал, что Витя не ставил кляксу и что это сделал Боря. Это высказывание запишется формулой:

A = ē ۸ u.

Аналогично запишем высказывание Бори, а именно:

В = e ۸ ā.

Витя сказал, что Боря не ставил кляксу и что он не готовил уроки. Но последнее совершенно не значит, что Витя не мог поставить кляксу. Поэтому высказывание Вити запишется так:

C = ū ۸ (e ۷ ē) = ū.

(мы формулу С упростили, поскольку высказывание e v ē - тавтология).

По условию задачи, двое мальчиков оба раза сказали правду, а один мальчик оба раза сказал неправду. Поэтому среди записанных нами трех формул А, В, С две истинны (тавтологии), а одна ложна (противоречие). Мы не знаем, какая именно формула ложна. Но мы утверждаем, что если из этих формул образовать попарные дизъюнкции, то поскольку в каждую дизъюнкцию будет входить по крайней мере одна истинная формула, эти дизъюнкции будут истинными. Образуем их, получив новые формулы:

D = A ۷ B = (ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā),

H = A ۷ C = (ē ۸ u)  ۷ ū = ē ۷ ū,        

N = B ۷ C = (e ۸ ā)  ۷ ū.

Найдем конъюнкцию формул Д и Н. Она, конечно же, истинна:

D ۸ H = ((ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā)) ۸ (ē ۷ ū) = (ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā ۸ ū).

Теперь найдем конъюнкцию трех формул Д, Н и N:

D ۸ H ۸ N = ((ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā ۸ ū)) ۸ ((e ۸ ā)  ۷ ū) = e ۸ ā ۸ ū.

Из этой истинной конъюнкции и заключаем, что кляксу поставил Витя.

 Задача решена.

 В связи со сложностью задач такого типа, их нежелательно давать ученикам на уроках математики в 5 - 6 классах. Для решения задач подобным способом необходимо знакомить детей с основами алгебры высказываний, который не может быть усвоен учениками в полном объеме в силу возрастных и индивидуальных особенностей школьников, а также из-за малого количества учебного времени при условии, что материал будет даваться только на уроках математики. Если ознакомление будет происходить на внеклассных и факультативных занятиях, то все будет зависеть от уровня подготовленности детей.

  1. 2.4. Задачи, решаемые построением графов

Задачи, которые можно решить с помощью таблиц, можно решить и с помощью графов (исключением являются турнирные задачи).

При решении логических задач обычно бывает достаточно трудно держать в памяти многочисленные факты, данные в условии, устанавливать связь между ними, высказывать гипотезы, делать частные выводы и пользоваться ими.

На помощь могут прийти графы. Граф - множество точек, изображенных на плоскости (листе бумаги, доске), некоторые пары из которых соединены отрезками. При изображении графы на рисунках или схемах могут быть прямоугольными или криволинейными, расположение точек произвольное. Точки называют вершинами графов, а отрезки - ребрами графов. Выделяя из словесных рассуждений главное - объекты и отношения между ними, графы представляют изучаемые факты в наглядной форме. Примеры решения логических задач с использованием графов подкупают своей естественностью и простотой, избавляют от лишних рассуждений, во многих случаях сокращают нагрузку на память. С одной стороны, графы позволяют проследить все логические возможности изучаемой ситуации, с другой, благодаря своей обозримости, помогают  в ходе решения задачи классифицировать логические возможности, отбрасывать неподходящие случаи, не доводя до полного перебора всех случаев.

Основой применения графов для решения логических задач служит выявление и последовательное исключение логических возможностей, задаваемых условиями задачи. Это выявление и исключение логических возможностей весьма часто может быть истолковано с помощью построения и рассмотрения получающихся графов. Такое применение графов и можно считать характерным для рассматриваемого приема решения логических задач.

Решение многих логических задач с помощью графов вполне доступно уже младшим школьникам. Для этого им достаточно иметь интуитивные представление о графах и самых очевидных их свойствах.

Рассмотрим примеры использования графов при решении некоторых известных задач. При этом объекты будем изображать точками, а отношение между ними - отрезками (положения точек и длины отрезков произвольны).

Выяснение структур логических задач с точки зрения применяемых методов решения дает возможность вычленить некоторые виды таких задач.

1) Построение графов - деревьев

Задача. Три ученицы — Аня, Варя и Клава — на первомайской демонстрации были: одна в красном, другая в белом, третья в синем платье. В высказывании: Аня была в красном платье, Варя не в красном, Клава не в синем — одна часть верна, а две неверны. В каком платье была каждая из учениц?

Решение: Будем исходить из двух возможностей: Аня была в красном платье (Ак) и Аня была не в красном (то есть в белом или синем) и изобразим эти возможности: первую ребром Ак, а вторую двумя ребрами Ас и Аб, исходящими из одной точки. Если Аня была в красном платье, то в синем могла быть или Варя, или Клава. Поэтому к ребру Ак присоединим 2 ребра Вс и Кс. Путь АкВс закончим Кб, а путь АкКс закончим Вб. Но из двух получившихся путей условию задачи, ни один не удовлетворяет.

Обратимся ко второй возможности. К ребру Ас присоединим два ребра Вк и Кк, так как в красном платье в этом случае могла быть Варя или Клава. Такие же два ребра присоединим к Аб. Закончить каждый из получившихся путей очень просто: нужно присоединить последовательно ребра Кб, Вб, Кс и Вс. Имеем четыре логические возможности, но условию задачи удовлетворяет лишь путь АсВкКб, а остальные три пути — не удовлетворяют. Значит, Аня была в синем платье, Варя — в красном, а Клава—в белом.

2) Наличие двух множеств

Задача. «Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?»

Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф G1.

    К        К

   С        С

   З        З

  Ж        Ж

            G1

Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в каждой коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф G2, дающий решение задачи.

   К        К

   С             С

   З          З

  Ж        Ж

            G2

3) Наличие трех множеств

Задача. Три товарища — Иван, Дмитрий и Степан — преподают различные предметы (химию, биологию, физику) в школах Москвы, Ленинграда и Киева. Известно:

1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Ленинграде;

2) Москвич преподает не физику;

3) Тот, кто работает в Ленинграде, преподает химию;

4) Дмитрий преподает не биологию.

Какой предмет и в каком городе преподает каждый из товарищей?

Решение: Выделим три множества: множество имен, множество предметов и множество городов. Элемент каждого из множеств на рисунке 1 задан своей точкой (буквы на этом рисунке — первые буквы соответствующих слов). Если две точки из разных множеств характеризуют признаки разных людей, то будем соединять такие точки штриховой линией. Если же две точки из разных множеств соответствуют признакам одного человека, то такие точки будем соединять попарно сплошными линиями. Существенно, что по условию задачи для каждой точки любого множества в каждом из остальных множеств найдется одна и только одна точка, ей соответствующая. Таким образом, граф на рисунке 1 содержит все заданные в условии элементы множеств и отношения между ними. Задача на языке графов сводится к нахождению трех «сплошных» треугольников с вершинами в разных множествах.

Рассмотрим граф на рисунке 1. Напрашивается штриховой отрезок ХД. Действительно, Л соответствует X и, одновременно, Л не соответствует Д, то есть X не может соответствовать Д. Итак, используется типичная для такого рода задач операция на графе: если у треугольника с вершинами в трех разных множествах одна сторона сплошная, вторая — штриховая, то третья должна быть штриховой. Из условия задачи следует правомерность еще одной операции на графе: если какая-то точка соединена штриховыми отрезками с двумя точками во втором множестве, то ее следует соединить с третьей точкой этого множества сплошным отрезком. Так проводится сплошной отрезок ДФ. Далее проводится штриховой отрезок ДМ (в треугольнике ДФМ сторона ДФ сплошная, а ФМ — штриховая), ДК сплошным (ДМ и ДЛ штриховые). Теперь соединим точки Ф и К сплошным отрезком. Если в треугольнике с вершинами в разных множествах две стороны сплошные, то третья тоже будет сплошной. Найден первый «сплошной» треугольник ДФК.

                                     Рис. 1        Рис. 2

Так, не возвращаясь к тексту задачи, руководствуясь лишь естественными операциями на графе, описанными выше, мы находим решение (рис. 2). Отметим последовательность, в которой проводились отрезки: ХД, ДФ, ДМ, ДК, ФК, МС, ИЛ, ХИ, БМ, БС. Вершины каждого из трех полученных «сплошных» треугольников определяют ответ задачи: Иван преподает химию в Ленинграде, Дмитрий — физику в Киеве и Степан — биологию в Москве.

Использовать графы в процессе обучения можно, даже не читая специальных курсов и факультативов. С одной стороны, графовые задачи, без сомнения, нужно использовать для развития сообразительности учеников на математических кружках, при подготовке к олимпиадам. С другой стороны, использование графов как языка на уроках алгебры, геометрии, поможет решать методические задачи обучения и повысить качество этого обучения.

Заключение  

В нашей работе мы ознакомились с понятиями «логика», «логическая задача», «мышление», выделили типологию логических задач, рассмотрели основные методы их решения, разработали систему логических задач для 5-6 кл. Нами была проделана исследовательская работа по изучению способов решения логических задач из различных источников и на наглядных примерах.

В результате исследования мы пришли к выводу:

    Несмотря на то, что решение логических задач имеет глубокие корни, оно популярно и в наши дни:

• У математиков идут дальнейшие исследования;
• У школьников – очень интересно решать логические задачи;
• У учителей – есть еще один способ заинтересовать учеников математикой;
• Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, логические и экономические задачи. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту.
• Появляются новые профессии, связанные с логистикой

Библиография:

1. Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.

2.  Философский энциклопедический словарь. 2010

3.  С.И. Ожегов Словарь русского языка. – М.: Советская энциклопедия, 1972. – 848 с.

4.  Е.С. Канин Логические задачи // Математика для школьников. – 2011. – № 3. – С.17–30.

5. Л. В. Ончукова Элементы логики. Логические методы на уроках математики: учебное пособие для 6 класса. – Киров, 2001. – 64 с.

6. Е. М. Вечтомов, Я. В. Петухова Решение логических задач как основа развития мышления // Концепт. – 2012. – № 8 (август). – ART 12109. – 1,2 п. л. – URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/12109.htm.

7. Гарднер, М. А ну-ка догадайся! - М.: Мир, 1984.

8.Гарднер, М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971.

9.Гарднер, М. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.

10. Перельман, Д.И. Живая математика. Математические рассказы и  головоломки. / Под ред. и с дополн. И.Г. Болтянского. -  11-е  изд. – М.: Наука, 1978.

Приложение I.

Система логических задач для 5-6 классов

 Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»

1. Имеются 9 кг крупы и гири в 50 и 200 г. Как отмерить в три приема на чашечных весах 2 кг крупы?
2. Требуется разделить 7 одинаковых яблок поровну между 8 приятелями. Как сделать так, чтобы разрезов пришлось произвести возможно меньше? А если бы эти яблоки пришлось разделить между 12 приятелями?
3. Четырем колхозникам нужно было переправиться через реку. Подойдя к ней, они увидели небольшую лодку, в которой плыли два мальчика. Колхозники попросили мальчиков перевезти их через реку, но оказалось, что в лодку могут" сесть только два мальчика или же один взрослый. Мальчикам очень хотелось помочь колхозникам, и они придумали, как это можно сделать. Через некоторое время колхозники на этой лодке переправились через реку. Что же придумали мальчики?
4. Можно ли расставить на столе 4 пустые молочные бутылки так, чтобы горлышки их находились на одном и том же расстоянии друг от друга? (Бутылки можно ставить и вверх дном.)
5. Вот что рассказал один человек: «Проснувшись сегодня утром, я посмотрел на свои стенные часы. Они стояли. Других часов у меня не было. Радио молчало. Я подумал, как мне правильно поставить свои часы, и вот что я сделал. Встав, я отправился к приятелю, живущему через два квартала от меня. Придя к нему, я сразу же посмотрел на часы, которые шли правильно. Побеседовав немного с приятелем, я простился с ним, посмотрел на его часы еще раз и пошел домой. Как только пришел домой, я немедленно поставил свои часы и поставил их почти точно. Как я это сделал? Догадайтесь».
6. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?
7. Трое   соревновались,   кто   из   них   самый   сообразительный.   Они обратились  за  решением   спора  к  мудрецу.   Тот  показал   им   пять колпаков: три белых и два черных. Он завязал им глаза и надел на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятал.  Затем он развязал им глаза и сказал: "Кто из вас первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот самый сообразительный". Какие колпаки должен надеть мудрец на головы соревнующимся, чтобы все участники были в равных условиях?
8. По лесу гуляли три папы со своими дочерьми. У первого папы было две дочери, а у второго и третьего по одной. Шумная компания подошла к речке и захотела переправиться на другой берег. В их распоряжении была всего одна двухместная лодка. Как им осуществить переправу, если капризные девочки наотрез отказались ехать в лодке или быть на берегу с одним или двумя чужими папами без своего папы?
9. Имеется 8 кг фасоли и чашечные весы без гирь. Как отвесить с их помощью 3 кг фасоли?
10. На двух чашах весов стояли 24 гири: на левой чаше — пятикилограммовые, а на правой — трёхкилограммовые. Весы находились в равновесии. Сколько гирь могло быть на каждой чаше?
11. Заходит в магазин покупатель, выбирает товар стоимостью 20 рублей, даёт продавцу сторублёвку. Смотрит продавец — нету сдачи. Пошёл в соседний отдел, разменял сотню. Отдал покупателю товар и сдачу. Ушёл покупатель. Вдруг прилетает продавец из соседнего отдела, приносит ту сотню. Фальшивка! Отдал наш продавец ему свою сотню. На сколько в итоге прогорел наш горе-продавец?
12. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом — мак, а в третьем — еще не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них прикрепила по табличке: "Мак", "Просо" и "Смесь". Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами все таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная надпись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?
13. — У меня зазвонил телефон.
    — Кто говорит?
    — Слон.
    А потом позвонил Крокодил, а потом позвонили Зайчатки, а потом позвонили Мартышки, а потом позвонил Медведь, а потом позвонили Цапли...
    Итак, у Слона, Крокодила, Зайчаток, Мартышек, Медведя, Цапель и у меня установлены телефоны. Каждые два телефонных аппарата соединены проводом. Как сосчитать, сколько для этого понадобилось проводов?
14. Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок.
    Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок — в стакане и в кувшине.
    Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше — чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете Вы?
15. Лиза на 8 лет старше Насти. Два года назад ей было втрое больше лет, чем Насте. Сколько лет Лизе?
16. Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?
17. Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом, и попросили соединить их в одну цепь. Кузнец задумался, как выполнить этот заказ проще. Сколько же звеньев нужно разъединить, а затем вновь соединить, чтобы все обрывки образовали одну цепь? Подумав, кузнец приступил к делу и, раскрыв только три звена, выполнил заказ. Как это сделал кузней?
18. Из 5 кусков цепи, состоящих соответственно из 10, 9, 7, 4 и 3 звеньев, нужно составить одну цепь в 33 звена. Как это сделать так, чтобы пришлось возможно меньше сделать разрезов и последующих сварок?
19. На постоялый двор приехал путешественник. Денег у него с собой не было, но была серебряная цепочка из шести звеньев. Хозяин гостиницы согласился принять в оплату номера за каждый день одно звено этой цепочки, но так, чтобы распиленных звеньев он получил не более одного. Как путешественнику следует распилить цепочку, чтобы можно было расплатиться с хозяином постоялого двора в течение пяти дней?
20. На сборе одного пионерского отряда затейники взяли пять одинаковых по размерам квадратиков бумаги: два из них белого цвета, а три — красного. Затем поставили рядом трёх пионеров: Васю, Колю и Петю, — попросили каждого из них отвести одну руку за спину, и каждому так, чтобы он не видел, вложили в эту руку квадратик красного цвета, а остальные два квадратика убрали. После этого каждому из трех пионеров разрешили посмотреть, какого цвета квадратики в руках у двух остальных, а затем каждому было предложено быстро сообразить, не отводя руки из-за спины, какого цвета у них квадратик. Коля первым догадался. Как он рассуждал?
21. Требуется поджарить 3 ломтика хлеба. На сковороде умещаются лишь два ломтика. На поджаривание ломтика с одной стороны требуется 1 мин. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон все 3 ломтика? (Время на перевертывание и перекладывание ломтиков можно в расчет не принимать.)
22. Имеются неверные (неравноплечие) чашечные весы. Пользуясь ими, весовщик должен определить массу некоторого груза. Может ли весовщик достаточно точно найти массу этого груза с помощью двух измерений: кладя сначала груз на одну чашку весов и гири на другую, а затем груз на вторую чашку и гири на первую? (Массой чашек по сравнению с массой груза можно пренебречь.)
23. Чтобы отвесить 2 кг крупы на неверных чашечных весах, хозяйка поступила так: сначала гирю в 1 кг она положила на одну чашку весов и отвесила крупу, затем эту гирю положила на другую чашку и отвесила крупу. Ссыпав вместе отвешенную крупу, она решила, что масса ее в точности равна 2 кг. Так ли это?
24. На реке во время половодья оторвало от берега и унесло большую лодку, на которой перевозили через реку окрестных жителей. У перевозчика осталась лишь одна маленькая лодка, на которой можно переправить либо одного взрослого, либо двух мальчиков, которые всегда помогали перевозчику переправлять народ. В это время к реке подошла партия землекопов. Поразмыслив немного, все землекопы ухитрились переправиться через реку именно на этой лодке. Как им удалось это сделать?
25. Мужичку надо переправить через реку волка, козу и капусту.
26. Да вот беда: лодка так мала, что в ней может поместиться только мужичок, а с ним либо волк, либо коза, либо капуста. Дело усложняется еще тем, что при переправе волка нельзя оставить с козой, так  как он ее съест. Капусту также нельзя оставить с козой, так как коза съест капусту. Мужичок думал-думал, но все-таки перевез всех на другую сторону. Как мужику удалось это сделать?
27. Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?
28. Имеются девять пластин и двухчашечные весы. Одна из пластин легче других, но по виду они одинаковы. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластину?
29. Среди 27 монет одна фальшивая. Как найти фальшивую монету с помощью трех взвешиваний на весах с чашечками без гирь, если известно, что фальшивая монета тяжелее, чем настоящая?
30. Известно, что из четырех одинаковых по виду колец одно несколько отличается по весу от других, но не известно, легче оно или тяжелее. Как найти его не более чем двумя взвешиваниями на чашечных весах?
31. Из 75 одинаковых по виду колец одно кольцо по весу несколько отличается от других. Как за два взвешивания на чашечных весах определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные?
32. Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты, одна из которых фальшивая: она легче настоящих (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.
33. Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.
34. Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?
35. Четыре рыцаря с оруженосцами должны переправиться через реку на лодке без гребца, которая вмещает не более двух человек. Посреди реки есть остров, на котором можно высаживаться. Спрашивается, как совершить эту переправу так, чтобы ни на берегах, ни на острове, ни в лодке ни один оруженосец не находился в обществе чужих рыцарей без своего хозяина?
36. На станции железной дороги поезд Б приближается к станции железной дороги, но его нагоняет быстрее идущий поезд Л, который необходимо пропустить вперед. У станции от главного пути отходит боковая ветка, куда можно отвести на время вагоны с главного пути, но ветка эта настолько короткая, что на ней не помещается  весь поезд Б. Спрашивается, как все-таки пропустить поезд Л вперед?
37. Разъезд шести пароходов. По каналу один за другим идут три парохода: Л, Б, В. Навстречу им показались еще три парохода, которые тоже идут один за другим: Г, Д, Е. Канал такой ширины, что два парохода в нем разъехаться не могут, но в канале с одной стороны есть залив, в котором может поместиться только один пароход. Могут ли пароходы разъехаться так, чтобы продолжать свой путь по-прежнему?
38. Дело было в Америке. Как-то раз подошли к реке англичанин, негр и индеец, каждый со своей женой. Всем нужно было переправиться на другой берег. В их распоряжении была только одна лодка (да и то без гребца), способная вместить лишь двоих. Договорившись между собой, мужчины решили было приступить к переправе, как вдруг выяснилось, что ни одна из жен не желает переправляться в лодке с чужим мужем или оставаться на берегу в мужском обществе без своего мужа. Мужья призадумались, но все же сумели догадаться, как выполнить желание своих жен. Как они сумели переправиться через рек

Задачи, решаемые с помощью таблиц

1. В турнире участвовали шесть шахматистов. Каждые два участника турнира сыграли между собой по одной партии. Сколько всего было сыграно партий? Сколько партий сыграл каждый участник? Сколько очков набрали шахматисты все вместе?
2. В шахматном турнире участвовали восемь человек, и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший 2-е место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие 3-е и 7-е места?
3. Для Миши, Пети и Васи испекли три пирога: с яблоками, с капустой и с мясом. Вася не любит пироги с капустой, а Петя не любит пироги с мясом и не ест с капустой. Какой пирог съел каждый из мальчиков?
4. В бутылке, в стакане, кувшине и банке находиться молоко, лимонад, квас и вода. Известно:

 Вода и молоко не в бутылке;

Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;

В банке не лимонад и не вода;

Стакан стоит около банки и сосуда с молоком.
Куда налита каждая жидкость?

5. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто, чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия?

6. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.

— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

7. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:
   Россия — "Проект не наш, проект не США";
   США — "Проект не России, проект Китая";
   Китай — "Проект не наш, проект России".

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

8. Десять мальчиков: Александр, Борис, Василий, Георгий, Дмитрий, Евгений, Зиновий, Иван, Кирилл и Леонид учатся  в разных классах одной школы. В каком классе учится каждый из них, если известно:

- старший брат Дмитрия оканчивает 7-ой класс, а младший брат Жени учится в 5-ом  классе;

- Саша старше Кирилла на один класс, А Леня старше Жени на два класса;

- Вася оканчивает школу в этом году;

- Ваня по окончании третьего класса получил награду;

- Боря – пионервожатый в 5-ом классе, а Вася – в 4-ом;

- Саша, Кирилл и шестиклассник живут на проспекте Мира, а Дима, первоклассник и восьмиклассник – на Садовой;

- Боря помогает отстающему Жене, Дима помогает Ване, а Саше помогает Георгий.

(В задаче идёт речь о десятилетней школе).

9. Беседуют   трое:    Белокуров,    Чернов    и    Рыжов.    Брюнет    сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас русый, другой - брюнет, а третий - рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии».
   Какой цвет волос имеет каждый из беседующих?
10. Когда три подруги — Надя, Валя и Маша вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадают. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.
11. Катя, Аня и Лена купили три билета: в кино, на рок-концерт и в театр. Лена не увлекается громкой музыкой. Аня не любит рок-концерты, а от просмотра телефильмов у нее быстро устают глаза. Куда отправилась каждая из девочек?
12. Треугольник, квадрат, круг и пятиугольник выложили в ряд. Цвета этих фигур различны. Красная фигура лежит между зелёной и синей. Справа от жёлтой фигуры лежит пятиугольник. Круг лежит правее, чем треугольник, и правее, чем пятиугольник. Треугольник лежит не с краю. Синяя фигура не лежит рядом с жёлтой. Нарисуйте, как лежат данные фигуры, указав их цвета.
13. Имеется три конверта, на один из которых нужно наклеить марку. В каждом конверте содержится листок с двумя утверждениями. В одном конверте оба утверждения истинны, в другом — оба ложны, а в третьем конверте одно утверждение истинно, а другое — ложно.

Вот эти утверждения:

Конверт 1

1.На этот конверт не нужно наклеивать марку.
2.Обязательно нужно наклеить марку на второй конверт.

Конверт 2

1. Не нужно наклеивать марку на первый конверт.
2. Необходимо наклеить марку на третий конверт.

Конверт 3

1. Не следует наклеивать марку на этот конверт.
2. Требуется наклеить марку на первый конверт.

Определите, на какой конверт нужно наклеить марку.

14. На автобусе ездил Андрей
    На кружок и обратно домой,
    Заплатив 115 рублей,
    Покупал он себе проездной.

В январе он его не достал,
И поэтому несколько дней
У шофёра билет покупал
Он себе за 15 рублей.

А в иной день кондуктор с него
Брал 11 только рублей.
Возвращаясь с кружка своего
Всякий раз шёл пешком наш Андрей.

За январь сколько денег ушло,
Посчитал бережливый Андрей:
С удивлением он получил
Аккурат 115 рублей!

Сосчитайте теперь поскорей,
Сколько раз был кружок в январе?

15. В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят.
    Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело
    а) девять, б) десять жителей Пустоземья. Объясните своё решение.
16. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре "кавалер" выше "дамы" и никто не катается со своей сестрой. Самым высоким в компании был Юра Воробьев, следующим по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Определите, кто с кем катался?
17.  Ребята обсуждают ответ на задачу конкурса «Кенгуру».

«Верен ответ А или D» – сказала Лена.

«Верен ответ В или Е» – сказал Юра.

«А, В и С – неверные ответы» – сказала Таня.

«Верный ответ – А» – сказал Саша.

«Все вы не правы» – сказала Наташа.

Оказалось, что мальчики и девочки ошиблись одинаковое число раз. Так какой же ответ верный?

(A) A                (В) B                (С) C                (D) D                (Е) E

18. В универмаге встретил я

Осла, козу и кошку,

Они купили красный мяч

И желтую гармошку.

Зайдя потом, увидел я

Осла, козу и белку,

Они купили красный плащ

И белую тарелку.

Зашел я в третий, встретил там    

Опять осла и кошку.

Они купили в этот раз

Лишь желтую матрешку.

Мне срочно нужен твой совет,

Задумайся немножко.

Скажи: какой любимый цвет

У белки и у кошки.

И кто не сделал ни одной

Покупки в магазинах.

Поскольку не было, увы,

Товаров ярко-синих.

Совет: учтите, что каждый из героев этого стихотворения покупает товары только одного любимого им цвета.

19. В одной семье было много детей. Семеро из них любили капусту, шестеро любили морковь, пятеро — горох. Четверо из детей любили капусту и морковь, трое любили капусту и горох, двое — морковь и горох, а один — и капусту, и морковь, и горох. Сколько было детей в этой семье?
20. Три ученицы — Галя, Лида и Наташа — в соревнованиях по гимнастике заняли три первых места. Когда же девочек спросили, кто из них занял первое место, они дали три разных ответа.

Галя: «Я заняла первое место»;

Лида: «Я заняла не первое место»;

Наташа: «Я заняла не третье место, однако, вы учтите, что один из ответов моих подруг правильный, а другой — неправильный».

Кто занял в соревнованиях первое место, если Наташин ответ во всем правдив?

21. Четыре ученицы — Мария, Нина, Ольга и Поля — участвовали в лыжных соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

1.«Ольга заняла первое место, Нина — второе»;

2.«Ольга — второе, Поля — третье»;

3.«Мария — второе, Поля четвертое».

Отвечавшие при этом признали, что одна часть каждого ответа верна, а другая - неверна. Какое место заняла каждая из учениц?

22. Три друга: Алеша, Боря и Витя — учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один — на трамвае и один — на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!» Кто на чем ездит домой?

23. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.

Задачи, решаемые построением графов

1. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?
2. При построении восемь мальчиков разместились так, что:

А был впереди Б и В;

Б впереди К через одного;

Л впереди А, но после Д;

В после Е через одного;

Д между Б и Г;

Е рядом с К, но впереди В.

В каком порядке выстроились мальчики?

3. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

Смит самый высокий;

играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

4. Владимир, Игорь и Сергей преподают математику, физику и литературу, а живут они в Рязани, Туле и Ярославле. Известно также, что Владимир живет не в Рязани, Игорь живет не в Туле, рязанец – не физик, Игорь – не математик, туляк преподает литературу. Кто где живет и что преподает?
5. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
6. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что:

Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

парижанка не снимается в кино;

та, кто живет в Риме, певица;

Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

7. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какого цвета платья у каждой из девочек?
8. У каждого из четырех ребят живет какое-то одно любимое животное: кошка, собака, рыбка или канарейка (у всех разные). У Миши животное – с пушистой шерстью, у Феди – четвероногое, у Коли – пернатое. И Женя, и Миша не любят кошек. Какое из следующих утверждений неверно:

а) У Феди – собака,        б) У Коли – канарейка, в) У Феди – кошка, г) У Жени – рыбка, д) У Миши – собака?

9. Бабушка Варя с гордостью рассказывала о своих внучках: оказывается, каждая из них играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из иностранных  языков.

- На чём играет Маша? – спросил я.

- На рояле.

- А кто играет на скрипке?

- Что-то не могу вспомнить, но, по-моему, та девочка, которая говорит по-французски, - ответила бабушка.

Поговорив с бабушкой, я узнала, что Оля играет на виолончели, а Лена не говорит по-немецки. Маша не знает итальянского языка, а Оля не скрипачка и не знает английский язык. Валя не знает французского, Лена не играет на арфе, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Определите, кто из девочек  играет на каком  инструменте, и говорит на каком языке.

10. В семье четверо детей. Им исполнилось 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Миша, Вера и Женя. Одна из девочек ходит в детский сад. Аня старше Миши. Сумма возрастов Ани и Жени делится на 3. Кто Женя: мальчик или девочка?
11. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: "Сколько рыцарей среди твоих спутников?". Первый ответил: "Ни одного". Второй сказал: "Один". Что сказал третий?
12. Задача «Дело Брауна, Джонса и Смита». Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления:

Браун: 1.Я не преступник. 2.Джонс - тоже.

Джонс: 1. Браун не преступник. 2. Преступник - Смит.

Смит: 1. Преступник - Браун. 2. Я не преступник.

В процессе следствия было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий - один раз солгал и один раз - сказал правду. Кто совершил преступление?

13. Встретились два сыщика. Вот их диалог: - У тебя два сына? - Да, маленькие, в школу не ходят. - Кстати,   произведение их лет равно числу голубей возле нас. – Этих данных недостаточно. - А старшего я назвал твоим именем. - Теперь я знаю, сколько им лет. Сколько лет сыновьям?

14.В очереди в кассу за билетами на концерт стоят Юля, Маша, Вика, Даша и Оля. Известно,   что: Юля купит билет раньше, чем Маша, но позже Оли; Вика и Оля не стоят рядом; Даша не находится рядом ни с Олей, ни с Юлей, ни с Викой. Кто за кем стоит в очереди?

15. Кто участвовал в ограблении! Известно, что из шести гангстеров ровно двое участвовали в ограблении. На вопрос, кто участвовал в ограблении, они дали следующий ответы:

Гарри: Чарли и Джордж.

Джеймс: Дональд и Том.

Дональд: Том и Чарли.

Джордж: Гарри и Чарли.

Чарли: Дональд и Джеймс.

Поймать Тома не удалось. Кто участвовал в ограблении если известно, что четверо из гангстеров верно назвали одного из участников ограбления, а один назвал неверие оба имени?
Другие задачи

1. Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и насколько секунд?
2. В каждой клетке 99x99 сидит жук. В некоторый момент времени каждый жук переполз на соседнюю (по горизонтали или по вертикали) клетку. Верно ли, что после этого на доске останется хотя бы одна пустая клетка?
3. Бригада строителей состояла из каменщиков, штукатуров, печников и разнорабочих (без специальностей). Все печники являлись каменщиками. Среди тех каменщиков, которые являлись еще и печниками, нет ни одного, который не был бы еще и штукатуром. Все те каменщики, которые были еще и штукатурами, оказались к тому же еще и печниками. Кроме того, известно следующее: рабочих, владевших только одной специальность, столько же, сколько разнорабочих; сумма удвоенного числа тех рабочих, которые были только штукатурами, и утроенного числа тех рабочих, которые были только каменщиками, равна 15; число рабочих, владевших только специальностью каменщика, было в пять раз меньше, чем сумма числа 9 и утроенного числа рабочих, которые владели всеми специальностями. Сколько рабочих было в бригаде?
4. В двузначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилось в 46 раз. Определите, какое это было число и какую цифру зачеркнули.
5. В хороводе по кругу стоят 15 детей. Справа от каждой девочки стоит мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у каждого из остальных мальчиков правый сосед - девочка. Сколько мальчиков и сколько девочек в хороводе?
6. 6 карасей легче 5-ти окуней, но тяжелее 10 лещей. Что тяжелее — 2 карася или 3 леща?
7. Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела сказочных животных. Все они, кроме двух,— Говорящие Коты; все, кроме двух,— Мудрые Совы; остальные — Усатые Тараканы. Сколько обитателей в избушке у Бабы Яги?
8. 4. Когда отцу было 27 лет, сыну было только три года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?
9. Мальчик и поросенок весят столько, сколько 5 ящиков. Поросенок весит столько, сколько 4 кошки; 2 кошки и поросенок весят столько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?
10. Четыре чашки и один кувшин для воды весят столько, сколько 17 свинцовых шариков. Кувшин весит столько, сколько одна чашка и 7 шариков. Сколько шариков уравновешивают кувшин?
11. На вопрос, сколько весит его рыба, рыбак ответил:

«Хвост весит 150 г, голова - столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище — сколько голова и хвост вместе». Сколько весит рыба?

12. Петя любит математику, но не любит рисовать. Когда у него не получился набросок вазы, он разорвал его на 10 частей, потом некоторые из них - еще на 10 и т. д. Вскоре Петина мама заглянула в комнату и сказала сердито: «Зачем ты разбросал по полу пятьсот клочков бумаги?» Петя тут же ответил: «Вовсе не пятьсот!» Прав ли Петя? И может ли оказаться так, что на полу лежит ровно 1000 клочков бумаги? А 1999?
13. Из 100 туристов, выехавших в заграничное путешествие, владеют немецким языком 30 человек, английским — 28, французским — 42, английским и немецким — 8, английским и французским — 10, немецким и французским — 5, тремя этими языками — 3. Сколько туристов не владеют ни одним из этих языков, владеют одним английским, одним французским, одним немецким?
14. В отчете об изучении иностранных языков студентами некоторой специальности говорилось, что всех студентов 100 человек, из них 5 человек изучают английский, немецкий и французский языки, 10 — английский и немецкий, 8 — французский и английский, 20 — немецкий и французский, 30 — английский, 23 — немецкий, 50 — французский. Тому, кто составил этот отчет, было указано на ошибки. Верно ли это?