Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся прежде всего задачи, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Работа не закончена, в процессе создания сборника задач
Вложение | Размер |
---|---|
rabota_issledovatelskaya_2.docx | 115.23 КБ |
Городская выставка-конференция школьников
«Юные исследователи - будущее Севера»
Естественные науки и современный мир
Египетские дроби
Автор: Жарко Максим Александрович,
6А класс, МБОУ г. Мурманска СОШ № 36
Научный руководитель: Пономаренко Юлия Андреевна,
учитель математики МБОУ г. Мурманска СОШ № 36
г. Мурманск, 2017
Оглавление.
Введение……………………………………………………………….3
Основная часть
Заключение……………………………………………………………12
Список литературы…………………………………………………..13
Введение.
«Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне».[1]
Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян.
Египтяне были самыми практичными из всех народов древности. Они даже не использовали абстрактных вычислений – всегда после числа в египетском папирусе шло наименование. Они не могли сказать – три плюс два будет пять. Они обязательно говорили – три верблюда плюс два верблюда будет пять верблюдов.
Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.
Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Объектом нашего исследования служат египетские или как принято называть их в математике, аликвотные дроби.
Цель нашей работы изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике, создать сборник задач
Основная часть.
История происхождения
Основу математики египтян составляли целые числа и аликвотные дроби. Это такие дроби, когда в числителе всегда единица. Египтянин не понимал дробь . Он представлял её в виде суммы дробей . У всех египетских дробей в числителе всегда были единицы.
Даже к числу Пи, которое египтяне единственные из окружающих их соседей отличали от простой «тройки», добавлялась . То есть число Пи у египтян было или . В нашем десятичном исчислении 3.142857. Вполне достойная точность.
Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан Ахмесом в эпоху Второго переходного периода.
В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Он представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер; эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя принимается равной площади квадрата со стороной в 8/9 диаметра), объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра; имеются также арифметические задачи на пропорциональное деление, определение соотношений между количеством зерна и получающегося из него хлеба или пива и т. д.; решение одной задачи (79-й) приводится к вычислению суммы геометрической прогрессии. Однако для решения этих задач не даётся никаких общих правил, не говоря уже о попытках каких-нибудь теоретических обобщений.
Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет - 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца».
Одна из задач этого папируса — разделить 7 хлебов между 8 людьми — решается в характерном для всей египетской математики стиле: каждому проголодавшемуся нужно дать сумму
1/2+1/4+1/8
долей одного хлеба, выраженных аликвотными дробями.
В большинстве случаев для представления некоторой правильной дроби в виде суммы различных египетских дробей достаточно уметь раскладывать в такую сумму всякую дробь вида 2/n. Например, зная разложения
2 | = | 1 | + | 1 | , |
| 2 | = | 1 | + | 1 | , |
| 2 | = | 1 | + | 1 | , |
дробь 7/25 можно легко представить суммой различных египетских дробей:
7 | = | 1 | + | 2 | + | 4 | = | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 2 | + | 2 | = |
= | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | . |
Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида 2/n для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.
Разложение произвольной дроби в сумму аликвотных дробей не единственно. Например, дробь 5/12 представлялась египтянами как сумма 1/4 и 1/6, либо как сумма 1/3 и 1/12. Правильным считался второй вариант, так как 1/3 – самая большая из египетских дробей, меньших 5/12
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Египтяне ставили иероглиф:
(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию.
К примеру:
|
У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).
Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.
Например, так:
|
При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.
В египетской письменности irt означает «глаз», а глагол «wḏȝ» — имеет значение «защищать». Таким образом, общий смысл этого знака: «охраняющий глаз». По-видимому, в начертании данного символа нашли отражение как черты человеческого глаза, так и черты сокола.
Так, в одном элементе уаджета, а именно:
учёные усматривают символическое изображение сокола — воплощение бога Гора.
В арифметике египтян составные части Уаджета использовались для написания дробей от 1/2 до 1/64, а также применялись для измерений емкостей и объемов.
Сумма шести знаков, входящих в Уаджет, и приведенных к общему знаменателю: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + ²/64 + 1/64 = 63/64
Древние математики высказывали замечания насчет аликвотных дробей. Например, Клавдий Птолемей твердил о неудобстве применения аликвотных дробей в сравнении с системой Вавилона.
Аликвотные дроби
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач, в том числе пришедших из глубины веков. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) на две аликвотные дроби систематизировано в виде формул
2/n=1/n + 1/n; например, при n = 9 2\9 = 1\9 + 1\9
2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1), например, при n = 2 2/5=1/3 + 1/15
2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1) например, при n = 5 2/11=1/6 + 1/66 .
Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.
Формула выглядит следующим образом:
1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)
Примеры разложения дробей:
1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;
1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;
1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.
Эту формулу можно преобразовать и получить следующее полезное равенство: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)
Например, 1/6=1/(2·3)=1/2 -1/3
То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.
Задача 1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей
а) трех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6
б) четырех слагаемых
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42
в) пяти слагаемых
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42
Задача 2. Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь:
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение. а) ; б) ;
в) ; г) .
Задача 3. В детский сад утром привели 90 детей. В 17.00 забрали из сада половину детей. В 18.00 забрали третью часть детей. В 19.00 забрали шестую часть детей. Сколько детей забирали из сада в разное время?
Решение. , 1/2=45 детей, 1/3=30 детей, 1/6=15 детей.
Ответ. В 17.00 из сада забрали 45 детей, в 18.00 – 30 детей, в 19.00 – 15 детей.
Заключение.
В нынешней математике ученые продолжают исследовать массу задач, которые связаны с аликвотными дробями:
- в конце ХХ ученые смогли дать оценку самого большого знаменателя и длины разложения обычной дроби в аликвотную
- также была выдвинута гипотеза Эрдешом и Грэхемом, которые утверждают, что для любой раскладки целых чисел, которые больше единицы в r>0 цветов может существовать конечное подмножество S целых. В 2003 году дана гипотеза была доказана известным математиком Эрнестом Крутом.
На сегодняшний день аликвотные дроби ставят для математиков целый ряд трудных и практически нерушимых математических задач. Решение этих задач занимательное и нестандартное, развивает мышление и логику.
Продолжением работы будет служить сборник задач, позволяющих создать основу для дальнейшего решения задач профильного уровня ЕГЭ.
Список литературы
Как зима кончилась
Рисуем ветку берёзы сухой пастелью
Бородино. М.Ю. Лермонтов
Позвольте, я вам помогу
На горке