Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение города Москвы

«Московский образовательный комплекс

имени Виктора  Талалихина»

Исследовательская работа

Тема: Графы - наши помощники

                                                                                                Разработчики:                                                                             Абунина Оксана,

Рябухина Диана,

учащиеся 7 Б класса

ГАПОУ МОК им.В.Талалихина                                                                                          

                                                                                          Руководитель:

                                                                                Чопурян Нарине Макичевна,

                                                                               учитель физики и математики ГАПОУ МОК им.В.Талалихина

                                                       Москва

                                                          2017

Актуальность.  

Понятие «графа»  на уроках применяется редко. В задачах, где условие записывается  с помощью рисунка, намного легко выстроить ход решения. Применяя графы, где не нужны особо глубокие познания в математике, тем самым мы показали нашим одноклассникам, что можно решать разнообразные задачи с  увлечением, без затруднений, и эти задачи обладают наглядностью и доступностью.

Цель: изучить и применять теорию графов в решении задач из разных областей.

Задачи:

- Изучить теорию графов и методы ее применения на практике;

- Выявить практическое применение графов в разных предметных областях;

-Составить задачи на применение графов в разных предметных областях;

-Апробировать задачи на уроках и внеклассных мероприятий

-Сформулировать выводы

Гипотеза:

Граф помогает в решении задач, имеет практическое применение в жизни. 

Методика: Для решения задачи составляется алгоритм

План работы над исследованием

Теоретические аспекты работы

На первом этапе исследования мы изучали методику решения математических   задач с применением графов.

Граф - это конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки - это вершины графа, а соединяющие линии – рёбра. В графе не обязательно, чтобы каждая вершина была соединена со всеми остальными[1].

Если в графе ни одна часть не является замкнутой линией, то такой граф называется деревом.[3]

Такая схема, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. Графы, в которых не построены все ребра , называются неполными графами[3,4]. На рисунке 4 изображен граф, соответствующий всем совершенным рукопожатиям, например, для задачи с 5-тью участниками. Этот граф является полным.

Графы Эйлера

Мы все сталкивались с задачами, в которых требуется  нарисовать какую-либо фигуру, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами[1].

Деревья определяются как графы, не имеющие циклов. Вводятся понятия, связанные с деревьями, рассматриваются особенности деревьев и возможности их использования при решении самых разнородных задач – таких, как подсчет изомеров химического соединения, отыскание кратчайшего пути, комбинаторные задачи, вероятностные задачи, а также использование деревьев в генетике.

Применение графов в различных предметных областях

        На втором этапе мы собрали информацию по применению графов в разных предметных областях:

1 пример. Граф в биологии

Чтоб составить генеалогическое дерево своего рода, надо прибегнуть к графам-деревьям[5].

2 пример: Граф в спорте

1.В школе проводятся соревнования по теннису. У болельщиков идут горячие споры о  победителях: «Николай будет первым, а Вася- вторым. Первой будет Снежана, а Лариса займет третье место. Снежа будет второй, Вася может рассчитывать лишь на третье место». Кто из участников занял первое, второе и третье место, если известно, что каждое место занял один из них, и все они были призёрами?[7]

А вот и решение.

2. Алексей, Белла, Валерия и Георгий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Ответ: 6 партий

3. Пример: Граф в математике

4 Пример: Граф в русском языке

Слог называется открытым, если он начинается с согласной буквы, а заканчивается гласной. Сколько открытых  2-буквенных слогов можно написать, используя буквы «а»,  «б», «в», «г», «е», «и», «о». Рассмотреть все варианты.[6]

Решение: в верхних 3-х вершинах  запишем согласные, а в нижних- гласные буквы. Б-В-Г и А-Е-И-О, получаем 12 вариантов ответа.

5 Пример: Граф  в географии.[8]

6 Пример: Графы  в различных областях 

Граф в решении головоломок [9]

Граф в решении спорных вопросов

В драмкружке решили ставить гоголевского  «Ревизора»[7]. И тут разгорелся спор. Все началось с Хлестакова.

- Хлестаковым буду я! – заявил Гоша.

- Нет, я Хлестаков,- возразил Данила. Я мечтал воплотить этот образ на сцене.

- Ну ладно, уступлю тебе, если мне дадут сыграть Городничего, - великодушно заявил Гоша.

- …А мне – Осипа, - тихо сказал Даня.

- Хочу быть Земляникой или Ляпкиным,- сказал Саша.

- Нет, Городничим буду я, - хором закричали Александр и Богдан. – Или Ляпкиным,

добавили они одновременно.

    Вопрос. Как разумно решить задачу, чтоб все были довольны?

Решение нашлось!

Составление собственных задач и их апробации на уроках и внеклассных мероприятиях.

№1

Я задумал число. Если к нему прибавить 17, потом полученную сумму умножить на 13, затем из произведения вычесть 80 и, наконец, полученную разность разделить на 15, то получится число 12. Найти задуманное число.

Решение:

сделаем рисунок.

х+17        *13        -80        :15 =        Ответ:3

№2.

Условие задачи, подобное старинной задаче.

Пастуха спрашивают: «Сколько всего у тебя в стаде овец, козлов и коров?», он ответил: «Если бы к моему стаду  добавить одну корову, то третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имеющимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их составляли бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький козленок». Решение облегчатся намного, если составить обратный отсчет-граф к задаче.

  Ответ: 59

№3. В классе больше 28, но меньше 33 человек. Каждая девочка дружит с тремя мальчиками, а каждый мальчик – с пятью девочками. Сколько человек в классе?

Составляя граф, решая задачу, мы получаем, что в классе 32 ученика, так как соотношение ребер графа –это 5:3, т. е. из множества чисел от 28 до 33,только 32 делится на 8.   Ответ-32 ученика в классе.

№4.

В государстве А имеется 78 городов. Из каждого города можно выехать 5 дорогами. Сколько дорог в государстве А?

Решение.

78*5:2=195.

Анализ полученных результатов: в ходе апробации задач, ребятами отмечено, что графы помогают при решении задач, т.к. условие задачи более наглядное и понятное, а решение получается правильным и несложным.

Выводы.

     Мы посвящаем нашу работу всем ребятам, которые хотят знать больше, интересуются необычными решениями той или иной задачи, а также тем, у  которых ,возникают трудности в понимании задачи, методе решения.

Теория графов применяется при решении задач не только в математике, но и  во многих предметных областях. При первоначальных сведениях о функции в 6-7 классах, в целях наглядности мы используем рисунки графов. Графы встречаются в учебниках химии, биологии, географии, истории, активно применяются  инженерами, экономистами, психологами, лингвистами, где они использованы как наглядное и экономное описание разнообразных схем, логических возможностей, классификаций. Применение графов формирует мышление, ускоряет решение  практической задачи, следовательно, повышается производительность  мысли. Графы - это первые помощники в решении задач по теории вероятностей и статистике, особенно при подготовке к сдаче ГИА, и мы уверены, что они нам очень помогут в этом.

                                         Литература.

1. Никольская И.Л.  Факультативный курс по математике 7–9, М., “Просвещение”, 1991 г.

2.Березина Л.Ю. Графы и их применение. – М., 1979.

3.Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов.

4.Виленкин Н.Я. Функции в природе и в технике.- М., Просвещение,1985

5.Колмогоров А.Н. Математика: наука и профессия. – М. Наука.

6. Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. Элементы статистики и вероятности 7-9. М. «Просвещение», 2005.

7. Гусева В.А, Орлова А.И., Розенталь А.Л., «Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах», Просвещение, 1977

8. Тарасова С. В. Элективный курс «Теория графов». Методическое пособие учителя математики, г. Липецк.

9. Интернет-ресурсы.